Bài tập 14, § 2

Cho A là một tập vô hạn. a) Chứng minh rằng đối ngẫu mạnh của không gian Banach $E = \overline{\mathscr{K}(A)}$ (IV, p. 47, exerc. 1) có thể được đồng nhất với không gian Banach $\ell^1(A)$, và đối ngẫu mạnh của không gian Banach $\ell'(A)$ có thể được đồng nhất với không gian Banach $\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$; suy ra rằng E không phản xạ và rằng $E''/E$ là vô hạn chiều (xem IV, p. 71, exerc. 18). Nếu $A = \mathbf{N}$, thì E và E' là các không gian Banach thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, nhưng $E''$ thì không (I, p. 25, exerc. 1). b) Gọi $B''$ là quả cầu đơn vị trong $E'' = \ell^\infty(A)$, và gọi $B''_0$ là tập hợp lồi $B'' + (B'' \cap E)$. Chứng minh rằng $B''_0$ là một tập hợp lồi đóng bị chặn trong $E''$ đối với tôpô mạnh, có phần trong không rỗng, nhưng không có điểm cực nào. Nếu $p$ là gauge của $B''_0$, chứng minh rằng $E''$ được trang bị chuẩn $p$ không đẳng cự với bất kỳ đối ngẫu nào của một không gian Banach và rằng $B''_0$ không đóng đối với tôpô $\sigma(E'', E')$ (mặc dù $B''$ compact đối với $\sigma(E'', E')$ và $B'' \cap E$ đóng mạnh).