Exercice 19, § 2

Soient E un espace de Banach, E' son dual fort, G' un sous-espace fortement fermé de E', de type dénombrable pour la topologie forte. Montrer qu’il existe une partie dénombrable de E telle que, si F est le sous-espace vectoriel fermé de E engendré par cette partie, G' soit isométrique à un sous-espace fortement fermé du dual fort F' de F. (Supposons que la suite $(x'_n)$ soit fortement dense dans G'; pour tout n, soit $x_n \in E$ tel que $\|x_n\| \leq 1$ et $\langle x_n, x'_n \rangle = \left(1 - \frac{1}{n}\right)\|x'_n\|$; montrer que le sous-espace fortement fermé F de E engendré par les $x_n$ répond à la question.)