Bài tập 11, § 2

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff sao cho đối ngẫu mạnh E'_b của E là nửa phản xạ. a) Chứng minh rằng, trên mọi tập con bị chặn mạnh của E', các tôpô cảm sinh bởi $\sigma(E', E'')$ và $\sigma(E', E)$ là đồng nhất. b) Suy ra từ a) rằng E là infra-barrelled đối với tôpô τ(E, E') (xem IV, p. 52, bài tập 1) và rằng, nếu $\hat{E}$ là bao đầy đủ của nó đối với tôpô này, và được đồng nhất với một tập con của E'* (III, p. 21, định lý 2), thì $E'' \subset \hat{E}$. Đặc biệt, nếu E là gần đầy đủ đối với τ(E, E'), thì E là phản xạ đối với tôpô này.

¹ Mặt khác, một không gian con đóng của một không gian Montel không nhất thiết là infra-barrelled, và thương của một không gian Montel bởi một không gian con đóng không nhất thiết là nửa phản xạ (IV, p. 63, bài tập 8).