Bài tập 15, § 2

Các ký hiệu là những ký hiệu của Bài tập 14. a) Cho $(x'_n)$ là một dãy trong $E'$ hội tụ về 0 đối với tôpô $\sigma(E', E'')$; hãy chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn H của A sao cho $\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$ với mọi số nguyên n. (Lập luận bằng phản chứng: nếu tính chất đó không đúng, hãy chứng minh rằng khi đó tồn tại một số $\delta > 0$, một dãy tăng $(n_k)$ các số nguyên, một dãy tăng $(H_k)$ các tập con hữu hạn của A, sao cho $\sum_{\alpha \in H_{k-1}} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ với $n \geq n_k$, $\sum_{\alpha \notin H_k} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ với $n \leq n_k$ và $\sum_{\alpha \in H_k - H_{k-1}} |x'_n(\alpha)| \geq \frac{\delta}{2}$; hãy chứng minh rằng điều này dẫn đến một mâu thuẫn (phương pháp « u lồi trượt »).) Suy ra rằng dãy $(x'_n)$ hội tụ về 0 đối với tôpô mạnh, mặc dù tôpô sau là thực sự mịn hơn tôpô $\sigma(E', E'')$. b) Chứng minh rằng nếu $(x'_n)$ là một dãy Cauchy trong $E'$ đối với tôpô $\sigma(E', E'')$, thì nó hội tụ đến một điểm trong $E'$ đối với tôpô này; nói cách khác, $E'$ là nửa đầy đủ (III, p. 7) đối với $\sigma(E', E'')$. (Chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn H trong A sao cho $\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$ với mọi số nguyên n; lập luận bằng phản chứng như trong a), và sử dụng a).)