Exercice 24, § 2

a) Dans un espace normé E, soit $(a_k)_{1 \leq k \leq n}$ une suite finie de points et soit $(\lambda_k)_{1 \leq k \leq n}$ une suite finie de nombres > 0 tels que $\sum_{k=1}^n \lambda_k < 1$; pour tout k, on pose $\mu_k = 1 - \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j$; on a alors

b) Soit $(a_n)$ une suite infinie de points de la boule unité dans $E$, et soit $(\lambda_n)$ une suite infinie de nombres $> 0$ telle que $\sum \lambda_n = 1$. Pour tout $n > 0$, on pose $\mu_n = 1 - \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k$ et $b_n = \sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k a_k + \mu_n a_n$; montrer que pour tout $n \geq 1$, on a

(Appliquer $a$ par récurrence.) c) Soit $(C_n)$ une suite décroissante d'ensembles convexes dans $E$, contenus dans la boule unité, et supposons que $d(0, C_1) \geq \theta > 0$ (d'où a fortiori $d(0, C_n) \geq \theta$ pour tout $n$). Soit $(\lambda_n)$ une suite de nombres $> 0$ tels que $\sum \lambda_n = 1$. Montrer qu'il existe un nombre $\alpha$ tel que $\theta \leq \alpha \leq 1$ et une suite $(x_n)$ de points de $E$ tels que $x_n \in C_n$ pour tout $n$, $\|\sum \lambda_n x_n\| = \alpha$ et, pour tout $n$ (Prendre $x_1$ tel que $\|x_1\|$ soit arbitrairement voisin de $d(0, C_1)$, puis, par récurrence, $x_n$ tel que $\|\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) x_n\|$ soit arbitrairement voisin de la borne inférieure des nombres $\|\sum_{k=1}^{n-1} \lambda_k x_k + (\sum_{j=n}^\infty \lambda_j) y\|$ où $y$ parcourt $C_n$. Utiliser alors $b$.)