Bài tập 26, § 2

Một không gian lồi địa phương $E$ được gọi là có tính chất (GDF) nếu mọi ánh xạ tuyến tính $u$ từ $E$ vào một không gian Banach $F$ thỏa mãn tính chất sau đây đều liên tục: trong không gian tích $E \times F$, mọi giới hạn của một dãy hội tụ các điểm thuộc đồ thị $\Gamma$ của $u$ lại thuộc $\Gamma$. Mọi không gian Fréchet đều có tính chất (GDF) (I, p. 19, hệ quả 5); điều này cũng đúng đối với mọi giới hạn quy nạp của một họ các không gian Fréchet (II, p. 34, mệnh đề 10). Chứng minh rằng mọi không gian lồi địa phương Hausdorff có tính chất (GDF) là thùng. (Cho $V$ là một thùng trong $E$, $q$ là hàm gauge của nó và $H$ là không gian Hausdorff liên kết với $E$ được trang bị nửa chuẩn này; chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $\pi$ từ $E$ vào hoàn thành $\hat{H}$ là liên tục bằng cách sử dụng tính chất (GDF) và sự kiện rằng mọi dạng tuyến tính $x' \in V^0$ có thể được mở rộng duy nhất thành một dạng tuyến tính liên tục trên $\hat{H}$, tập hợp các dạng này là quả cầu đơn vị trong đối ngẫu của $\hat{H}$.)