Exercice 17, § 2

Soient E un espace de Banach non réflexif, E' son dual fort, E'' le dual fort de E', E''' le dual fort de E'', E^{IV} le dual fort de E'''.

a) Montrer que, dans E'''', E' et le sous-espace $E^{\circ}$ orthogonal à E (lorsque E est considéré comme sous-espace de E'') sont supplémentaires topologiques, et que la projection de E'' sur E' pour cette décomposition est une application linéaire continue de norme 1. Comparant avec l’exerc. 16, c), en déduire que l’espace de Banach $\mathscr{H}(A)$ n’est isomorphe (en tant qu’espace vectoriel topologique) au dual fort d’aucun espace de Banach.

b) Montrer que $E^{IV}$ est somme directe topologique de ${E'}^{\circ}$ et de E'', et aussi de ${E'}^{\circ}$ et $E^{\circ\circ}$; on a $E'' \cap E^{\circ\circ} = E$. Soit $v$ l’application linéaire de $E^{IV}$ sur lui-même qui, sur ${E'}^{\circ}$ est l’identité, et sur E'' est la projection de E'' sur $E^{\circ\circ}$ parallèlement à ${E'}^{\circ}$; montrer que $v$ est une isométrie, mais n’est pas continue pour la topologie $\sigma(E^{IV}, E''')$.