Exercice 26, § 2

On dit qu'un espace localement convexe $E$ possède la propriété (GDF) si toute application linéaire $u$ de $E$ dans un espace de Banach $F$ telle que, dans l'espace produit $E \times F$, toute limite d'une suite convergente de points du graphe $\Gamma$ de $u$ appartienne encore à $\Gamma$, est nécessairement continue. Tout espace de Fréchet possède la propriété (GDF) (I, p. 19, cor. 5); il en est de même de toute limite inductive d'une famille d'espaces de Fréchet (II, p. 36, prop. 10). Montrer que tout espace localement convexe séparé $E$ ayant la propriété (GDF) est tonnelé. (Soit $V$ un tonneau dans $E$, $q$ sa jauge, $H$ l'espace séparé associé à $E$ muni de cette semi-norme; montrer que l'application canonique $\pi$ de $E$ dans le complété $\hat{H}$ est continue, en utilisant la propriété (GDF) et le fait que toute forme linéaire $x' \in V^\circ$ se prolonge d'une seule manière en une forme linéaire continue sur $\hat{H}$, l'ensemble de ces formes étant la boule unité du dual de $\hat{H}$.)