Exercice 20, § 2

Soient E un espace de Banach, E' son dual, B la boule unité dans E. Afin que, pour la topologie induite sur B par la topologie affaiblie $\sigma(E, E')$, tout point de B admette un système fondamental dénombrable de voisinages, il faut et il suffit que E' soit de type dénombrable pour la topologie forte. (Pour montrer que la condition est nécessaire, remarquer que si, dans B, tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages pour la topologie affaiblie, il en est de même dans l’adhérence $B^{\circ\circ}$ de B dans E'' pour la topologie $\sigma(E'', E')$. Il existe alors une suite $(a'_n)$ dans E' telle que tout voisinage de 0 dans $B^{\circ\circ}$ pour $\sigma(E'', E')$ contienne l’intersection de $B^{\circ\circ}$ et d’un nombre fini de polaires $\{a'_n\}^{\circ}$; considérer le sous-espace fortement fermé W' de E' engendré par les $a'_n$, et l’orthogonal ${W'}^{\circ}$ de W' dans E''. )