Bài tập 20, § 2

Cho E là một không gian Banach, E' là đối ngẫu của nó, và B là quả cầu đơn vị trong E. Để mọi điểm của B có một hệ lân cận cơ bản đếm được đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô yếu $\sigma(E, E')$ trên B, điều kiện cần và đủ là E' thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất đối với tôpô mạnh. (Để chứng minh rằng điều kiện là cần, nhận xét rằng nếu mọi điểm trong B có một hệ lân cận cơ bản đếm được đối với tôpô yếu, thì điều này cũng đúng đối với bao đóng $B^{\circ\circ}$ của B trong E'' đối với tôpô $\sigma(E'', E')$. Do đó tồn tại một dãy $(a'_n)$ trong E' sao cho mọi lân cận của 0 trong $B^{\circ\circ}$ đối với $\sigma(E'', E')$ đều chứa giao của $B^{\circ\circ}$ và của một số hữu hạn các cực $\{a'_n\}^\circ$; xét không gian con đóng mạnh W' của E' sinh bởi các $a'_n$, và phần trực giao ${W'}^\circ$ của W' trong E''.)