§ 1. Các không gian tiền Hilbert và các không gian Hilbert

1. Các dạng Hermit

Ta nhắc lại định nghĩa sau đây đã cho trong Đại số (A, IX, § 3, No. 1):

Định nghĩa 1

Cho E là một không gian vectơ trên trường K. Một dạng Hermit (bên trái) trên E là một ánh xạ f từ E × E vào K thỏa mãn các điều kiện sau đây (với $x_1, x_2, x, y_1, y_2, y$ trong E và $\lambda, \mu$ trong K):

(1)

\begin{cases} f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y) \\ f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2) \end{cases}

(2)

\begin{cases} f(\lambda x, y) = \overline{\lambda} f(x, y) \\ f(x, \mu y) = \mu f(x, y) \end{cases}

(3)

f(x, y) = \overline{f(y, x)} .

Khi trường K là R, khái niệm dạng Hermit trên E quy về khái niệm dạng song tuyến tính đối xứng trên E × E (A, III, § 6, No. 3).

Ta chú ý rằng điều kiện thứ hai của (1) và điều kiện thứ hai của (2) suy ra từ ba điều kiện kia.

¹ Đối với độc giả đặc biệt quan tâm đến các không gian Hilbert, chúng tôi chỉ ra rằng chỉ No. 7 của § 1 và No. 8 của § 4 phụ thuộc vào các kết quả của các chương III và IV. Về điểm này, độc giả có thể tham khảo « Tóm tắt một số tính chất quan trọng của các không gian Banach » ở cuối tập này. Các dẫn chiếu duy nhất tới các chương I và II liên quan đến định nghĩa của một tập hợp lồi và của một nửa chuẩn (II, p. 1 và p. 7), của một tổng trực tiếp tôpô (I, p. 4), của một họ toàn phần và một họ độc lập về mặt tôpô (I, p. 12).

Từ (1) và (2) ta suy ra ngay rằng

f(\sum_j \lambda_j x_j, \sum_k \mu_k y_k) = \sum_{j,k} \overline{\lambda}_j \mu_k f(x_j, y_k).

Đặc biệt, nếu E hữu hạn chiều, và nếu $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một cơ sở của E, thì với $x = \sum_{j=1}^n \xi_j e_j$ và $y = \sum_{j=1}^n \eta_j e_j$ , ta có

f(x, y) = \sum_{j,k} \alpha_{jk} \overline{\xi}_j \eta_k

với ký hiệu $\alpha_{jk} = f(e_j, e_k)$ ; hơn nữa, quan hệ (3) tương đương với $\alpha_{jk} = \overline{\alpha}_{kj}$ với mọi cặp chỉ số $j, k$ ; điều này đặc biệt kéo theo rằng các số $\alpha_{jj}$ là thực.

Từ (3), số $Q(x) = f(x, x)$ là thực với mọi $x \in E$ . Hơn nữa, ta thiết lập ngay các công thức sau đây, gọi là các công thức phân cực

(5)

4f(x, y) = \sum_{\varepsilon^2 = 1} \varepsilon Q(x + \varepsilon y) \quad \text{nếu } K \text{ là } \mathbf{R},

(6)

4f(x, y) = \sum_{\varepsilon^4 = 1, \varepsilon \in \mathbf{C}} \varepsilon Q(x + \overline{\varepsilon} y) \quad \text{nếu } K \text{ là } \mathbf{C}.

Nhận xét

— Ta nhận thấy rằng công thức (6) là đúng với mọi dạng nửa song tuyến tính trên $E \times E$ (nghĩa là, với mọi hàm $f$ thỏa mãn (1) và (2), nhưng không nhất thiết thỏa mãn (3)). Nhận xét này cho thấy rằng, khi $K = \mathbf{C}$ , một dạng nửa song tuyến tính $f$ sao cho $f(x, x)$ là thực với mọi $x \in E$ thì tất yếu là Hermit: khi đó quan hệ (6) cho $\overline{f(y, x)} = f(x, y)$ vì ta có $y + \varepsilon x = \varepsilon(x + \overline{\varepsilon} y)$ và $Q(\varepsilon z) = Q(z)$ mỗi khi $\varepsilon^4 = 1$ .

Từ các công thức phân cực, đặc biệt ta có,

Mệnh đề 1

Nếu $f$ là một dạng Hermit trên $E$ , và $M$ là một không gian con vectơ của $E$ sao cho $f(x, x) = 0$ với mọi $x \in M$ , thì ta cũng có $f(x, y) = 0$ với mọi cặp điểm $x, y$ trong $M$ .

Cho $f$ là một dạng Hermit trên $E$ ; tập hợp $N$ gồm mọi $x \in E$ sao cho $f(x, y) = 0$ với mọi $y \in E$ là một không gian con vectơ của $E$ . Suy ra từ (3) rằng, nếu $x_1 \equiv x_2$ (mod. $N$ ) và $y_1 \equiv y_2$ (mod. $N$ ), thì ta có $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ ; do đó, trên không gian thương $E/N$ ta định nghĩa một dạng sesquilinear $f$ bằng cách đặt $f(\dot{x}, \dot{y}) = f(x, y)$ với mọi $x \in \dot{x}$ và mọi $y \in \dot{y}$ ; hiển nhiên $f$ là Hermit và quan hệ « $f(\dot{x}, \dot{y}) = 0$ với mọi $\dot{y} \in E/N$ » kéo theo $\dot{x} = 0$ trong $E/N$ , nói cách khác (A, IX) $f$ là phân ly. Ta nói rằng $f$ là dạng Hermit phân ly liên kết với $f$ .

2. Các dạng Hermit dương

Định nghĩa 2

Cho $E$ là một không gian vectơ trên trường $K$ . Một dạng Hermit $f$ trên $E$ được gọi là dương nếu $f(x, x) \geq 0$ với mọi $x \in E$ .

Hiển nhiên các dạng Hermit trên một không gian vectơ $E$ tạo thành một không gian vectơ trên trường $\mathbf{R}$ (nhưng không trên trường $\mathbf{C}$ , khi $K$ là $\mathbf{C}$ ) : trong không gian này các dạng Hermit dương tạo thành một nón lồi nhọn thực sự (II, p. 10) theo định nghĩa 2 và mệnh đề 1.

Mệnh đề 2

— *Nếu f là một dạng Hermit dương, ta có

|f(x, y)|^2 \leq f(x, x) \ f(y, y)

với mọi x và y trong E (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Trước hết giả sử rằng ta có $f(y, y) \neq 0$ . Với mọi $\xi \in \mathbf{K}$ , ta có

f(y, y) \ f(x + \xi y, x + \xi y) \geq 0

điều này có thể viết thành

f(x, x) \ f(y, y) - |f(x, y)|^2 + (\xi f(y, y) + \overline{f(x, y)}) (\overline{\xi} f(y, y) + f(x, y)) \geq 0 .

Thay thế $\xi$ bởi $-\overline{f(x, y)}/f(y, y)$ trong bất đẳng thức này, ta được (7). Nếu $f(x, x) \neq 0$ , ta lập luận tương tự.

Sau cùng, nếu $f(x, x) = f(y, y) = 0$ , ta có $f(x + \xi y, x + \xi y) \geq 0$ với mọi $\xi \in \mathbf{K}$ , điều này có thể viết thành

\xi f(x, y) + \overline{\xi} f(x, y) \geq 0 .

Thay thế $\xi$ bởi $-\overline{f(x, y)}$ trong bất đẳng thức này, ta được $-2 \ |f(x, y)|^2 \geq 0$ , và do đó $f(x, y) = 0$ ; trong trường hợp này ta lại được (7).

Hệ quả 1

— *Nếu f là một dạng Hermit dương, tập N gồm mọi x \in E sao cho f(x, x) = 0 trùng với không gian con vectơ gồm mọi x \in E sao cho f(x, y) = 0 với mọi y \in E.

Hệ quả 2

— *Để một dạng Hermit dương là phân ly, điều kiện cần và đủ là quan hệ x \neq 0 kéo theo f(x, x) > 0.

Điều này suy ra ngay lập tức từ hệ quả 1.

Với mọi dạng Hermit dương f trên E, dạng Hermit phân ly liên kết với f (V, p. 2) hiển nhiên là một dạng Hermit dương trên E/N.

Mệnh đề 3

— *Cho f là một dạng Hermit dương trên E. Đặt

p(x) = f(x, x)^{1/2}

với mọi x \in E. Khi đó p là một nửa chuẩn trên E, và là một chuẩn khi và chỉ khi f là phân ly.

Chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ . Nhưng ta có

f(x + y, x + y) = f(x, x) + f(y, y) + f(x, y) + \overline{f(x, y)}

và, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,

f(x + y, x + y) \leq f(x, x) + f(y, y) + 2(f(x, x) f(y, y))^{1/2}

= (f(x, x)^{1/2} + f(y, y)^{1/2})^2 .

Nhận xét

— 1) Giả sử f là dương và phân ly, và cho x, y là hai vectơ $\neq 0$ . Chứng minh của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho thấy rằng, nếu hai vế của (7) bằng nhau, thì tồn tại một vô hướng $\xi$ sao cho $f(x + \xi y, x + \xi y) = 0$ , do đó $x + \xi y = 0$ , nói cách khác, $x$ và $y$ phụ thuộc tuyến tính; đảo lại là ngay lập tức. Chứng minh của bất đẳng thức (8) cho thấy rằng đẳng thức $p(x + y) = p(x) + p(y)$ chỉ có thể xảy ra nếu $x$ và $y$ phụ thuộc tuyến tính; nếu $y = \lambda x$ , thì đẳng thức trên có thể viết thành $|1 + \lambda| = 1 + |\lambda|$ , và suy ra rằng $\lambda$ là thực và dương.

2) Cho $f$ là một dạng Hermit dương trên $E$ , và gán cho $E$ nửa chuẩn $x \mapsto f(x, x)^{1/2}$ ; nếu $f$ là dạng Hermit dương, phân ly được xác định trên $E/N$ liên kết với $f$ , thì không gian định chuẩn thu được bằng cách gán chuẩn $x \mapsto f(\dot{x}, \dot{x})^{1/2}$ cho $E/N$ là không gian định chuẩn liên kết với $E$ (II, p. 5).

Định nghĩa 3

Cho $E$ là một không gian vectơ trên trường $K$ . Một nửa chuẩn $p$ trên $E$ được gọi là tiền Hilbert nếu tồn tại một dạng Hermit dương $f$ trên $E$ sao cho $p(x) = f(x, x)^{1/2}$ với mọi $x \in E$ *.

Nhận thấy rằng đối với một nửa chuẩn $p$ trên $E$ , có nhiều nhất một dạng Hermit dương $f$ sao cho $p(x) = f(x, x)^{1/2}$ với mọi $x \in E$ ; điều này suy ra từ các công thức phân cực (V, p. 2).

3. Các không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 4

Một không gian tiền Hilbert là một tập $E$ với cấu trúc không gian vectơ trên $K$ và với một dạng Hermit dương. Ta nói rằng $E$ là một không gian tiền Hilbert thực (resp. phức) khi $K$ là $\mathbf{R}$ (resp. $K$ là $\mathbf{C}$ ).

Ví dụ 1

Dạng $(\lambda, \mu) \mapsto \overline{\lambda} \mu$ xác định một cấu trúc tiền Hilbert trên $K$ , được gọi là chính tắc. Khi $K$ được xét như một không gian tiền Hilbert, ta sẽ luôn luôn hiểu, trừ khi có nói rõ khác đi, rằng nó có cấu trúc này.

Ví dụ 2

Cho $I$ là một khoảng (bị chặn hay không) trong $\mathbf{R}$ , và cho $E$ là tập các hàm điều hòa được (FVR, II, p. 4) xác định trên $I$ với giá trị trong $\mathbf{C}$ , có hỗ compact. Hiển nhiên $E$ là một không gian vectơ trên $\mathbf{C}$ ; cho $f$ là dạng nửa song tuyến tính $(x, y) \mapsto \int_1^1 \overline{x(t)}\ y(t)\ dt$ ; ngay lập tức thấy rằng $f$ là một dạng Hermit dương trên $E$ , và do đó xác định một cấu trúc tiền Hilbert trên không gian này.

Ví dụ 3

Cho $n \geqslant 0$ là một số nguyên. Ta định nghĩa một cấu trúc không gian tiền Hilbert trên không gian $K^n$ , bằng dạng Hermit

(x, y) \mapsto \sum_{j=1}^n \overline{x_j} y_j

(với $x = (x_1, ..., x_n)$ và $y = (y_1, ..., y_n)$ ). Khi $K$ là $\mathbf{R}$ , ta thấy rằng đây chính là tích vô hướng của hai vectơ của $\mathbf{R}^n$ (GT, VI, § 2, No. 2).

Ví dụ 4

Cho $\ell^2$ (hay $\ell^2(\mathbf{N})$ ) là tập hợp các dãy $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ gồm các phần tử của $K$ sao cho $\sum_{n=0}^\infty |x_n|^2$ là hữu hạn. Có thể chứng minh rằng $\ell^2$ là một không gian con vectơ của $K^\mathbf{N}$ và định nghĩa trên $\ell^2$ một cấu trúc không gian tiền Hilbert bằng dạng Hermit $(x, y) \mapsto \sum_{n=0}^\infty \overline{x_n} y_n$ (xem V, p. 18).

Ví dụ 5

Cho $E$ là một không gian tiền Hilbert thực, $f$ là dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng trên $E$ . Cho $E_{(c)}$ là phức hoá không gian vectơ của $E$ ; ta đồng nhất $E$ với một tập con của $E_{(c)}$ bởi ánh xạ $x \mapsto 1 \otimes x$ , theo cách sao cho mọi phần tử của $E_{(c)}$ đều có thể được viết duy nhất dưới dạng $x_1 + ix_2$ với $x_1, x_2$ thuộc $E$ . Ánh xạ $f$ kéo dài duy nhất thành một dạng Hermit $f_{(c)}$ trên $E_{(c)}$ ; ta có,

f_{(c)}(x_1 + ix_2, y_1 + iy_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) + i(f(x_1, y_2) - f(x_2, y_1)) .

Đặc biệt, ta có

f_{(\mathbf{C})}(x_1 + ix_2, x_1 + ix_2) = f(x_1, x_1) + f(x_2, x_2) \geqslant 0,

do đó

f_{(\mathbf{C})}

là dương. Ta nói rằng

E_{(\mathbf{C})}

, được trang bị với

f_{(\mathbf{C})}

, là phức hoá không gian tiền Hilbert của

E

Mỗi khi chỉ xét một cấu trúc không gian tiền Hilbert duy nhất trên một không gian vectơ $E$ , giá trị, đối với một cặp $(x, y)$ điểm của $E$ , của dạng Hermit dùng để định nghĩa cấu trúc nói trên được ký hiệu bởi $\langle x|y \rangle_E$ hoặc đơn giản là $\langle x|y \rangle$ , nếu không có khả năng gây nhầm lẫn. Số này được gọi là tích vô hướng $^1$ của $x$ và $y$ (bình phương vô hướng của $x$ nếu $y = x$ ). Hai vectơ $x, y$ được gọi là trực giao nếu $\langle x|y \rangle = 0$ . Hàm $x \mapsto \|x\| = \langle x|x \rangle^{1/2}$ là một nửa chuẩn trên không gian vectơ $E$ (V, p. 3); một không gian tiền Hilbert luôn luôn được xét cùng với nửa chuẩn được gán cho nó này (và do đó cũng cùng với tôpô và cấu trúc đều tương ứng).

Với các ký hiệu này, trong một không gian tiền Hilbert $E$ , bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể được viết dưới dạng

|\langle x|y \rangle| \leqslant \|x\| \cdot \|y\|.

Do đó, tích vô hướng là một dạng sesquilinear liên tục trên $E \times E$ (II, p. 5, prop. 4).

Để $E$ là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là ánh xạ $x \mapsto \|x\|$ là một chuẩn trên $E$ ; nói cách khác, là dạng Hermit $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ dương và phân ly; điều này tương đương với việc nói rằng $0$ là vectơ duy nhất của $E$ trực giao với chính nó.

Theo các định nghĩa tổng quát (S, IV, § 1, No. 5), một đẳng cấu từ một không gian tiền Hilbert $E$ lên một không gian tiền Hilbert $F$ là một ánh xạ tuyến tính song ánh $u$ từ $E$ lên $F$ sao cho

\langle u(x)|u(y) \rangle = \langle x|y \rangle

với mọi

x

và

y

trong

E

. Từ đó suy ra rằng

\|u(x)\| = \|x\|

với mọi

x \in E

, và hiển nhiên

u

là một đẳng cấu đối với các cấu trúc không gian vectơ tôpô của

E

và của

F

; nếu

E

và

F

là Hausdorff thì

u

là một đẳng cự từ

E

lên

F

. Ngược lại, nếu

u

là một ánh xạ tuyến tính song ánh từ

E

lên

F

, sao cho

\|u(x)\| = \|x\|

với mọi

x \in E

, thì các công thức phân cực (V, p. 2) cho thấy rằng

u

là một đẳng cấu không gian tiền Hilbert từ

E

lên

F

Cho $E$ là một không gian tiền Hilbert phức, và $\langle x|y \rangle$ là tích vô hướng trong $E$ . Trên tập hợp $E$ , ta có thể định nghĩa một cấu trúc không gian vectơ thứ hai đối với $\mathbf{C}$ , lấy cùng luật của nhóm cộng và lấy làm luật hợp thành ngoài ánh xạ $(\lambda, x) \mapsto \overline{\lambda} x$ (A, II, § 1, No. 13); đối với cấu trúc không gian vectơ này, ánh xạ $(x, y) \mapsto \langle y|x \rangle$ là một *dạng Hermit dương

1 Đôi khi có thể xảy ra là chúng tôi viết $(x|y)$ thay cho $\langle y|x \rangle$ . Hãy nhận thấy rằng công thức (4) của V, p. 2, có các dạng tương đương sau:

\begin{align*} \langle \sum_i \lambda_i x_i | \sum_j \mu_j y_j \rangle &= \sum_{i,j} \overline{\lambda}_i \mu_j \langle x_i|y_j \rangle. \\ (\sum_i \lambda_i x_i | \sum_j \mu_j y_j) &= \sum_{i,j} \lambda_i \overline{\mu}_j (x_i|y_j). \end{align*}

dạng. Không gian tiền Hilbert $\overline{E}$ thu được bằng cách gán cấu trúc không gian vectơ mới này và dạng Hermit mới này cho E được gọi là liên hợp với E. Một đẳng cấu $u$ từ E lên $\overline{E}$ là một ánh xạ nửa tuyến tính từ E lên chính nó (đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \overline{\xi}$ của $\mathbf{C}$ ) sao cho $\langle u(y)|u(x) \rangle = \langle x|y \rangle$ hoặc $\langle u(x)|u(y) \rangle = \overline{\langle x|y \rangle}$ (với $x, y$ trong E); một ánh xạ như vậy được gọi là một nửa tự đẳng cấu của không gian tiền Hilbert E.

Nếu E là một không gian tiền Hilbert, M là một không gian con vectơ của E, thì hạn chế của tích vô hướng $\langle x|y \rangle$ trên $M \times M$ là một dạng Hermit dương trên M, do đó xác định một cấu trúc không gian tiền Hilbert trên M; ta nói rằng cấu trúc này được cảm sinh bởi cấu trúc của E, hoặc rằng M là một không gian con tiền Hilbert của E.

4. Các không gian Hilbert

Định nghĩa 5

Một không gian Hilbert* (hay không gian Hilbert) là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và đầy đủ. Ta nói rằng một chuẩn trên một không gian vectơ E (trên K) là Hilbert nếu nó là tiền Hilbert, và nếu không gian định chuẩn E là đầy đủ.

Nếu E là một không gian Hilbert và M là một không gian con vectơ đóng của E, thì cấu trúc không gian tiền Hilbert cảm sinh trên M thực ra là một cấu trúc không gian Hilbert. Trong trường hợp này ta nói rằng M, với cấu trúc cảm sinh, là một không gian con Hilbert của E.

Ví dụ 1

Các không gian tiền Hilbert được định nghĩa trong các ví dụ 1, 3, 4 của V, p. 4, là các không gian Hilbert. Mặt khác, không gian tiền Hilbert được định nghĩa trong ví dụ 2 không là Hausdorff cũng không đầy đủ. Phức hoá của một không gian Hilbert là một không gian Hilbert.

Ví dụ 2

Cho X là một không gian tôpô Hausdorff và $\mu$ là một độ đo dương trên X. Cho $L^2(X, \mu)$ là không gian gồm các lớp tương đương, theo $\mu$ , của mọi hàm khả tích bình phương theo $\mu$ trên X nhận giá trị trong $\mathbf{C}$ . Đây là một không gian Hilbert phức, có tích vô hướng được cho bởi

\langle f|g \rangle = \int_X \overline{f(x)}\ g(x)\ d\mu(x) .

Ví dụ 3

Cho $n \geqslant 1$ là một số nguyên và cho U là một tập mở trong $\mathbf{R}^n$ . Cho $\mu$ là độ đo trên U cảm sinh bởi độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$ , và đặt $\mathscr{H}^0 = L^2(U, \mu)$ . Ký hiệu $\mathscr{H}^1$ là không gian của mọi hàm $f \in \mathscr{H}^0$ có tính chất sau; với $1 \leqslant i \leqslant n$ , tồn tại một hàm $g_i \in \mathscr{H}^\circ$ sao cho

\int_U g_i(x)\ h(x)\ d\mu(x) = - \int_U f(x)\ D_i h(x)\ d\mu(x)

đối với mọi hàm $h$ thuộc lớp $C^1$ có giá compact trong U. Hàm $g_i$ được định nghĩa duy nhất đến tương đương đối với $\mu$ , và được ký hiệu bởi $D_i f$ hoặc $\partial f / \partial x_i$ (đạo hàm riêng thứ $i$ ). Bằng quy nạp theo số nguyên $s \geqslant 1$ , ta định nghĩa $\mathscr{H}^s$ là tập hợp của mọi hàm $f \in \mathscr{H}^1$ sao cho $D_i f \in \mathscr{H}^{s-1}$ với $1 \leqslant i \leqslant n$ . Ta định nghĩa một tích vô hướng trên $\mathscr{H}^s$ bởi công thức

\langle f|g \rangle = \sum_{k=0}^s \sum_{1 \leqslant i_1 \leqslant \ldots \leqslant i_k \leqslant n} \int \overline{D_{i_1} \ldots D_{i_k} f} \cdot D_{i_1} \ldots D_{i_k} g\ d\mu .

Khi đó $\mathscr{H}^s$ là một không gian Hilbert phức, được gọi là không gian Sobolev có chỉ số s.

Ví dụ 4

Cho X là một đa tạp vi phân thuộc lớp $C^r$ (với $r \geqslant 1$ ) thuần nhất có số chiều hữu hạn $n$ .

Trong không gian thớ vectơ $\Lambda^n T(X)$ , cho L là phần bù của tiết diện không. Với mọi số thực $\lambda \neq 0$ , ánh xạ $u \mapsto \lambda u$ từ $\Lambda^n T(X)$ vào chính nó giữ cho L ổn định.

Cho $\alpha$ là một số phức. Một hàm nhận giá trị phức $\omega$ trên L sao cho $\omega(\lambda u) = |\lambda|^{\alpha} \omega(u)$ với $u \in L$ và mọi số thực khác không $\lambda$ được gọi là một mật độ cấp $\alpha$ trên X. Ta nói rằng một mật độ $\omega$ cấp 1 là khả tích địa phương nếu tồn tại một phủ mở $(U_i)_{i \in I}$ của X, và với mọi $i \in I$ một hệ tọa độ $\xi_i = (\xi_i^1, ..., \xi_i^n)$ trên $U_i$ và một hàm nhận giá trị phức $f_i$ trên $\xi_i(U_i)$ thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Hàm $f_i$ là khả tích địa phương trên tập mở $\xi_i(U_i)$ của $\mathbf{R}^n$ đối với độ đo Lebesgue $\mu$ ;

b) Cho $x \in U_i$ ; nếu $(\partial_{1,i,x}, ..., \partial_{n,i,x})$ là cơ sở của $T_x X$ liên kết với hệ tọa độ $(\xi_i', ..., \xi_i^n)$ trong $U_i$ thì ta có

\omega(\partial_{1,i,x} \wedge ... \wedge \partial_{n,i,x}) = f_i(\xi_i^1(x), ..., \xi_i^n(x)) .

Khi đó, tồn tại một và chỉ một độ đo $\tilde{\omega}$ trên X sao cho với mọi $i \in I$ , ảnh qua $\xi_i$ của hạn chế của $\tilde{\omega}$ lên $U_i$ bằng độ đo $f_i \cdot \mu$ (xem VAR, R, 10.4.3).

Cho $\mathscr{V}$ (resp. $\mathscr{N}$ ) là không gian vectơ các mật độ đo được $\omega$ cấp 1/2 sao cho độ đo liên kết với mật độ $|\omega|^2$ cấp 1 bị chặn (resp. bằng không). Cho $\omega_1$ và $\omega_2$ thuộc $\mathscr{V}$ ; khi đó $\omega = \overline{\omega_1} \omega_2$ là một mật độ cấp 1, và độ đo $\tilde{\omega}$ liên kết với $\omega$ bị chặn; số $\int_X \tilde{\omega}$ chỉ phụ thuộc vào các lớp $\dot{\omega}_1$ và $\dot{\omega}_2$ của $\omega_1$ và $\omega_2$ theo modulo $\mathscr{N}$ và được ký hiệu bởi $\langle \omega_1 | \omega_2 \rangle$ hoặc $\langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$ . Khi đó ánh xạ $(\dot{\omega}_1, \dot{\omega}_2) \mapsto \langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$ gán một cấu trúc không gian Hilbert phức cho không gian vectơ $\Omega_{1/2}(X) = \mathscr{V}/\mathscr{N}$ .

Ví dụ 5

Cho D là đĩa mở có tâm 0 và bán kính 1 trong $\mathbf{C}$ . Không gian Hardy $H^2(D)$ gồm tất cả các hàm chỉnh hình $f : D \to \mathbf{C}$ sao cho

\sup_{0 < R < 1} \int_0^1 |f(R \cdot e(\theta))|^2 d\theta < + \infty .

Nếu

f_1

và

f_2

thuộc

H^2(D)

, thì giới hạn

\langle f_1 | f_2 \rangle = \lim_{R \to 1} \int_0^1 \overline{f_1(R \cdot e(\theta))} \cdot f_2(R \cdot e(\theta)) \, d\theta

tồn tại; ánh xạ

(f_1, f_2) \mapsto \langle f_1 | f_2 \rangle

gán một cấu trúc không gian Hilbert phức cho không gian vectơ

H^2(D)

Để một hàm $f : D \to \mathbf{C}$ thuộc $H^2(D)$ , điều kiện cần và đủ là tồn tại một dãy $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các số phức sao cho $\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 < + \infty$ và

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n

với mọi

z \in D

. Khi đó ta có

\|f\|^2 = \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2

, điều này cho một đẳng cấu từ

H^2(D)

lên không gian Hilbert

\ell^2

(V, p. 4).

Mọi không gian tiền Hilbert Hausdorff đều đẳng cấu với một không gian con trù mật khắp nơi của một không gian Hilbert được xác định đến một đẳng cấu. Chính xác là :

Mệnh đề 4

— Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff, $\hat{E}$ là phần bù đầy đủ chuẩn hóa của E(GT, IX, § 3, No. 3). Tích vô hướng* $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ được mở rộng bằng tính liên tục thành một dạng Hermit dương và tách được trên* $\hat{E}$ , và xác định một cấu trúc không gian Hilbert trên $\hat{E}$ .

Sự tồn tại của phép mở rộng của $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ lên $\hat{E} \times \hat{E}$ suy ra từ tính liên tục của dạng nửa song tuyến tính này trên $E \times E$ (GT, III, § 6, No. 5, th. 1). Hơn nữa, phép mở rộng này, cũng sẽ được ký hiệu bởi $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ , là một dạng Hermit và thỏa mãn quan hệ $\langle x|x \rangle = \|x\|^2$ , nhờ nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức ( $\|x\|$ là chuẩn trên $\hat{E}$ thu được bằng cách mở rộng chuẩn trên E bởi tính liên tục) ; điều này chứng minh rằng quan hệ $\langle x|x \rangle = 0$ kéo theo $x = 0$ trong $\hat{E}$ , do đó dạng $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ là dương và tách được, và do đó xác định một cấu trúc không gian Hilbert trên $\hat{E}$ . Q.E.D.

Không gian Hilbert này được gọi là phần bù đầy đủ của không gian tiền Hilbert Hausdorff E.

\* Ví dụ 6. — Cho U là một tập mở của $\mathbf{R}^n$ ( $n \geqslant 1$ ). Cho $\mathscr{C}_0^1(\mathrm{U})$ là không gian vectơ của tất cả các hàm lớp $\mathrm{C}^1$ có giá compact trong U. Ta định nghĩa một cấu trúc không gian tiền Hilbert Hausdorff trên $\mathscr{C}_0^1(\mathrm{U})$ mà tích vô hướng được cho bởi

\langle f|g \rangle = \sum_{i=1}^{n} \int_{\mathrm{U}} \overline{\mathrm{D}_i f(x)} . \mathrm{D}_i g(x) \, dx .

Không gian tiền Hilbert này không đầy đủ. Bổ sung đầy đủ của nó được gọi là không gian Dirichlet liên kết với U. \*

Hệ quả

— Cho V là một không gian vectơ trên K và f một dạng Hermit dương trên V. a) Tồn tại một không gian Hilbert E và một ánh xạ tuyến tính $u : V \to E$ sao cho $f(x, y) = \langle u(x)|u(y) \rangle$ với x, y trong V, và sao cho u(V) trù mật trong E. b) Nếu hai cặp $(E_i, u_i)$ thỏa mãn các điều kiện tương tự như trong a), thì tồn tại một đẳng cấu duy nhất $\phi$ từ không gian Hilbert $E_1$ lên không gian Hilbert $E_2$ sao cho $u_2 = \phi \circ u_1$ .

Gọi N là tập hợp tất cả các $x \in V$ sao cho $f(x, x) = 0$ . Ta định nghĩa một dạng Hermit dương và phân ly trên không gian V/N bởi $\langle \dot{x}|\dot{y} \rangle = f(x, y)$ với $x \in \dot{x}$ và $y \in \dot{y}$ . Gọi E là bổ sung không gian Hilbert của V/N và $u$ là ánh xạ $x \mapsto x + N$ từ V vào E. Khi đó các điều kiện của a) được thỏa mãn.

Dưới các giả thiết của b), N bằng hạt nhân của $u_1$ và của $u_2$ . Do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính song ánh $\phi_0$ từ $u_1(V)$ lên $u_2(V)$ sao cho $u_2(x) = \phi_0(u_1(x))$ với mọi $x \in V$ . Ta kiểm tra ngay lập tức rằng $\phi_0$ là một đẳng cấu của các không gian tiền Hilbert, do đó là một đẳng cự. Vì $u_i(V)$ trù mật trong $E_i$ với $i = 1, 2$ , $\phi_0$ được kéo dài một cách duy nhất thành một đẳng cự $\phi$ từ $E_1$ lên $E_2$ , và b) suy ra.

Ta nói rằng không gian Hilbert E là bổ sung phân ly của V (đối với dạng f).

Ví dụ 7. — Cho G là một nhóm (với phần tử đơn vị 1) và $\pi$ một đồng cấu từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của một không gian Hilbert phức E ; ta nói rằng $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong E. Lấy $a \in E$ ; đặt

\phi(x) = \langle a|\pi(x).a \rangle

với mọi $x \in G$ . Khi đó $\phi : G \to \mathbf{C}$ là xác định dương, nói cách khác thỏa mãn quan hệ :

(PD) Với mọi $\lambda_1, ..., \lambda_n$ trong $\mathbf{C}$ và $x_1, ..., x_n$ trong $G$ , ta có

\sum_{i,j=1}^n \overline{\lambda_i} \lambda_j \phi(x_i^{-1} x_j) \geqslant 0 .

Thật vậy, vế thứ nhất của (11) chính xác là $\| \sum_{i=1}^n \lambda_i \pi(x_i) . a \| ^2$ .

Ngược lại, cho $\phi$ là một hàm xác định dương trên $G$ . Gọi $C^{(G)}$ là không gian vectơ của tất cả các hàm có giá hữu hạn trên $G$ . Ta định nghĩa một dạng Hermit $\Phi$ trên $G$ bởi

\Phi(u, v) = \sum_{x,y \in G} \overline{u(x)} \ v(y) \ \phi(x^{-1} y)

và quan hệ (PD) biểu thị rằng $\Phi$ là dương. Theo hệ quả của mệnh đề 4, tồn tại một không gian Hilbert $E$ và một ánh xạ tuyến tính $\rho : C^{(G)} \to E$ , có ảnh trù mật, sao cho

\Phi(u, v) = \langle \rho(u)|\rho(v) \rangle \quad \text{với} \quad u, v \quad \text{trong} \quad C^{(G)} .

Với mọi $x \in G$ , gọi $\gamma_x$ là phép tịnh tiến trái bởi $x$ trong $C^{(G)}$ được xác định bởi $\gamma_x u(y) = u(x^{-1} y)$ với $u \in C^{(G)}$ và $y \in G$ . Ta có $\Phi(\gamma_x u, \gamma_x v) = \Phi(u, v)$ . Bây giờ áp dụng mệnh đề b) của hệ quả của mệnh đề 4 cho $\rho$ và $\rho \circ \gamma_x$ : tồn tại một tự đẳng cấu duy nhất $\pi(x)$ của không gian Hilbert $E$ sao cho $\rho \circ \gamma_x = \pi(x) \circ \rho$ . Ta thấy ngay lập tức rằng $\pi$ là một đồng cấu từ $G$ vào nhóm các tự đẳng cấu của $E$ .

Gọi $\delta$ là phần tử của $C^{(G)}$ được xác định bởi $\delta(1) = 1, \delta(x) = 0$ với $x \neq 1$ trong $G$ . Ta có $u = \sum_{x \in G} u(x) . \gamma_x \delta$ với mọi $u \in C^{(G)}$ , và do đó $\rho(u) = \sum_{x \in G} u(x) \ \pi(x) . a$ khi đặt $a = \rho(\delta)$ .

Các công thức (12) và (13) suy ra rằng $\phi(x) = \langle a|\pi(x).a \rangle$ với mọi $x \in G$ . Ta nhận xét rằng tập hợp các vectơ $\pi(x).a$ với mọi $x \in G$ là toàn phần trong $E$ .

5. Các tập con lồi của một không gian tiền Hilbert

\| \frac{1}{2}(x + y) \| ^2 + \| \frac{1}{2}(x - y) \| ^2 = \frac{1}{2} (\| x \| ^2 + \| y \| ^2 ) .

Từ đẳng thức này ta suy ra mệnh đề sau:

!Biểu đồ biểu diễn các tập hợp B', B, và A, với x và y được đánh dấu bên trong A

Hình 1.

Mệnh đề 5

— Cho $E$ là một không gian tiền Hilbert. Cho $d$ là một số thực $> 0$ , $\delta$ là một số thực thỏa mãn $0 \leqslant \delta \leqslant d$ . Cho $B$ và $B'$ là các tập con của $E$ được xác định bởi $\| x \| < d$ ,

\|x\| \leq d + \delta \text{ tương ứng, và gọi } A \text{ là một tập hợp lồi được chứa trong } B' - B. \text{ Khi đó với mọi cặp điểm } x, y \text{ của } A, \text{ ta có } \|x - y\| \leq \sqrt{12d\delta} \text{ (hình 1).}

Thật vậy, ta có

\frac{1}{2}(x + y) \in A

, do đó

\left\| \frac{1}{2}(x + y) \right\| \geq d

; vì thế từ (14) ta được bất đẳng thức

\left\| \frac{1}{2}(x - y) \right\|^2 = \frac{1}{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2) - \left\| \frac{1}{2}(x + y) \right\|^2 \leq (d + \delta)^2 - d^2 \leq 3d\delta

từ đó mệnh đề được suy ra.

Định lý 1

Cho E là một không gian tiền Hilbert, và H là một tập con lồi không rỗng của E sao cho H là một không gian con đều Hausdorff và đầy đủ của E. Với mọi $x \in E$ , tồn tại một điểm duy nhất $p_H(x)$ trong H sao cho $\|x - p_H(x)\| = \inf_{y \in H} \|x - y\|$ . Phần tử $p_H(x)$ của H cũng là phần tử duy nhất a của H thỏa mãn quan hệ*

\Re \langle x - a | y - a \rangle \leq 0

với mọi

y \in H

!Biểu đồ biểu diễn một điểm x, một điểm y, và một đoạn thẳng được ghi nhãn a + λ(y − a)

Hình 2.

Đặt $d = \inf_{y \in H} \|x - y\|$ , và với mọi số nguyên $n > 0$ , gọi $H_n$ là tập hợp các điểm $y$ của H sao cho $\|x - y\| \leq d + n^{-1}$ . Tập hợp $H_n$ đóng trong H, lồi và không rỗng, và đường kính của nó bị chặn bởi $\sqrt{12 \frac{d}{n}}$ với mọi $n$ đủ lớn, theo mệnh đề 5. Vì dãy $(H_n)_{n \geq 1}$ là giảm, và tập hợp H là Hausdorff và đầy đủ, suy ra cơ sở của bộ lọc Cauchy $(H_n)_{n \geq 1}$ hội tụ đến một điểm $p_H(x)$ của H; ta có $\{ p_H(x) \} = \bigcap_{n \geq 1} H_n$ , do đó $p_H(x)$ là điểm duy nhất $a$ của H sao cho $\|x - a\| = d$ .

1 Ta nhắc lại (GT, VIII, § 1, No. 1) rằng $\Re(z)$ ký hiệu phần thực của số phức z; ta có $\Re(z) = z$ nếu z là thực.

Cho $y \in \mathbf{H}$ ; vì $\mathbf{H}$ lồi, điểm $z(\lambda) = p_{\mathbf{H}}(x) + \lambda(y - p_{\mathbf{H}}(x))$ của E thuộc $\mathbf{H}$ với mọi số thực $\lambda$ sao cho $0 < \lambda < 1$ . Do đó ta có

\| x - z(\lambda) \|^{2} \geq \| x - p_{\mathbf{H}}(x) \|^{2} \quad \text{với} \quad 0 < \lambda < 1 ,

từ đó suy ra

\mathscr{R} \langle x - p_{\mathbf{H}}(x)|y - p_{\mathbf{H}}(x) \rangle = \lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{2\lambda} \left\{ \| x - p_{\mathbf{H}}(x) \|^{2} - \| x - z(\lambda) \|^{2} \right\} \leq 0 .

Ngược lại, cho

a

là một điểm của

\mathbf{H}

sao cho

\mathscr{R} \langle x - a|y - a \rangle \leq 0

với mọi

y \in \mathbf{H}

. Với mọi

y \in \mathbf{H}

, ta có

\| x - y \|^{2} = \| x - a \|^{2} + \| y - a \|^{2} - 2 \mathscr{R} \langle x - a|y - a \rangle \geq \| x - a \|^{2} ,

và do đó

\| x - a \| = d

và sau hết suy ra

a = p_{\mathbf{H}}(x)

từ phần đầu của chứng minh. CQFD.

Trong phần tiếp theo ánh xạ $p_{\mathbf{H}}$ từ E vào $\mathbf{H}$ sẽ được gọi là phép chiếu từ E lên $\mathbf{H}$ . Ta nhận xét rằng $p_{\mathbf{H}}(x) = x$ với mọi $x \in \mathbf{H}$ .

Phần đầu của định lý 1 vẫn đúng dưới những giả thiết tổng quát hơn trên không gian E (V, p. 67, bài tập 31).

Chứng minh của định lý 1 xác lập, trong số những điều khác, tính chất sau :

Hệ quả 1

Cho I là một tập hợp có hướng bởi một bộ lọc $\mathfrak{F}$ và $(y_{i})_{i \in I}$ là một họ các điểm của $\mathbf{H}$ . Cho $x \in \mathbf{E}$ . Giả sử rằng ta có*

\lim_{i, \mathfrak{F}} \| x - y_{i} \| = \inf_{z \in \mathbf{H}} \| x - z \| .

*Thì

y_{i}

hội tụ đến

p_{\mathbf{H}}(x)

đối với bộ lọc

\mathfrak{F}

Hệ quả 2

Với mọi $x, y$ trong $\mathbf{E}$ , ta có*

\| p_{\mathbf{H}}(x) - p_{\mathbf{H}}(y) \| \leq \| x - y \| .

*Đặc biệt, ánh xạ

p_{\mathbf{H}}

từ

\mathbf{E}

vào

\mathbf{H}

là liên tục.

Cho $x, y$ là hai điểm của $\mathbf{E}$ . Đặt $a = p_{\mathbf{H}}(x) - x, b = p_{\mathbf{H}}(y) - p_{\mathbf{H}}(x), c = y - p_{\mathbf{H}}(y)$ . Theo công thức (15) (V, p. 10) ta có $\mathscr{R} \langle a|b \rangle \geq 0$ và $\mathscr{R} \langle c|b \rangle \geq 0$ . Ta cũng có $a + b + c = y - x$ , từ đó suy ra

\| x - y \|^{2} = \| a + b + c \|^{2} = \| b \|^{2} + \| a + c \|^{2} + 2 \mathscr{R} \langle a|b \rangle + 2 \mathscr{R} \langle c|b \rangle

\geq \| b \|^{2} = \| p_{\mathbf{H}}(x) - p_{\mathbf{H}}(y) \|^{2} .

Điều này chứng minh hệ quả 2.

Mệnh đề 6

Cho $\mathbf{E}$ là một không gian tiền Hilbert và cho $\Phi$ là một tập hợp không rỗng, có hướng, giảm của các tập con lồi, Hausdorff và đầy đủ không rỗng của $\mathbf{E}$ . Với mọi $x \in \mathbf{E}$ và mọi tập con $\mathbf{H}$ của $\mathbf{E}$ , đặt $d(x, \mathbf{H}) = \inf_{z \in \mathbf{H}} \| x - z \|$ . Để giao M của các tập hợp H thuộc $\Phi$ là không rỗng, điều kiện cần và đủ là tồn tại $x_0$ trong E sao cho $\sup_{H \in \Phi} d(x_0, H)$ là hữu hạn. Khi đó với mọi $x \in E$ ta có

p_M(x) = \lim_{H \in \Phi} p_H(x)

(giới hạn đối với tập có hướng

\Phi

Nếu M không rỗng, thì $d(x, H) \leq d(x, M)$ với mọi $H \in \Phi$ và mọi $x \in E$ .

Ngược lại, giả sử tồn tại một điểm $x_0$ trong E và một số thực $C \geq 0$ sao cho $d(x_0, H) \leq C$ với mọi $H \in \Phi$ . Cho $x \in E$ ; khi đó

d(x, H) \leq \|x - x_0\| + C \quad \text{với mọi } H \in \Phi,

do đó số

d = \sup_{H \in \Phi} d(x, H)

là hữu hạn. Gọi B là tập hợp tất cả

z \in E

sao cho

\|x - z\| \leq d

. Vì B lồi và đóng trong E, các tập hợp

H \cap B

, với H chạy qua

\Phi

, là lồi, Hausdorff và đầy đủ. Cho

\varepsilon > 0

; tồn tại một tập hợp

H \in \Phi

sao cho

d(x, H) \geq d - \varepsilon

, và nếu

\varepsilon < d/2

, đường kính của

H \cap B

bị chặn bởi

\sqrt{12 \varepsilon (d - \varepsilon)}

theo mệnh đề 5 (V, p. 9). Nói cách khác, với mọi

H_0 \in \Phi

, các tập hợp đóng

H \cap B

, với

H \in \Phi

và

H \subset H_0

, tạo thành một cơ sở của bộ lọc Cauchy trên không gian Hausdorff và đầy đủ

H_0

. Do đó giao của các tập hợp

H \cap B

(với

H \in \Phi

) thu về một điểm y. Ta được

y \in M

và

\|x - y\| = d = d(x, M)

. Vì M đóng trong

H_0

, nó là một tập hợp Hausdorff, lồi và đầy đủ trong E, và do đó

y = p_M(x)

. Với mọi

H \in \Phi

, ta có

p_H(x) \in H \cap B

, từ đó suy ra

p_M(x) = \lim_{H \in \Phi} p_H(x)

Mệnh đề 7

Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và cho $\Psi$ là một tập hợp không rỗng, có hướng, tăng của các tập con không rỗng, lồi, đầy đủ của E. Đặt $A = \bigcup_{H \in \Psi} H$ và giả sử bao đóng N của A là đầy đủ. Khi đó N là lồi và ta có*

p_N(x) = \lim_{H \in \Psi} p_H(x) \text{ với mọi } x \in E.

Hiển nhiên A là lồi, do đó bao đóng N của nó là lồi (II, p. 13). Với các ký hiệu của mệnh đề 6, $d(x, N) = \inf_{H \in \Psi} d(x, H)$ , và do đó $d(x, N)$ là giới hạn của $d(x, H)$ đối với bộ lọc tiết diện của $\Psi$ . Vì $p_H(x) \in H$ và

\lim_{H \in \Psi} \|x - p_H(x)\| = \lim_{H \in \Psi} d(x, H) = d(x, N),

suy ra từ hệ quả 1 của V, p. 11 rằng

p_H(x)

hội tụ đến phép chiếu

p_N(x)

của

x

lên N đối với bộ lọc tiết diện của

\Psi

6. Không gian con vectơ và các trực giao-phép chiếu

Cho E là một không gian tiền Hilbert. Nhắc lại rằng hai vectơ $x$ và $y$ của E được gọi là trực giao nếu $\langle x | y \rangle = 0$ ; khi đó

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

(« định lý Pythagore »).

Cho A là một tập con của E. Ta nói rằng một vectơ x trong E trực giao với A nếu nó trực giao với mọi vectơ của A. Tập hợp tất cả vectơ trực giao với A là một không gian con vectơ đóng của A, ký hiệu là $A^\circ$ và được gọi (do lạm dụng ngôn ngữ) là trực giao của A.

Cho A và B là hai tập con của E. Ta nói rằng A và B trực giao nếu mọi vectơ của A trực giao với mọi vectơ của B. Điều này tương đương với việc nói rằng $A \subset B^\circ$ , hoặc $B \subset A^\circ$ . Nếu E là Hausdorff và nếu A và B trực giao thì $A \cap B$ là rỗng hoặc thu về 0 vì 0 là vectơ duy nhất của E trực giao với chính nó.

Định lý 2

Cho E là một không gian tiền Hilbert và M là một không gian con vectơ của E, không gian này là Hausdorff và đầy đủ. Khi đó E là tổng trực tiếp tôpô của M và của $M^\circ$ là không gian con trực giao với M. Phép chiếu từ E lên M liên kết với phân tích $E = M \oplus M^\circ$ là phép chiếu $p_M$ từ E lên M được định nghĩa trong đl. 1 (V, p. 10).

Trước hết ta chứng minh rằng $x - p_M(x)$ thuộc $M^\circ$ với mọi $x \in E$ . Cho $y \in M$ . Với mọi vô hướng $\lambda \in K$ , vectơ $p_M(x) + \lambda y$ thuộc M; do đó theo công thức 15 (V, p. 10) ta có,

\mathscr{R}(\lambda \langle x - p_M(x)|y \rangle) \leq 0

với mọi $\lambda \in K$ . Đặc biệt, nếu ta lấy $\lambda = \overline{\langle x - p_M(x)|y \rangle}$ thì suy ra $\langle x - p_M(x)|y \rangle = 0$ , do đó được mệnh đề của ta.

Vì M là Hausdorff, 0 là vectơ duy nhất của M trực giao với chính nó, do đó $M \cap M^\circ = \{0\}$ . Với mọi $x \in E$ , ta có $p_M(x) \in M$ và $x - p_M(x) \in M^\circ$ . Do đó, E là tổng trực tiếp của M và $M^\circ$ , và $p_M$ là phép chiếu từ E lên M có hạt nhân là $M^\circ$ . Vì $p_M$ là một ánh xạ liên tục từ E vào M (V, p. 11, hệ quả 2), nên từ GT, III, § 6, No. 2 suy ra rằng E là tổng trực tiếp tôpô của M và $M^\circ$ .

Hệ quả

Cho E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và M là một không gian con vectơ hữu hạn chiều của E. Khi đó E là tổng trực tiếp của M và $M^\circ$ .

Vì E là Hausdorff, nên M cũng vậy; vì M hữu hạn chiều, nó là đầy đủ (I, p. 13). Do đó chỉ cần áp dụng đl. 2.

Với các ký hiệu của đl. 2, ta nói rằng $M^\circ$ là phần bù trực giao của M và rằng $p_M$ là phép chiếu trực giao (hoặc phép chiếu trực giao, hoặc do lạm dụng ngôn ngữ, phép chiếu) từ E lên M; nếu x là một vectơ của E, thì vectơ $p_M(x)$ của M cũng được gọi là hình chiếu trực giao của x trên M. Chú ý rằng $p_M$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E lên M và rằng ta có $\|p_M\| = 1$ theo hệ quả 2 của V, p. 11, trừ trường hợp $M = \{0\}$ khi đó $p_M = 0$ .

Ngay lập tức suy ra từ định lý Pythagore rằng ánh xạ chính tắc $\psi$ từ $E/M$ lên $M^\circ$ suy ra từ phân tích tổng trực tiếp $E = M \oplus M^\circ$ là đẳng cự nếu $E/M$ được trang bị nửa chuẩn thương suy ra từ nửa chuẩn của E (II, p. 4). Ta sẽ luôn trang bị cho $E/M$ cấu trúc tiền Hilbert sao cho $\psi$ là một đẳng cấu của các không gian tiền Hilbert; khi đó nửa chuẩn thương trên $E/M$ được suy ra từ cấu trúc tiền Hilbert này.

Ta sẽ thường dùng các kết quả trên khi E là một không gian Hilbert và M là một không gian con vectơ đóng của E. Trong trường hợp này, $M^\circ$ là một không gian con vectơ đóng của E, và $p_{M^\circ} = 1 - p_M$ , và $(M^\circ)^\circ = M$ .

Mệnh đề 8

— Cho E là một không gian Hilbert, M là một không gian con vectơ đóng của E, I là một tập hợp có thứ tự có hướng không rỗng và $(M_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian con vectơ đóng của E. Ta giả sử hoặc là ánh xạ $i \mapsto M_i$ tăng và M là bao đóng của $\bigcup_{i \in I} M_i$ hoặc là ánh xạ $i \mapsto M_i$ giảm và $M = \bigcap_{i \in I} M_i$ . Khi đó $p_M(x) = \lim_{i \in I} p_{M_i}(x)$ với mọi $x \in E$ .

Mệnh đề 8 được suy ra ngay lập tức từ các mệnh đề 6 (V, p. 11) và 7 (V, p. 12).

Mệnh đề 9

— Cho E là một không gian Hilbert và M, N là hai không gian con vectơ đóng của E.

a) Các điều kiện sau là tương đương: (i) $p_M p_N = p_N p_M$ ; (ii) nếu $x \in M$ trực giao với $M \cap N$ và nếu $y \in N$ trực giao với $M \cap N$ , thì x và y trực giao; (iii) mọi vectơ của M trực giao với $M \cap N$ đều trực giao với N; (iv) $M = (M \cap N) + (M \cap N^\circ)$ .

b) Nếu các điều kiện tương đương của a) được thỏa mãn, thì ta có $p_{M \cap N} = p_M p_N$ , không gian con vectơ $M + N$ của E là đóng và ta có $p_{M+N} = p_M + p_N - p_M p_N$ .

c) Ta có $p_M p_N = 0$ khi và chỉ khi M trực giao với N. Nếu đúng như vậy, thì không gian con vectơ $M + N$ của E là đóng, và $p_{M+N} = p_M + p_N$ .

Đặt $L = M \cap N$ , $M_1 = M \cap L^\circ$ và $N_1 = N \cap L^\circ$ . Điều kiện (ii) kéo theo rằng $M_1$ và $N_1$ trực giao, và (iii) kéo theo rằng $M_1$ và N trực giao. Vì ta có $N = N_1 + L$ và $M_1$ trực giao với L, nên ta đã chứng minh được tính tương đương của (ii) và (iii). Nếu điều kiện (iii) được thỏa mãn, thì ta có $M_1 = M \cap N^\circ$ và vì $M = L + M_1$ , điều kiện (iv) được thỏa mãn. Ngược lại, từ (iv) ta kết luận rằng $M_1 = M \cap N^\circ$ vì các không gian con $M \cap N$ và $M \cap N^\circ$ của M trực giao, và do đó $M_1 \subset N^\circ$ , tức là quan hệ (iii).

Giả sử điều kiện (iv) được thỏa mãn. Ngay lập tức thấy rằng $p_N(y) = p_L(y)$ với mọi $y \in M$ và do đó $p_N p_M(x) = p_L p_M(x)$ với mọi $x \in E$ . Nhưng, với mọi $x \in E$ , vectơ $p_L p_M(x)$ thuộc L, và vectơ

x - p_L p_M(x) = (x - p_M(x)) + (p_M(x) - p_L(p_M(x)))

thuộc

M^\circ + L^\circ = L^\circ

; do đó ta có

p_L p_M(x) = p_L(x)

. Sau cùng,

p_N p_M = p_L p_M = p_L

. Vì điều kiện (ii) tương đương với (iv) và đối xứng theo M và N, ta cũng có

p_M p_N = p_L

. Sau cùng ta được

p_M p_N = p_N p_M = p_{M \cap N}

, điều này cho (i).

Ngược lại, giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn. Cho $x \in M$ ; ta có

p_M(p_N(x)) = p_N(p_M(x)) = p_N(x)

và do đó

p_N(x) \in M

. Ta kết luận rằng

x - p_N(x) \in M

, do đó

x

là tổng của một phần tử

p_N(x)

của

M \cap N

và một phần tử

x - p_N(x)

của

M \cap N^\circ

, điều này cho (iv).

Ta đã chứng minh a) và phần đầu của b). Bây giờ giả sử rằng $p_M$ và $p_N$ giao hoán và đặt $q = p_M + p_N - p_M p_N$ ; vì $p_M$ và $p_N$ là các idempotent trong đại số $\mathscr{L}(E)$ , q cũng vậy; do đó (GT, III, § 6, No. 2) ảnh của q là một không gian con vectơ đóng của E.

Hiển nhiên là ảnh của $q$ được chứa trong $M + N$ ; tuy nhiên, ta có $p_N(x) = x$ , do đó $q(x) = x$ với mọi $x \in N$ ; vì ta cũng có $q = p_M + p_N - p_N p_M$ , suy ra $q(x) = x$ với mọi $x \in M$ . Ta kết luận rằng ảnh của $q$ bằng $M + N$ . Trực giao của $M + N$ bằng $M^\circ \cap N^\circ$ , và hạt nhân của $q$ hiển nhiên chứa $M^\circ \cap N^\circ$ , do đó $q = p_{M+N}$ . Điều này chứng minh b).

Ta có $p_M p_N = 0$ khi và chỉ khi ảnh $N$ của $p_N$ được chứa trong hạt nhân $M^\circ$ của $p_M$ , nghĩa là, khi và chỉ khi $M$ trực giao với $N$ . Phần còn lại của mệnh đề c) khi đó là một trường hợp riêng của b).

Nhận xét

— Cho $E$ là một không gian Hilbert và $M, N$ là hai không gian con vectơ đóng của $E$ . Quan hệ $M \subset N$ tương đương với tính trực giao của $M$ và $N^\circ$ , nghĩa là tương đương với quan hệ $p_M p_{N^\circ} = 0$ theo mệnh đề 9, c). Vì ta có $p_{N^\circ} = 1 - p_N$ , ta kết luận rằng các quan hệ $M \subset N$ và $p_M = p_M p_N$ là tương đương (« định lý ba đường vuông góc », xem hình 3).

!Biểu đồ biểu diễn các không gian con M, N, và các hình chiếu p_M(x), p_N(x)

Hình 3.

7. Đối ngẫu của một không gian Hilbert

Định lý 3

Cho $E$ là một không gian Hilbert. Với mỗi $x \in E$ , gọi $x^*$ là dạng tuyến tính liên tục $y \mapsto \langle x | y \rangle$ trên $E$ ; ánh xạ $x \mapsto x^*$ là một ánh xạ song ánh, nửa tuyến tính (đối với tự đẳng cấu $\xi \mapsto \bar{\xi}$ ) từ $E$ lên đối ngẫu của nó $E'$ , và là một đẳng cự từ không gian định chuẩn $E$ lên không gian định chuẩn $E'$ .

Ánh xạ $x \mapsto x^*$ là nửa tuyến tính theo (2) (V, p. 1) và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $\|x^*\| = \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle x | y \rangle| = \|x\|$ , do đó $x \mapsto x^*$ là một đẳng cự từ $E$ vào $E'$ , và đặc biệt, là đơn ánh. Để hoàn tất chứng minh, ta cần chứng minh rằng với mọi $x' \neq 0$ trong $E'$ , tồn tại $x \in E$ sao cho $x' = x^*$ . Nhưng siêu phẳng $H = \mathrm{Ker}\, x'$ là đóng trong $E$ ; trực giao của nó là một đường thẳng $D$ . Gọi $b$ là một phần tử khác không của $D$ ; hạt nhân của dạng tuyến tính $b^*$ bằng $H$ và do đó tồn tại một vô hướng $\lambda \neq 0$ sao cho $x' = \lambda \cdot b^* = (\overline{\lambda} \cdot b)^*$ . Q.E.D.

Ánh xạ $x \mapsto x^*$ từ $E$ lên đối ngẫu của nó $E'$ được gọi là chính tắc. Ánh xạ nghịch đảo từ $E'$ lên $E$ cũng được gọi là chính tắc và được ký hiệu bởi $x' \mapsto {x'}^*$ . Ta có

\langle x | y \rangle = \langle y, x^* \rangle, \quad \langle x, x' \rangle = \langle {x'}^* | x \rangle

với $x, y$ trong $E$ và $x'$ trong $E'$ . Ngoài ra, $(x^*)^* = x$ với $x \in E$ .

Khi K là $\mathbf{R}$ , ánh xạ $x \mapsto x^*$ là tuyến tính. Ta sẽ chuyển tích vô hướng của E sang E' bởi ánh xạ này. Khi $K = \mathbf{C}$ , ta có thể xem ánh xạ $x \mapsto x^*$ như một đẳng cấu từ không gian vectơ $\overline{E}$ , liên hợp của E, lên E' (V, p. 6). Ta sẽ chuyển tích vô hướng của $\overline{E}$ sang E' bởi ánh xạ này.

Trong hai trường hợp được xét, E' là một không gian Hilbert và ta có các công thức

\langle x^*|y^* \rangle = \overline{\langle x|y \rangle}, \quad \langle x'|x' \rangle = \|x'\|^2

với $x, y$ trong E và $x'$ trong E'.

Nói rằng vectơ $x \in E$ trực giao với một vectơ $y \in E$ tương đương với nói rằng dạng tuyến tính $x^* \in E'$ trực giao với $y$ theo nghĩa đã định nghĩa ở II, p. 41 (điều này biện minh cho việc dùng từ « orthogonal » trong hai trường hợp). Nếu M là một không gian con vectơ đóng của E, không gian con $M^\circ$ trực giao với M trong E' (II, p. 44) là ảnh qua $x \mapsto x^*$ của trực giao của M trong E, được định nghĩa ở V, p. 13 (điều này biện minh cho việc dùng ký hiệu $M^\circ$ trong hai trường hợp).

Hệ quả 1

Để họ $(x_i)_{i \in I}$ các điểm của một không gian Hilbert E là toàn phần, điều kiện cần và đủ là các hệ thức $\langle x_i|y \rangle = 0$ với $y \in E$ và với mọi chỉ số $i \in I$ kéo theo $y = 0$ .

Thật vậy, điều này nói rằng 0 là vectơ duy nhất của E' trực giao với mọi $x_i$ (II, p. 43 and IV, p. 1).

Hệ quả 2

Cho E và F là hai không gian Hilbert. Với $u \in \mathscr{L}(E; F)$ , $x \in E$ và $y \in F$ , đặt

\Phi_u(y, x) = \langle y|u(x) \rangle .

Ánh xạ $u \mapsto \Phi_u$ là một đẳng cấu từ không gian Banach $\mathscr{L}(E; F)$ lên không gian tất cả các dạng sesquilinear liên tục $^1$ trên $F \times E$ , được trang bị chuẩn

\|f\| = \sup_{\substack{x \in E, y \in F \\ \|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1}} |f(y, x)| .

Hiển nhiên $\Phi_u$ là sesquilinear và liên tục với mọi $u \in \mathscr{L}(E; F)$ . Ngược lại, cho $f$ là một dạng sesquilinear liên tục trên $F \times E$ . Với mọi $x \in E$ , ánh xạ $y \mapsto f(y, x)$ là một dạng tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert F. Theo định lý 3, với mọi $x \in E$ , tồn tại một phần tử duy nhất $u(x)$ trong F sao cho $f(y, x) = \langle u(x)|y \rangle$ với mọi $y \in F$ . Ánh xạ $u : x \mapsto u(x)$ từ E vào F là tuyến tính và ta có

\begin{align*} \|f\| &= \sup_{\|x\| \leq 1} \sup_{\|y\| \leq 1} |f(y, x)| = \sup_{\|x\| \leq 1} \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle y|u(x) \rangle| \\ &= \sup_{\|x\| \leq 1} \|u(x)\| ; \end{align*}

do đó $u$ thuộc $\mathscr{L}(E; F)$ , $f = \Phi_u$ và $\|u\| = \|f\|$ . Điều này chứng minh hệ quả 2.

$^1$ Nhắc lại (A, IX, § 1, No. 5) rằng một dạng sesquilinear (bên trái) $f$ trên $F \times E$ là một ánh xạ từ $F \times E$ vào K thỏa mãn các hệ thức (1) và (2) của V, p. 1.

Ánh xạ chính tắc từ E vào song đối ngẫu E'' của nó (IV, p. 14) ánh xạ E lên E'', nói cách khác (IV, p. 16), E là một không gian Banach phản xạ. Thật vậy, nếu E là một không gian Hilbert thực (ứng. phức), ánh xạ chính tắc φ từ E' lên E là một đẳng cấu từ không gian định chuẩn E' lên E (ứng. lên không gian liên hợp $\overline{E}$ của E); áp dụng định lý 3 cho E (ứng. E), ta thấy mọi dạng tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn E' đều có dạng $x' \mapsto \langle \phi(x')|x \rangle = \langle x, x' \rangle$ với $x \in E$ , do đó mệnh đề của chúng ta được suy ra.

Hệ quả là (IV, p. 17, mệnh đề 6):

Định lý 4

Trong một không gian Hilbert E, quả cầu đơn vị là compac yếu.

Mệnh đề 10

Nếu, trong một không gian Hilbert E, một bộ lọc $\mathfrak{F}$ hội tụ yếu đến $x_0$ , và nếu hơn nữa $\lim_{\mathfrak{F}} \|x\| = \|x_0\|$ , thì $\mathfrak{F}$ hội tụ đến $x_0$ theo tôpô ban đầu của E.

Thật vậy, $\|x - x_0\|^2 = \|x\|^2 - 2\Re \langle x|x_0 \rangle + \|x_0\|^2$ . Vì $\langle x|x_0 \rangle$ hội tụ đến $\|x_0\|^2$ theo $\mathfrak{F}$ theo giả thiết, và $\|x\|$ hội tụ đến $\|x_0\|$ theo $\mathfrak{F}$ , nên $\|x - x_0\|$ hội tụ đến 0 theo $\mathfrak{F}$ , do đó có mệnh đề.

Nhận xét

— Nếu E là một không gian tiền Hilbert Hausdorff và $\hat{E}$ là không gian Hilbert đầy đủ hóa của E, ta biết (III, p. 16) rằng đối ngẫu E' của E có thể được đồng nhất với đối ngẫu của $\hat{E}$ ; khi đó từ định lý 3 (V, p. 15) suy ra rằng mọi dạng tuyến tính liên tục trên E có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng $x \mapsto \langle a|x \rangle$ , trong đó $a \in \hat{E}$ .

Bài tập

Xem bài tập của § 1.