Exercice 11, § 2

Soit E un espace localement convexe séparé tel que le dual fort $E'_b$ de E soit semi-réflexif. a) Montrer que, sur toute partie fortement bornée de $E'$, les topologies induites par $\sigma(E', E'')$ et $\sigma(E', E)$ sont identiques. b) Déduire de a) que E est infratonnelé pour la topologie $\tau(E, E')$ (cf. IV, p. 52, exerc. 1) et que, si $\hat{E}$ est son complété pour cette topologie, identifié à une partie de ${E'}^*$ (III, p. 21, th. 2), on a $E'' \subset E$. En particulier, si E est quasi-complet pour $\tau(E, E')$, E est réflexif pour cette topologie.