Bài tập 21, § 2

Cho E là một không gian Banach, E' là đối ngẫu của nó, B là quả cầu đơn vị trong E và $B'_r$ là quả cầu đóng tâm 0 bán kính r trong E'. a) Cho $M'_1, M'_2$ là hai không gian con vectơ của E', trù mật khắp nơi đối với tôpô yếu $\sigma(E', E)$. Để các tôpô cảm sinh bởi $\sigma(E, M'_1)$ và $\sigma(E, M'_2)$ trên B trùng nhau, điều kiện cần và đủ là các bao đóng mạnh của $M'_1$ và $M'_2$ trong E' đồng nhất. b) Cho M' là một không gian con vectơ của E' trù mật khắp nơi đối với $\sigma(E', E)$; gọi ${M'}^{(1)}$ là không gian con vectơ sinh bởi bao đóng của $M' \cap B'_1$ trong E' đối với tôpô $\sigma(E', E)$. Để ${M'}^{(1)} = E'$, điều kiện cần và đủ là bao đóng yếu của $M' \cap B'_1$ chứa một quả cầu $B'_r$ với $r > 0$ (sử dụng sự kiện rằng E' là barrelled đối với tôpô mạnh). c) Cho r là cận trên đúng của các số t sao cho bao đóng yếu của $M' \cap B'_1$ chứa một quả cầu $B'_t$; số r được gọi là đặc số của M'. Chứng minh rằng r là cận dưới đúng của các số $\sup_{x' \in M' \cap B'_1} |\langle x, x' \rangle| / \|x\|$ trong đó x chạy trên tập hợp tất cả các điểm $\neq 0$ của E (sử dụng định lý Hahn-Banach). d) Chứng minh rằng $1/r$ là cận trên đúng của $\|x\|$ khi x chạy trên bao đóng của B trong E đối với tôpô $\sigma(E, M')$ (sử dụng c) và định lý Hahn-Banach).

e) Cho ${M'}^\circ$ là phần trực giao của M' trong $E''$; chứng minh rằng $r = \inf(\|x + z''\|/\|x\|)$ trong đó $z''$ chạy trên ${M'}^\circ$ và x chạy trên tập hợp các điểm khác không của E (sử dụng c) và đl. Hahn-Banach). Suy ra rằng để ${M''}^{(1)} = E'$, điều kiện cần và đủ là $E + {M'}^\circ$ đóng mạnh trong $E''$ (sử dụng đl. Banach, I, p. 17).

f) Cho $A = \mathbf{N} \times \mathbf{N}$ và $E = \mathscr{K}(A)$ (xem IV, p. 54, bt. 14). Trong không gian $E'' = \ell^\infty(A)$, cho P là không gian con vectơ gồm tất cả các điểm $x = (x_{ij})$ sao cho $x_{ij} = x_{0j}/(j+1)$ với mọi $i \geq 0$. Chứng minh rằng $P = {M'}^\circ$ trong đó M' là một không gian con vectơ của E' trù mật khắp nơi (đối với $\sigma(E', E)$), nhưng $E + {M'}^\circ = E + P$ không đóng mạnh trong $E''$; suy ra rằng đặc số của M' bằng 0.