Bài tập 4, § 2

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff và hạ-thùng. a) Chứng minh rằng nếu đối ngẫu mạnh $E'_b$ của $E$ là bornological, thì hoàn thành $\hat{E}$ của $E$, được đồng nhất với một không gian con vectơ của ${E'}^*$ (III, p. 21, th. 2), được chứa trong đối ngẫu thứ hai $E''$ của $E$. b) Ta nói rằng $E$ là đặc biệt nếu mọi tập con của $E''$ bị chặn đối với tôpô $\sigma(E'', E)$ đều được chứa trong bao đóng (đối với tôpô này) của một tập con bị chặn của $E$. Chứng minh rằng để $E$ là đặc biệt thì điều kiện cần và đủ là đối ngẫu mạnh $E'_b$ của nó là thùng (cf. IV, p. 15, prop. 3).