Exercice 12, § 2

Soient E un espace de Banach, $E'$ son dual. a) Montrer que la distance $x \mapsto d(x, A)$ d’un point $x \in E$ à un ensemble convexe fermé A est fonction semi-continue inférieurement dans E pour la topologie $\sigma(E, E')$. b) Montrer que si E est réflexif, pour toute partie convexe fermée A de E, il existe un point $x_0 \in A$ tel que $\|x_0\|$ soit égal à la distance de 0 à A (utiliser a)). Ce point est unique si tout point frontière de la boule unité de E est extrémal (II, p. 57, déf. 1). c) Si E est réflexif et si B est un ensemble convexe, fermé et borné dans E, déduire de a) et b) qu’il existe deux points $x \in A, y \in B$ tels que $\|x - y\| = d(A, B)$ (cf. V, p. 70, exerc. 8).