Exercice 14, § 2

Soit A un ensemble infini. a) Montrer que le dual fort de l’espace de Banach $E = \overline{\mathscr{H}(A)}$ (IV, p. 47, exerc. 1) peut être identifié à l’espace de Banach $\ell^1(A)$, et que le dual fort de l’espace de Banach $\ell^1(A)$ peut être identifié à l’espace de Banach $\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$; en déduire que E n’est pas réflexif et que $E''/E$ est de dimension infinie (cf. IV, p. 72, exerc. 18). Si $A = \mathbf{N}$, E et $E'$ sont des espaces de Banach de type dénombrable, mais non $E''$ (I, p. 25, exerc. 1). b) Soit $B''$ la boule unité dans $E'' = \ell^\infty(A)$, et soit $B''_0$ l’ensemble convexe $B'' + (B'' \cap E)$. Montrer que $B''_0$ est un ensemble convexe borné et fermé dans $E''$ pour la topologie forte, ayant un intérieur non vide, mais ne possédant aucun point extrémal. En déduire que, si $p$ est la jauge de $B''_0$, l’espace $E''$, muni de la norme $p$, n’est isométrique à aucun dual d’un espace de Banach et que $B''_0$ n’est pas fermé pour la topologie $\sigma(E'', E')$ (bien que $B''$ soit compact pour $\sigma(E'', E')$ et $B'' \cap E$ fortement fermé).