Bài tập 12, § 2

Cho E là một không gian Banach và E' là đối ngẫu của nó. a) Chứng minh rằng hàm khoảng cách $x \mapsto d(x, A)$ từ một điểm $x \in E$ đến một tập hợp lồi đóng A là một hàm bán liên tục dưới trên E đối với tôpô $\sigma(E, E')$. b) Chứng minh rằng nếu E là phản xạ, thì với mọi tập con lồi đóng A của E, tồn tại một điểm $x_0 \in A$ sao cho $\|x_0\|$ bằng khoảng cách từ 0 đến A (sử dụng a)). Điểm này là duy nhất nếu mọi điểm biên của quả cầu đơn vị của E là cực biên (II, p. 54, def. 1). c) Giả sử E là phản xạ và B là một tập con lồi đóng và bị chặn trong E; suy ra từ a) và b) rằng tồn tại hai điểm $x \in A, y \in B$ sao cho $\|x - y\| = d(A, B)$ (xem V, p. 71, exerc. 8).