Exercice 4, § 2

Soit $E$ un espace localement convexe séparé et infratonné. a) Montrer que, si le dual fort $E'_b$ de $E$ est bornologique, le complété $\hat{E}$ de $E$, identifié à un sous-espace vectoriel de ${E'}^*$ (III, p. 21, th. 2), est contenu dans le bidual $E''$ de $E$. b) On dit que $E$ est distingué si toute partie de $E''$ bornée pour la topologie $\sigma(E'', E')$ est contenue dans l’adhérence (pour cette topologie) d’une partie bornée de $E$. Montrer que, pour que $E$ soit distingué, il faut et il suffit que son dual fort $E'_b$ soit tonnelé.