Exercice 21, § 2

Soient E un espace de Banach, E' son dual, B la boule unité dans E, B'_r la boule fermée de centre 0 et de rayon r dans E'.**

a) Soient M'_1, M'_2 deux sous-espaces vectoriels de E', partout denses pour la topologie faible σ(E', E). Pour que les topologies induites sur B par σ(E, M'_1) et σ(E, M'_2) coïncident, il faut et il suffit que les adhérences fortes de M'_1 et M'_2 dans E' soient identiques.

b) Soit M' un sous-espace vectoriel de E', partout dense pour σ(E', E); on désigne par M'^(1) le sous-espace vectoriel engendré par l'adhérence de M' ∩ B'_1 dans E' pour la topologie σ(E', E). Pour que M'^(1) = E', il faut et il suffit que l'adhérence faible de M' ∩ B'_1 contienne une boule B'_r avec r > 0 (utiliser le fait que E' est tonnelé pour la topologie forte).

c) Soit r la borne supérieure des nombres t tels que l'adhérence faible de M' ∩ B'_1 contienne une boule B'_t ; on dit que r est la caractéristique de M'. Montrer que r est la borne inférieure des nombres $\sup_{x' \in M' \cap B'_1} |\langle x, x' \rangle| / \|x\|$ lorsque x parcourt l'ensemble des points ≠ 0 de E (utiliser le th. de Hahn-Banach).

d) Montrer que 1/r est la borne supérieure de \|x\| lorsque x parcourt l'adhérence de B dans E pour la topologie σ(E, M') (utiliser c) et le th. de Hahn-Banach).

e) Soit M'' orthogonal de M' dans E'' ; montrer que l'on a r = inf(\|x + z''\| / \|x\|) lorsque z'' parcourt M'' et x l'ensemble des points ≠ 0 de E (utiliser c) et le th. de Hahn-Banach). En déduire que, pour que M'^(1) = E', il faut et il suffit que E + M'' soit fortement fermé dans E'' (utiliser le th. de Banach de I, p. 17).

f) Soient A = N × N et E = $\mathscr{K}(A)$ (cf. IV, p. 54, exerc. 14). Dans l'espace E'' = $\ell^\infty(A)$ soit P le sous-espace vectoriel formé des points x = (x_{ij}) tels que x_{ij} = x_{0j}/(j + 1) pour tout i ≥ 0. Montrer que l'on a P = M'', où M' est un sous-espace vectoriel de E' partout dense pour σ(E', E), mais que E + M'' = E + P n'est pas fortement fermé dans E'' ; en déduire que la caractéristique de M' est 0.