Bài tập 17, § 2

Cho E là một không gian Banach không phản xạ, E' là đối ngẫu mạnh của nó, E'' là đối ngẫu mạnh của E', E''' là đối ngẫu mạnh của E'' và E^{IV} là đối ngẫu mạnh của E'''. a) Chứng minh rằng, trong E''', E' và không gian con $E^\circ$ trực giao với E (khi E được xem như một không gian con của E'') là các phần bù tôpô, và rằng phép chiếu từ E''' lên E' đối với phân tích này là một ánh xạ tuyến tính liên tục có chuẩn 1. So sánh với Bài tập 16, c), suy ra rằng không gian Banach $\mathscr{K}(A)$ không đẳng cấu (với tư cách là một không gian vectơ tôpô) với đối ngẫu mạnh của bất kỳ không gian Banach nào. b) Chứng minh rằng E^{IV} là tổng trực tiếp tôpô của ${E'}^\circ$ và E'', và cũng là của ${E'}^\circ$ và ${E''}^\circ$; ta có $E'' \cap {E''}^\circ = E$. Gọi $v$ là ánh xạ tuyến tính từ E^{IV} lên chính nó, đồng nhất trên ${E'}^\circ$, và trên E'', là phép chiếu từ E'' lên ${E''}^\circ$ song song với ${E'}^\circ$; chứng minh rằng $v$ là một đẳng cự, nhưng không liên tục đối với tôpô $\sigma(E^{IV}, E''')$.