Bài tập 24, § 1

Trong một không gian thực định chuẩn E có chiều $\geqslant 3$, ta nói rằng một vectơ $y$ là gần vuông chuẩn với một vectơ $x$, nếu với mọi vô hướng $\lambda$, ta có $\|x + \lambda y\| \geqslant \|x\|$. a) Chứng minh rằng, nếu quan hệ « $y$ là gần vuông chuẩn với $x$ » là đối xứng theo $x, y$, thì chuẩn trên E là tiền Hilbert (chứng minh rằng điều kiện của V, p. 65, exerc. 22 được thỏa mãn). b) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng, nếu với mọi siêu phẳng thuần nhất đóng H trong E, tồn tại một vectơ $\neq 0$ gần vuông chuẩn với mọi vectơ của H. (Cùng phương pháp, áp dụng th. 2 của E, III, § 2, No. 4 cho các phép chiếu liên tục chuẩn 1 từ các không gian con vectơ chứa P lên một mặt phẳng thuần nhất P, các phép chiếu này có thứ tự tuyến tính bởi quan hệ mở rộng.) c) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng nếu với mọi vectơ $x \neq 0$ trong E, tồn tại một siêu phẳng đóng H sao cho $x$ là gần vuông chuẩn với mọi vectơ của H. (Rút gọn về trường hợp E có chiều 3, và áp dụng V, p. 65, exerc. 22 cho đối ngẫu của E). d) Chứng minh rằng cùng kết luận đó vẫn đúng nếu, khi $z$ là gần vuông chuẩn với $x$ và $y$, thì $z$ là gần vuông chuẩn với $x + y$ (áp dụng V, p. 65, exerc. 22).