Exercice 1, § 2

a) Soient $E$ un espace localement convexe séparé, $E'$ son dual. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : α) $E$ est infratonné (III, p. 45, exerc. 7). β) Toute partie fortement bornée de $E'$ est équicontinue. γ) Toute partie fortement bornée de $E'$ est relativement faiblement compacte, et la topologie initiale de $E$ est $\tau(E, E')$. δ) La topologie induite sur $E$ par la topologie forte du bidual $E''$ est identique à la topologie initiale de $E$. Un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie forte de $E''$ est alors constitué par les adhérences, pour la topologie $\sigma(E'', E')$, d’un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie initiale de $E$. b) Montrer que si $E$ est infratonné et si son dual $E'$ est identique à son dual algébrique $E^*$, la topologie initiale de $E$ est la topologie localement convexe la plus fine.