Exercice 15, § 2

Les notations sont celles de l’exerc. 14. a) Soit $(x'_n)$ une suite dans $E'$ qui converge vers 0 pour la topologie $\sigma(E', E'')$; montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie H de A telle que l’on ait $\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$ pour tout entier $n$. (Raisonner par l’absurde : si la propriété n’était pas vraie, montrer qu’il existerait un nombre $\delta > 0$, une suite croissante $(n_k)$ d’entiers, une suite croissante $(H_k)$ de parties finies de A, tels que l’on ait $\sum_{\alpha \in H_k - 1} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ pour $n \geq n_k$, $\sum_{\alpha \notin H_k} |x'_n(\alpha)| \leq \frac{\delta}{8}$ pour $n \leq n_k$ et $\sum_{\alpha \in H_k - H_{k-1}} |x'_n(\alpha)| \geq \frac{\delta}{2}$; montrer que cela entraîne contradiction (« méthode de la bosse glissante »).) En déduire que la suite $(x'_n)$ converge vers 0 pour la topologie forte, bien que cette dernière soit strictement plus fine que la topologie $\sigma(E', E'')$. b) Montrer que si $(x'_n)$ est une suite de Cauchy dans $E'$ pour la topologie $\sigma(E', E'')$, elle converge vers un point de $E'$ pour cette topologie, autrement dit $E'$ est semi-complet (III, p. 7) pour $\sigma(E', E'')$. (Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie H de A telle que l’on ait $\sum_{\alpha \notin H} |x'_n(\alpha)| \leq \varepsilon$ pour tout entier $n$, en raisonnant par l’absurde comme dans a), et utilisant a).)

¹ Par contre, un sous-espace fermé d’un espace de Montel peut ne pas être infratonnelé, et le quotient d’un espace de Montel par un sous-espace fermé peut ne pas être semi-réflexif (IV, p. 63, exerc. 8).