Bài tập 19, § 2

Cho E là một không gian Banach, E' là đối ngẫu mạnh của nó, G' là một không gian con đóng mạnh của E' thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đối với tôpô mạnh. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đếm được của E sao cho, nếu F là không gian con vectơ đóng của E sinh bởi tập con này, thì G' đẳng cự với một không gian con đóng mạnh của đối ngẫu mạnh F' của F. (Giả sử rằng dãy $(x'_n)$ là trù mật mạnh trong G'; với mỗi n, lấy $x_n \in E$ sao cho $\|x_n\| \leq 1$ và $\langle x_n, x'_n \rangle = \left(1 - \frac{1}{n}\right)\|x'_n\|$; chứng minh rằng không gian con vectơ đóng mạnh F của E sinh bởi các $x_n$ là không gian cần tìm.)