Bài tập 22, § 2

Cho $E$ là một không gian Banach, $E'$ là đối ngẫu của nó và $M'$ là một không gian con đóng mạnh trong $E'$ trù mật khắp nơi đối với tôpô yếu trên $E'$. Ta nói rằng $M$ là bất khả quy nếu không tồn tại không gian vectơ con $N' \neq M'$ của $M'$ đóng mạnh và yếu trù mật khắp nơi trong $E'$. a) Chứng minh rằng $M'$ là bất khả quy khi và chỉ khi phần trực giao ${M'}^\circ$ của $M'$ trong $E''$ là phần bù tôpô của $E$ (đối với tôpô mạnh của $E''$). Suy ra khi đó ${M''}^{(1)} = E'$ (bài tập 21) và rằng $E$ đẳng cấu với đối ngẫu mạnh của không gian $M'$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh của $E'$. b) Chứng minh rằng $M'$ là bất khả quy khi và chỉ khi quả cầu đơn vị trong $E$ là tương đối compact đối với tôpô $\sigma(E, M')$ (dùng bài tập 21, a)). c) Để $E$ đẳng cấu với một đối ngẫu mạnh của một không gian Banach (đối với cấu trúc không gian vectơ tôpô), điều kiện cần và đủ là tồn tại một không gian con bất khả quy trong $E'$. Suy ra một chứng minh mới cho sự kiện rằng không gian Banach $\mathscr{K}(\mathbf{N})$ không đẳng cấu với một đối ngẫu mạnh của một không gian Banach (xem IV, p. 55, bài tập 16, c)).