Bài tập 24, § 2

a) Cho $(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ là một dãy hữu hạn các điểm trong một không gian định chuẩn $E$, và cho $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq n}$ là một dãy hữu hạn các số $> 0$ sao cho $\sum_{k=1}^n \lambda_k < 1$; đặt $\mu_k = 1 - \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j$ với mọi $k$; khi đó

b) Cho $(a_n)$ là một dãy vô hạn các điểm trong quả cầu đơn vị của $E$, và cho $(\lambda_n)$ là một dãy vô hạn các số $> 0$ sao cho $\sum \lambda_n = 1$. Với mọi $n > 0$, đặt $\mu_n = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k$ và $b_n = \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k a_k + \mu_n a_n$; hãy chứng minh rằng, với mọi $n \geq 1$, ta có (Áp dụng a) bằng quy nạp.) c) Cho $(C_n)$ là một dãy giảm các tập hợp lồi trong $E$, được chứa trong quả cầu đơn vị, và giả sử rằng $d(0, C_1) \geq \theta > 0$ (do đó, a fortiori $d(0, C_n) \geq \theta$ với mọi $n$). Cho $(\lambda_n)$ là một dãy các số $> 0$ sao cho $\sum \lambda_n = 1$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một số $\alpha$ sao cho $\theta \leq \alpha \leq 1$ và một dãy $(x_n)$ các điểm của $E$ sao cho $x_n \in C_n$ với mọi $n$, $\|\sum_n \lambda_n x_n\| = \alpha$ và, với mọi $n$

(Chọn $x_1$ sao cho $\|x_1\|$ gần tùy ý với $d(0, C_1)$, sau đó, bằng quy nạp, chọn $x_n$ sao cho $\left\| \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) x_n \right\|$ gần tùy ý với cận dưới của các số $\left\| \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) y \right\|$ trong đó $y$ chạy trên $C_n$. Sau đó dùng b).)

Let $E$ là một không gian Banach thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : a) $E$ không phản xạ. b) Với mọi số $\theta$ sao cho $0 < \theta < 1$, tồn tại một dãy $(x'_n)$ trong $E'$ sao cho, $\|x'_n\| \leq 1$ với mọi $n$, dãy $(x'_n)$ hội tụ về 0 đối với $\sigma(E', E)$ và khoảng cách từ 0 đến tập lồi sinh bởi các $x'_n$ là $\geq \theta$. c) Với mọi số $\theta$ sao cho $0 < \theta < 1$ và mọi dãy $\lambda_n$ các số $> 0$ sao cho $\sum_n \lambda_n = 1$, tồn tại một số $\alpha$ sao cho $\theta \leq \alpha \leq 1$ và một dãy $(y'_n)$ các điểm của $E'$ sao cho $\|y'_n\| \leq 1$ với mọi $n$, $\|\sum_n \lambda_n y'_n\| = \alpha$ và $\left\| \sum_{k=1}^n \lambda_k y'_k \right\| \leq \alpha (1 - \theta \sum_{j=n+1}^\infty \lambda_j)$ với mọi $n$. d) Tồn tại $z' \in E'$ sao cho không có $x \in E$ nào thỏa mãn $|\langle x, z' \rangle| = \|x\| \cdot \|z'\|$ (Định lý James-Klee). (Để thấy a) kéo theo b), nhận xét rằng tồn tại $z'' \in E''$ sao cho $\|z''\| < 1$ và $d(z'', E) > \theta$. Nếu $(x_n)$ là một dãy trù mật khắp nơi trong $E$, hãy tìm dãy $(x'_n)$ trong $E'$ sao cho $\|x'_n\| < 1$ và sao cho $\langle x_k, x'_n \rangle = 0$ với $k \leq n$ và $\langle x'_n, z'' \rangle = \theta$. Để thấy b) kéo theo c), dùng exerc. 24. Đối với c) kéo theo d), hãy chứng minh rằng với mọi $x \in E$ ta có $\left| \sum_n \lambda_n \langle x, y'_n \rangle \right| < \alpha$, với các ký hiệu của c).

26) Một không gian lồi địa phương $E$ được nói là có tính chất (GDF) nếu mọi ánh xạ tuyến tính $u$ từ $E$ vào một không gian Banach $F$ thỏa mãn tính chất sau đây đều liên tục: trong không gian tích $E \times F$, mọi giới hạn của một dãy hội tụ các điểm thuộc đồ thị $\Gamma$ của $u$ lại thuộc về $\Gamma$. Mọi không gian Fréchet đều có tính chất (GDF) (I, p. 19, hệ quả 5); điều này cũng đúng với mọi giới hạn quy nạp của một họ các không gian Fréchet (II, p. 34, mệnh đề 10). Hãy chứng minh rằng mọi không gian lồi địa phương Hausdorff có tính chất (GDF) đều là không gian thùng. (Cho $V$ là một thùng trong $E$, $q$ là phiếm hàm gauge của nó và $H$ là không gian Hausdorff liên kết với $E$ được trang bị nửa chuẩn này; hãy chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\pi$ từ $E$ vào phần đầy đủ $\hat{H}$ là liên tục bằng cách sử dụng tính chất (GDF) và sự kiện rằng mọi dạng tuyến tính $x' \in V^0$ có thể được mở rộng duy nhất thành một dạng tuyến tính liên tục trên $\hat{H}$, tập hợp các dạng này là quả cầu đơn vị trong không gian đối ngẫu của $\hat{H}$.