Exercice 22, § 2

Soient E un espace de Banach, E' son dual, M' un sous-espace fortement fermé et faiblement partout dense dans E'. On dit que M' est irréductible s'il n'existe aucun sous-espace vectoriel N' ≠ M' de M', fortement fermé et faiblement partout dense dans E'.

a) Montrer que, pour que M' soit irréductible, il faut et il suffit que dans E'' l'orthogonal M'' de M' soit supplémentaire topologique de E (pour la topologie forte de E''). En déduire qu'on a alors M'^(1) = E' (exerc. 21) et que E est isomorphe au dual fort de l'espace M' muni de la topologie induite par la topologie forte de E'.

b) Montrer que, pour que M' soit irréductible, il faut et il suffit que la boule unité dans E soit relativement compacte dans E pour la topologie σ(E, M') (utiliser l'exerc. 21, a)).

c) Pour que E soit isomorphe à un dual fort d'espace de Banach (pour les structures d'espace vectoriel topologique), il faut et il suffit qu'il existe dans E' un sous-espace irréductible. En déduire une nouvelle démonstration du fait que l'espace de Banach $\mathscr{K}(\mathbf{N})$ n'est pas isomorphe à un dual fort d'espace de Banach (cf. IV, p. 55, exerc. 16, c)).