§ 1. Espaces préhilbertiens et espaces hilbertiens

1. Formes hermitiennes

Rappelons la définition suivante donnée en Algèbre (A, IX, § 2, no 1) :

Définition 1

Soit E un espace vectoriel sur le corps K. On appelle forme hermitienne (à gauche) sur E toute application $f$ de $E \times E$ dans K satisfaisant aux conditions suivantes (pour $x_1, x_2, x, y_1, y_2, y$ dans E et $\lambda, \mu$ dans K) :

(1)

\begin{cases} f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y) \\ f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2) \end{cases}

(2)

\begin{cases} f(\lambda x, y) = \overline{\lambda} f(x, y) \\ f(x, \mu y) = \mu f(x, y) \end{cases}

(3)

f(x, y) = \overline{f(y, x)} .

Lorsque le corps K est égal à $\mathbf{R}$ , la notion de forme hermitienne sur E se réduit à celle de forme bilinéaire symétrique sur $E \times E$ (A, III, p. 70).

On observera que la seconde condition (1) et la seconde condition (2) sont des conséquences des trois autres.

$^1$ Pour le lecteur qui s'intéresse spécialement aux espaces hilbertiens, on signale que seuls le no 7 du § 1 et le no 8 du § 4 dépendent des résultats des chapitres III et IV. Le lecteur pourra d'ailleurs à ce sujet se reporter au « Résumé des principales propriétés des espaces de Banach » qui figure à la fin de ce volume. Les seules références aux chapitres I et II concernent la définition d'un ensemble convexe et d'une semi-norme (II, p.1 et p.8), celle de somme directe topologique (I, p. 4 ), de famille totale et de famille topologiquement libre (I, p. 12).

De (1) et (2) on déduit aussitôt que

f\left( \sum_j \lambda_j x_j, \sum_k \mu_k y_k \right) = \sum_{j,k} \overline{\lambda}_j \mu_k f(x_j, y_k) .

En particulier, si E est de dimension finie, et si $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ est une base de E, on a, pour $x = \sum_{j=1}^n \xi_j e_j$ et $y = \sum_{j=1}^n \eta_j e_j$ ,

f(x, y) = \sum_{j,k} \alpha_{jk} \overline{\xi}_j \eta_k

pour tout couple d’indices

j, k

; elle entraîne en particulier que les nombres

\alpha_{jj}

sont réels.

D’après (3), le nombre $Q(x) = f(x, x)$ est réel pour tout $x \in E$ . Par ailleurs, on établit aussitôt les formules suivantes, dites de polarisation

4f(x, y) = \sum_{\varepsilon^2 = 1} \varepsilon Q(x + \varepsilon y) \quad \text{si } K = \mathbf{R},

4f(x, y) = \sum_{\varepsilon^4 = 1, \varepsilon \in \mathbf{C}} \varepsilon Q(x + \overline{\varepsilon} y) \quad \text{si } K = \mathbf{C}.

Remarque

On notera que la formule (6) est valable pour toute forme sesquilinéaire sur $E \times E$ (c’est-à-dire toute fonction $f$ satisfaisant à (1) et (2), mais non nécessairement à (3)). Cette remarque montre que, lorsque $K = \mathbf{C}$ , une forme sesquilinéaire $f$ telle que $f(x, x)$ soit réel pour tout $x \in E$ est nécessairement hermitienne : la relation (6) donne alors $\overline{f(y, x)} = f(x, y)$ puisque l’on a $y + \varepsilon x = \varepsilon (x + \overline{\varepsilon} y)$ et $Q(\varepsilon z) = Q(z)$ lorsque $\varepsilon^4 = 1$ .

Des formules de polarisation, on tire en particulier :

Proposition 1

Si $f$ est une forme hermitienne sur $E$ , et $M$ un sous-espace vectoriel de $E$ tel que $f(x, x) = 0$ pour tout $x \in M$ , on a aussi $f(x, y) = 0$ pour tout couple de points $x, y$ de $M$ *.

Soit $f$ une forme hermitienne sur $E$ ; l’ensemble $N$ des $x \in E$ tels que $f(x, y) = 0$ pour tout $y \in E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ . Il résulte de (3) que, si $x_1 \equiv x_2$ (mod. $N$ ) et $y_1 \equiv y_2$ (mod. $N$ ), on a $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ ; on définit donc sur l’espace quotient $E/N$ une forme sesquilinéaire $f$ en posant $f(\dot{x}, \dot{y}) = f(x, y)$ pour tout $x \in \dot{x}$ et tout $y \in \dot{y}$ ; il est clair que $f$ est hermitienne et que la relation « $f(\dot{x}, \dot{y}) = 0$ pour tout $\dot{y} \in E/N$ » entraîne $\dot{x} = 0$ dans $E/N$ , autrement dit (A, IX) $f$ est séparante. On dit que $f$ est la forme hermitienne séparante associée à $f$ .

2. Formes hermitiennes positives

Définition 2

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $K$ . On dit qu’une forme hermitienne $f$ sur $E$ est positive si l’on a $f(x, x) \geq 0$ pour tout $x \in E$ *.

Il est clair que les formes hermitiennes sur un espace vectoriel $E$ forment un espace vectoriel sur le corps $\mathbf{R}$ (mais non sur le corps $\mathbf{C}$ lorsque $K = \mathbf{C}$ ); dans cet espace, les formes hermitiennes positives constituent un cône convexe pointé saillant (II, p. 11) comme il résulte de la déf. 2 et de la prop. 1.

Proposition 2

Si $f$ est une forme hermitienne positive, on a

|f(x, y)|^2 \leq f(x, x)\ f(y, y)

quels que soient $x$ et $y$ dans $E$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).

Supposons d’abord qu’on ait $f(y, y) \neq 0$ . Pour tout $\xi \in K$ , on a

f(y, y)\ f(x + \xi y, x + \xi y) \geq 0

ce qui s’écrit

f(x, x)\ f(y, y) - |f(x, y)|^2 + (\overline{\xi} f(y, y) + \overline{f(x, y)}) (\overline{\xi} f(y, y) + f(x, y)) \geq 0 .

En remplaçant $\xi$ par $-\overline{f(x, y)}/f(y, y)$ dans cette inégalité, on obtient (7). Raisonnement analogue si $f(x, x) \neq 0$ .

Enfin, si $f(x, x) = f(y, y) = 0$ , on a $f(x + \xi y, x + \xi y) \geq 0$ pour tout $\xi \in K$ , ce qui s’écrit alors

\xi f(x, y) + \overline{\xi f(x, y)} \geq 0 .

Remplaçant $\xi$ par $-\overline{f(x, y)}$ dans cette inégalité, il vient $-2|f(x, y)|^2 \geq 0$ , d’où $f(x, y) = 0$ ; on a encore (7) dans ce cas.

Corollaire 1

Si $f$ est une forme hermitienne positive, l’ensemble $N$ des $x \in E$ tels que $f(x, x) = 0$ est identique au sous-espace vectoriel des $x \in E$ tels que $f(x, y) = 0$ pour tout $y \in E$ .

Corollaire 2

Pour qu’une forme hermitienne positive $f$ soit séparante, il faut et il suffit que la relation $x \neq 0$ entraîne $f(x, x) > 0$ .

Cela résulte immédiatement du cor. 1.

Pour toute forme hermitienne positive $f$ sur $E$ , la forme hermitienne séparante associée à $f$ (V, p. 2) est évidemment une forme hermitienne positive sur $E/N$ .

Proposition 3

Soit $f$ une forme hermitienne positive sur $E$ . Posons

p(x) = f(x, x)^{1/2}

pour tout $x \in E$ . Alors $p$ est une semi-norme sur $E$ , et c’est une norme si et seulement si $f$ est séparante.

Tout revient à prouver l’inégalité $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ . Or, on a

f(x + y, x + y) = f(x, x) + f(y, y) + f(x, y) + \overline{f(x, y)}

et, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

f(x + y, x + y) \leq f(x, x) + f(y, y) + 2(f(x, x)\ f(y, y))^{1/2}

= (f(x, x)^{1/2} + f(y, y)^{1/2})^2 .

Remarque 1

Supposons $f$ positive et séparante, et soient $x, y$ deux vecteurs $\neq 0$ . La démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwarz montre que, si les deux membres de (7) sont égaux, il existe un scalaire $\xi$ tel que $f(x + \xi y, x + \xi y) = 0$ donc $x + \xi y = 0$ , autrement dit, $x$ et $y$ sont linéairement dépendants ; la réciproque est immédiate. La démonstration de l’inégalité (8) montre alors que l’égalité $p(x + y) = p(x) + p(y)$ n’est possible que si $x$ et $y$ sont linéairement dépendants ; si $y = \lambda x$ , l’égalité précédente s’écrit $|1 + \lambda| = 1 + |\lambda|$ , et entraîne donc que $\lambda$ est réel et positif.

Remarque 2

Soit $f$ une forme hermitienne positive sur $E$ , et munissons $E$ de la semi-norme $x \mapsto f(x, x)^{1/2}$ ; si $\hat{f}$ est la forme hermitienne positive séparante associée à $f$ , définie sur $E/N$ , l’espace normé obtenu en munissant $E/N$ de la norme $x \mapsto \hat{f}(x, x)^{1/2}$ est l’espace normé associé à $E$ (II, p. 5).

Définition 3

Soit* $E$ un espace vectoriel sur le corps $K$ . On dit qu’une semi-norme $p$ sur $E$ est préhilbertienne s’il existe une forme hermitienne positive $f$ sur $E$ telle que $p(x) = f(x, x)^{1/2}$ pour tout $x \in E$ .

On notera que, pour une semi-norme $p$ sur $E$ , il existe au plus une forme hermitienne positive $f$ telle que $p(x) = f(x, x)^{1/2}$ pour tout $x \in E$ ; cela résulte des formules de polarisation (V, p. 2).

3. Espaces préhilbertiens

Définition 4

On appelle espace préhilbertien un ensemble* $E$ muni d’une structure d’espace vectoriel sur $K$ et d’une forme hermitienne positive. On dit que $E$ est un espace préhilbertien réel (resp. complexe) lorsque $K = \mathbf{R}$ (resp. $K = \mathbf{C}$ ).

Exemple 1

La forme $(\lambda, \mu) \mapsto \overline{\lambda} \mu$ définit sur $K$ une structure d’espace préhilbertien, dite canonique. Lorsque $K$ est considéré comme espace préhilbertien, il s’agit toujours, sauf mention expresse du contraire, de cette structure.

Exemple 2

Soit $I$ un intervalle (borné ou non) de $\mathbf{R}$ , et soit $E$ l’ensemble des fonctions réglées (FVR, II, p. 4) définies dans $I$ , à valeurs dans $\mathbf{C}$ et à support compact. Il est clair que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbf{C}$ ; soit $f$ la forme sesquilinéaire $(x, y) \mapsto \int_I \overline{x(t)}\ y(t)\ dt$ ; il est immédiat que $f$ est une forme hermitienne positive sur $E$ , et définit donc sur cet espace une structure d’espace préhilbertien.

Exemple 3

Soit $n \geqslant 0$ un entier. Sur l’espace $K^n$ , on définit une structure d’espace préhilbertien, au moyen de la forme hermitienne

(x, y) \mapsto \sum_{j=1}^n \overline{x_j} y_j

(pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$ et $y = (y_1, \ldots, y_n)$ ). Lorsque $K = \mathbf{R}$ , on retrouve le produit scalaire de deux vecteurs de $\mathbf{R}^n$ (TG, VI, p. 8).

Exemple 4

\* Soit $\ell^2$ (ou $\ell^2(\mathbf{N})$ ) l’ensemble des suites $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ d’éléments de $K$ telles que $\sum_{n=0}^\infty |x_n|^2$ soit fini. On montre que $\ell^2$ est un sous-espace vectoriel de $K^\mathbf{N}$ et l’on définit une structure d’espace préhilbertien sur $\ell^2$ au moyen de la forme hermitienne

(x, y) \mapsto \sum_{n=0}^\infty \overline{x_n} y_n \quad (cf.\ V, p.18).

Exemple 5

Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $f$ la forme bilinéaire symétrique correspondante sur $E$ . Soit $E_{(c)}$ l’espace vectoriel complexifié de $E$ ; on identifie $E$ à un sous-ensemble de $E_{(c)}$ par l’application $x \mapsto 1 \otimes x$ , de sorte que tout élément de $E_{(c)}$ s’écrit de manière unique sous la forme $x_1 + ix_2$ avec $x_1, x_2$ dans E. L’application $f$ s’étend de manière unique en une forme hermitienne $f_{(c)}$ sur $E_{(c)}$ ; on a

f_{(c)}(x_1 + ix_2, y_1 + iy_2) = f(x_1, y_1) + f(x_2, y_2) + i(f(x_1, y_2) - f(x_2, y_1)) .

En particulier, on a

f_{(c)}(x_1 + ix_2, x_1 + ix_2) = f(x_1, x_1) + f(x_2, x_2) \geqslant 0 ,

donc

f_{(c)}

est positive. On dit que

E_{(c)}

, muni de

f_{(c)}

, est l’espace préhilbertien complexifié de E.

Lorsqu’on n’a à considérer, sur un espace vectoriel E, qu’une seule structure d’espace préhilbertien, la valeur, pour un couple $(x, y)$ de points de E, de la forme hermitienne qui définit la structure considérée, se note $\langle x|y \rangle_E$ ou plus simplement $\langle x|y \rangle$ si aucune confusion n’est à craindre. Ce nombre s’appelle le produit scalaire $^1$ de x et de y (carré scalaire de x si $y = x$ ). Deux vecteurs $x, y$ sont dits orthogonaux si $\langle x|y \rangle = 0$ . La fonction $x \mapsto \|x\| = \langle x|x \rangle^{1/2}$ est alors une semi-norme sur l’espace vectoriel E (V, p. 3); un espace préhilbertien est toujours considéré comme muni de cette semi-norme (et par suite aussi de la topologie et de la structure uniforme correspondantes).

Avec ces notations, dans un espace préhilbertien E, l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit

|\langle x|y \rangle| \leqslant \|x\| \cdot \|y\| .

Par suite, le produit scalaire est une forme sesquilinéaire continue sur

E \times E

(II, p. 6, prop. 4).

Pour que E soit séparé, il faut et il suffit que $x \mapsto \|x\|$ soit une norme sur E, autrement dit que la forme hermitienne $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ soit positive et séparante; il revient au même de dire que $0$ est le seul vecteur de E orthogonal à lui-même.

Conformément aux définitions générales (E, IV, p. 6), un isomorphisme d’un espace préhilbertien E sur un espace préhilbertien F est une application linéaire bijective $u$ de E sur F telle que

\langle u(x)|u(y) \rangle = \langle x|y \rangle

quels que soient

x

y

dans E. On déduit de là

\|u(x)\| = \|x\|

pour tout

x \in E

, et

u

est évidemment un isomorphisme pour les structures d’espace vectoriel topologique de E et de F ; si E et F sont séparés,

u

est une isométrie de E sur F. Réciproquement, si

u

est une application linéaire bijective de E sur F, telle que

\|u(x)\| = \|x\|

pour tout

$^1$ Il nous arrivera parfois d’écrire $(x|y)$ pour $\langle y|x \rangle$ . Notons que la formule (4) de V, p. 2, prend les formes équivalentes :

(4\ bis)

\langle \sum_i \lambda_i x_i | \sum_j \mu_j y_j \rangle = \sum_{i,j} \overline{\lambda}_i \mu_j \langle x_i | y_j \rangle .

(4\ ter)

(\sum_i \lambda_i x_i | \sum_j \mu_j y_j) = \sum_{i,j} \lambda_i \overline{\mu}_j \langle x_i | y_j \rangle .

x ∈ E, les formules de polarisation (V, p. 2) montrent que u est un isomorphisme d’espaces préhilbertiens de E sur F.

Soient E un espace préhilbertien complexe, ⟨ x|y ⟩ le produit scalaire dans E. Sur l’ensemble E, on peut définir une seconde structure d’espace vectoriel par rapport à C, en gardant la même loi de groupe additif, et prenant comme loi de composition externe (λ, x) ↦ λ̄x (A, II, p. 30); pour cette structure d’espace vectoriel, (x, y) ↦ ⟨ y|x ⟩ est une forme hermitienne positive. L’espace préhilbertien E obtenu en munissant E de cette nouvelle structure d’espace vectoriel et de cette nouvelle forme hermitienne, est dit conjugué à l’espace E. Un isomorphisme u de E sur E est une application semi-linéaire de E sur lui-même (relative à l’automorphisme ξ ↦ ξ̄ de C) telle que ⟨ u(y)|u(x) ⟩ = ⟨ x|y ⟩ ou encore ⟨ u(x)|u(y) ⟩ = ⟨ x|y ⟩ (pour x, y dans E); on dit encore qu’une telle application est un semi-automorphisme de l’espace préhilbertien E.

Si E est un espace préhilbertien, M un sous-espace vectoriel de E, la restriction à M × M du produit scalaire ⟨ x|y ⟩ est une forme hermitienne positive sur M, qui définit donc sur M une structure d’espace préhilbertien; on dit que cette structure est induite par celle de E, ou encore que M est un sous-espace préhilbertien de E.

4. Espaces hilbertiens

Définition 5

On appelle espace hilbertien (ou espace de Hilbert) un espace préhilbertien séparé et complet. On dit qu’une norme sur un espace vectoriel E (sur K) est hilbertienne si elle est préhilbertienne et si l’espace normé E est complet.

Si E est un espace hilbertien et M un sous-espace vectoriel fermé de E, la structure d’espace préhilbertien induite sur M est en fait une structure d’espace hilbertien. On dit dans ce cas que M, muni de la structure induite, est un sous-espace hilbertien de E.

Exemple 1

Les espaces préhilbertiens définis dans les exemples 1, 3, 4 de V, p. 4, sont des espaces hilbertiens. Par contre, l’espace préhilbertien E défini dans l’exemple 2 n’est ni séparé, ni complet. Le complexifié d’un espace hilbertien est un espace hilbertien.

Exemple 2

\* Soit X un espace topologique séparé et soit μ une mesure positive sur X. Notons L²(X, μ) l’espace formé des classes d’équivalence pour μ des fonctions de carré μ-intégrable sur X à valeurs dans C. C’est un espace hilbertien complexe, dont le produit scalaire est donné par

\langle f|g \rangle = \int_X \overline{f(x)}\ g(x)\ d\mu(x) .

Exemple 3

\* Soit n ≥ 1 un entier et soit U un ouvert de Rⁿ. On note μ la mesure sur U induite par la mesure de Lebesgue sur Rⁿ, et l’on pose $\mathscr{H}^0 = L^2(U, \mu)$ . On note $\mathscr{H}^1$ l’espace des fonctions $f \in \mathscr{H}^0$ ayant la propriété suivante : pour $1 \leq i \leq n$ , il existe une fonction $g_i \in \mathscr{H}^0$ telle que

\int_U g_i(x)\ h(x)\ d\mu(x) = - \int_U f(x)\ D_i h(x)\ d\mu(x)

pour toute fonction h de classe $C^1$ à support compact dans U. La fonction $g_i$ est définie de manière unique (à l’équivalence pour μ près) et se note $D_i f$ ou $\partial f / \partial x_i$ (i-ième dérivée partielle). Par récurrence sur l’entier $s \geqslant 1$ , on définit $\mathscr{H}^s$ comme l’ensemble des fonctions $f \in \mathscr{H}^1$ telles que $D_i f \in \mathscr{H}^{s-1}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$ . On définit un produit scalaire sur $\mathscr{H}^s$ par la formule

\langle f | g \rangle = \sum_{k=0}^s \sum_{1 \leqslant i_1 \leqslant \cdots \leqslant i_k \leqslant n} \int \overline{D_{i_1} \cdots D_{i_k} f} \cdot D_{i_1} \cdots D_{i_k} g d\mu .

Alors

\mathscr{H}^s

est un espace hilbertien complexe, qu’on appelle espace de Sobolev d’indice

s

Exemple 4

\* Soit $X$ une variété différentielle de classe $C^r$ (avec $r \geqslant 1$ ), pure de dimension finie $n$ . Soit $L$ le complémentaire, dans le fibré vectoriel $\Lambda^n T(X)$ , de l’image de la section nulle. Pour tout nombre réel $\lambda \neq 0$ , l’application $u \mapsto \lambda u$ de $\Lambda^n T(X)$ dans lui-même laisse stable $L$ .

Soit $\alpha$ un nombre complexe. On appelle densité d’ordre $\alpha$ sur $X$ une fonction $\omega$ sur $L$ , à valeurs complexes, telle que l’on ait $\omega(\lambda u) = |\lambda|^{\alpha} \omega(u)$ pour $u \in L$ et $\lambda$ réel non nul. On dit qu’une densité $\omega$ d’ordre 1 est localement intégrable s’il existe un recouvrement ouvert $(U_i)_{i \in I}$ de $X$ , et pour chaque $i \in I$ un système de coordonnées $\xi_i = (\xi_i^1, \ldots, \xi_i^n)$ dans $U_i$ et une fonction $f_i$ à valeurs complexes sur $\xi_i(U_i)$ satisfaisant aux conditions suivantes :

a) La fonction $f_i$ est localement intégrable sur l’ouvert $\xi_i(U_i)$ de $\mathbf{R}^n$ par rapport à la mesure de Lebesgue $\mu$ ; b) soit $x \in U_i$ ; si $(\partial_{1,i,x}, \ldots, \partial_{n,i,x})$ est la base de $T_x X$ associée au système de coordonnées $(\xi_i^1, \ldots, \xi_i^n)$ dans $U_i$ , on a

\omega(\partial_{1,i,x} \wedge \cdots \wedge \partial_{n,i,x}) = f_i(\xi_i^1(x), \ldots, \xi_i^n(x)) .

Il existe alors sur

X

une mesure

\tilde{\omega}

et une seule telle que pour tout

i \in I

, l’image par

\xi_i

de la restriction de

\tilde{\omega}

U_i

soit égale à la mesure

f_i \cdot \mu

(cf. VAR, R, 10.4.3).

Soit $\mathscr{V}$ (resp. $\mathscr{N}$ ) l’espace vectoriel des densités $\omega$ d’ordre 1/2 telles que la mesure associée à la densité $|\omega|^2$ d’ordre 1 soit bornée (resp. nulle). Soient $\omega_1$ et $\omega_2$ dans $\mathscr{V}$ ; alors $\omega = \overline{\omega}_1 \omega_2$ est une densité d’ordre 1, et la mesure $\tilde{\omega}$ associée à $\omega$ est bornée ; le nombre $\int_X \tilde{\omega}$ ne dépend que des classes $\dot{\omega}_1$ et $\dot{\omega}_2$ de $\omega_1$ et $\omega_2$ modulo $\mathscr{N}$ et se note $\langle \omega_1 | \omega_2 \rangle$ ou $\langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$ . Alors l’application $(\dot{\omega}_1, \dot{\omega}_2) \mapsto \langle \dot{\omega}_1 | \dot{\omega}_2 \rangle$ munit l’espace vectoriel $\Omega_{1/2}(X) = \mathscr{V}/\mathscr{N}$ d’une structure d’espace hilbertien complexe.

Exemple 5

\* Soit $D$ le disque ouvert de centre 0 et rayon 1 dans $\mathbf{C}$ . L’espace de Hardy $H^2(D)$ se compose des fonctions holomorphes $f : D \to \mathbf{C}$ pour lesquelles on a

\sup_{0 < R < 1} \int_0^1 |f(R \cdot e(\theta))|^2 \, d\theta < + \infty .

f_1

f_2

appartiennent à

H^2(D)

, la limite

\langle f_1 | f_2 \rangle = \lim_{R \to 1} \int_0^1 \overline{f_1(R \cdot e(\theta))} \cdot f_2(R \cdot e(\theta)) \, d\theta

existe ; l’application

(f_1, f_2) \mapsto \langle f_1 | f_2 \rangle

munit l’espace vectoriel

H^2(D)

d’une structure d’espace hilbertien complexe.

Pour qu’une fonction $f : D \to \mathbf{C}$ appartienne à $H^2(D)$ , il faut et il suffit qu’il existe une suite $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de nombres complexes telle que $\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 < + \infty$ et que

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n

pour tout

z \in D

. On a alors

\|f\|^2 = \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2

, d’où un isomorphisme de

H^2(D)

avec l’espace hilbertien

\ell^2

(V, p. 4).

Tout espace préhilbertien séparé est isomorphe à un sous-espace partout dense d’un espace hilbertien déterminé à un isomorphisme près ; de façon précise :

Proposition 4

Soient E un espace préhilbertien séparé, $\hat{E}$ l’espace normé complété de E (TG, IX, p. 33). Le produit scalaire $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ se prolonge par continuité en une forme hermitienne positive et séparante sur $\hat{E}$ , qui définit sur $\hat{E}$ une structure d’espace hilbertien.

L’existence du prolongement de $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ à $\hat{E} \times \hat{E}$ résulte de la continuité de cette forme sesquilinéaire dans $E \times E$ (TG, III, p. 50, th. 1). En outre, ce prolongement, que nous noterons aussi $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ , est une forme hermitienne et satisfait à la relation $\langle x|x \rangle = \|x\|^2$ , en vertu du principe de prolongement des identités ( $\|x\|$ désignant la norme sur $\hat{E}$ obtenue en prolongeant par continuité la norme sur E) ; cela prouve que la relation $\langle x|x \rangle = 0$ entraîne $x = 0$ dans $\hat{E}$ , donc que la forme $(x, y) \mapsto \langle x|y \rangle$ est positive et séparante, et définit par suite sur $\hat{E}$ une structure d’espace hilbertien.

On dit que cet espace hilbertien est le complété de l’espace préhilbertien séparé E.

\* Exemple 6. — Soit U un ouvert de $\mathbf{R}^n$ ( $n \geqslant 1$ ). Soit $\mathscr{C}_0^1(U)$ l’espace vectoriel des fonctions de classe $C^1$ à support compact dans U. On définit sur $\mathscr{C}_0^1(U)$ une structure d’espace préhilbertien séparé dont le produit scalaire est donné par

\langle f|g \rangle = \sum_{i=1}^n \int_U \overline{D_i f(x)} \cdot D_i g(x) \, dx .

Cet espace préhilbertien n’est pas complet. Son complété s’appelle l’espace de Dirichlet associé à U. \*

Corollaire

Soient V un espace vectoriel sur K et f une forme hermitienne positive sur V.

a) Il existe un espace de Hilbert E et une application linéaire $u : V \to E$ tels que $f(x, y) = \langle u(x)|u(y) \rangle$ pour $x, y$ dans V, et que $u(V)$ soit dense dans E.

b) Si deux couples $(E_i, u_i)$ satisfont aux conditions analogues à a), il existe un unique isomorphisme $\varphi$ de l’espace de Hilbert $E_1$ sur l’espace de Hilbert $E_2$ tel que $u_2 = \varphi \circ u_1$ .

Soit N l’ensemble des $x \in V$ tels que $f(x, x) = 0$ . Sur l’espace $V/N$ , on définit une forme hermitienne positive et séparante par $\langle \dot{x}|\dot{y} \rangle = f(x, y)$ pour $x \in \dot{x}$ et $y \in \dot{y}$ . Soient E l’espace hilbertien complété de $V/N$ et $u$ l’application $x \mapsto x + N$ de V dans E. Alors les conditions de a) sont remplies.

Sous les hypothèses de b), N est égal au noyau de $u_1$ et à celui de $u_2$ . Il existe donc une application linéaire bijective $\varphi_0$ de $u_1(V)$ sur $u_2(V)$ telle que $u_2(x) = \varphi_0(u_1(x))$ pour tout $x \in V$ . On vérifie aussitôt que $\varphi_0$ est un isomorphisme d’espaces préhilbertiens, donc une isométrie. Comme $u_i(V)$ est dense dans $E_i$ pour $i = 1, 2$ , $\varphi_0$ se prolonge de manière unique en une isométrie $\varphi$ de $E_1$ sur $E_2$ , d’où b).

On dit que l’espace hilbertien E est le séparé-complété de V (pour la forme $f$ ).

Exemple 7

Soient G un groupe (d’élément unité noté 1) et $\pi$ un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes d’un espace hilbertien complexe E ; on dit encore que $\pi$ est une représentation unitaire de $G$ dans $E$ . Soit $a \in E$ ; on pose

\varphi(x) = \langle a | \pi(x) \cdot a \rangle

pour tout

x \in G

. Alors

\varphi : G \to \mathbf{C}

est de type positif, autrement dit satisfait à la relation :

(TP) Quels que soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ dans $\mathbf{C}$ et $x_1, \ldots, x_n$ dans $G$ , on a

\sum_{i,j=1}^n \overline{\lambda_i} \lambda_j \varphi(x_i^{-1} x_j) \geqslant 0 .

En effet, le premier membre de (11) n’est autre que

\| \sum_{i=1}^n \lambda_i \pi(x_i) \cdot a \| ^2

Réciproquement, soit $\varphi$ une fonction de type positif sur $G$ . Soit $C^{(G)}$ l’espace vectoriel des fonctions à support fini sur $G$ . On définit une forme hermitienne $\Phi$ sur $C^{(G)}$ par

\Phi(u, v) = \sum_{x,y \in G} \overline{u(x)} \ v(y) \ \varphi(x^{-1} y)

et la relation (TP) exprime que

\Phi

est positive. D’après le corollaire de la prop. 4, il existe un espace hilbertien

E

et une application linéaire

\rho : C^{(G)} \to E

, d’image dense, telle que

\Phi(u, v) = \langle \rho(u) | \rho(v) \rangle \quad \text{pour } u, v \text{ dans } C^{(G)} .

Pour tout

x \in G

, soit

\gamma_x

la translation à gauche par

x

dans

C^{(G)}

définie par

\gamma_x u(y) = u(x^{-1} y)

pour

u \in C^{(G)}

y \in G

. On a

\Phi(\gamma_x u, \gamma_x v) = \Phi(u, v)

. Appliquons alors l’assertion b) du corollaire de la prop. 4 à

\rho

\rho \circ \gamma_x

: il existe un unique automorphisme

\pi(x)

de l’espace hilbertien

E

tel que

\rho \circ \gamma_x = \pi(x) \circ \rho

. On voit aussitôt que

\pi

est un homomorphisme de

G

dans le groupe des automorphismes de

E

. Soit

\delta

l’élément de

C^{(G)}

défini par

\delta(1) = 1, \delta(x) = 0

pour

x \neq 1

dans

G

. On a

u = \sum_{x \in G} u(x) \cdot \gamma_x \delta

pour tout

u \in C^{(G)}

, d’où

\rho(u) = \sum_{x \in G} u(x) \pi(x) \cdot a

, en posant

a = \rho(\delta)

. Les formules (12) et (13) entraînent aussitôt

\varphi(x) = \langle a | \pi(x) \cdot a \rangle

pour tout

x \in G

. On remarquera que l’ensemble des vecteurs

\pi(x) \cdot a

, pour

x \in G

, est total dans

E

5. Sous-ensembles convexes d’un espace préhilbertien

\| \frac{1}{2}(x + y) \| ^2 + \| \frac{1}{2}(x - y) \| ^2 = \frac{1}{2} (\| x \| ^2 + \| y \| ^2) .

On déduit de cette identité la proposition suivante :

!Diagram showing sets B', B, and A with points x and y

Fig. 1.

Proposition 5

Soit E un espace préhilbertien. Soient d un nombre réel > 0, δ un nombre réel tel que 0 ≤ δ < d. Soient B et B' les parties de E définies par \|x\| < d, \|x\| ≤ d + δ respectivement, et soit A un ensemble convexe contenu dans B' − B. Pour tout couple de points x, y de A, on a alors \|x − y\| ≤ \sqrt{12dδ} (fig. 1).

En effet, on a $\frac{1}{2}(x + y) \in A$ , donc $\left\| \frac{1}{2}(x + y) \right\| \geq d$ ; on tire alors de (14) l’inégalité

\left\| \frac{1}{2}(x - y) \right\|^2 = \frac{1}{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2) - \left\| \frac{1}{2}(x + y) \right\|^2 \leq (d + \delta)^2 - d^2 \leq 3d\delta

d’où la proposition.

Théorème 1

Soient E un espace préhilbertien, H une partie convexe non vide de E telle que H soit un sous-espace uniforme séparé et complet de E. Pour tout $x \in E$ , il existe un point $p_H(x)$ de H et un seul tel que $\|x - p_H(x)\| = \inf_{y \in H} \|x - y\|$ . L’élément $p_H(x)$ de H est aussi l’unique élément a de H satisfaisant à la relation $^1$

(15)

\Re \langle x - a | y - a \rangle \leq 0

pour tout

y \in H

!Figure 2

Fig. 2.

Posons $d = \inf_{y \in H} \|x - y\|$ , et pour tout entier $n > 0$ , soit $H_n$ l’ensemble des points $y$ de H tels que $\|x - y\| \leq d + n^{-1}$ . L’ensemble $H_n$ est fermé dans H, convexe et non vide, et son diamètre est majoré par $\sqrt{12d/n}$ pour tout $n$ assez grand d’après la prop. 5. La suite $(H_n)_{n \geq 1}$ étant décroissante, et l’ensemble H étant supposé séparé et complet, la base de filtre de Cauchy $(H_n)_{n \geq 1}$ converge vers un point $p_H(x)$ de H ; on a $\{ p_H(x) \} = \bigcap_{n \geq 1} H_n$ , donc $p_H(x)$ est l’unique point a de H tel que $\|x - a\| = d$ .

Soit $y \in H$ ; comme H est convexe, le point $z(\lambda) = p_H(x) + \lambda(y - p_H(x))$ de E appartient à H pour tout nombre réel $\lambda$ tel que $0 < \lambda < 1$ . On a donc $\|x - z(\lambda)\|^2 \geq \|x - p_H(x)\|^2$ pour $0 < \lambda < 1$ , d’où

\Re \langle x - p_H(x) | y - p_H(x) \rangle = \lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{2\lambda} \left\{ \|x - p_H(x)\|^2 - \|x - z(\lambda)\|^2 \right\} \leq 0 .

$^1$ On rappelle (TG, VIII, p. 2) que $\Re(z)$ désigne la partie réelle du nombre complexe z ; on a $\Re(z) = z$ si z est réel.

Réciproquement, soit $a$ un point de $H$ tel que l’on ait $\mathscr{R} \langle x - a | y - a \rangle \leq 0$ pour tout $y \in H$ . Pour tout $y \in H$ , on a donc

\|x - y\|^2 = \|x - a\|^2 + \|y - a\|^2 - 2\mathscr{R} \langle x - a | y - a \rangle \geq \|x - a\|^2,

d’où $\|x - a\| = d$ et finalement $a = p_H(x)$ d’après la première partie de la démonstration.

L’application $p_H$ de $E$ dans $H$ sera appelée dans la suite la projection de $E$ sur $H$ . On remarquera que l’on a $p_H(x) = x$ pour tout $x \in H$ .

La première partie du th. 1 est valable sous des hypothèses plus générales sur l’espace $E$ (V, p. 66, exerc. 31).

La démonstration du th. 1 établit entre autres la propriété suivante :

Corollaire 1

Soient $I$ un ensemble filtré par un filtre $\mathfrak{F}$ et $(y_i)_{i \in I}$ une famille de points de $H$ . Soit $x \in E$ . On suppose que l’on a

\lim_{i, \mathfrak{F}} \|x - y_i\| = \inf_{z \in H} \|x - z\|.

Alors $y_i$ tend vers $p_H(x)$ suivant le filtre $\mathfrak{F}$ .

Corollaire 2

Quels que soient $x, y$ dans $E$ , on a

\|p_H(x) - p_H(y)\| \leq \|x - y\|.

En particulier, l’application $p_H$ de $E$ dans $H$ est continue.

Soient $x, y$ deux points de $E$ . Posons $a = p_H(x) - x,\ b = p_H(y) - p_H(x),\ c = y - p_H(y)$ . D’après la formule (15) (V, p. 10), on a $\mathscr{R} \langle a | b \rangle \geq 0$ et $\mathscr{R} \langle c | b \rangle \geq 0$ . On a $a + b + c = y - x$ , d’où

\begin{align*} \|x - y\|^2 &= \|a + b + c\|^2 = \|b\|^2 + \|a + c\|^2 + 2\mathscr{R} \langle a | b \rangle + 2\mathscr{R} \langle c | b \rangle \\ &\geq \|b\|^2 = \|p_H(x) - p_H(y)\|^2. \end{align*}

Ceci prouve le cor. 2.

Proposition 6

Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $\Phi$ un ensemble non vide, filtrant décroissant de parties convexes non vides, séparées et complètes de $E$ . Pour tout $x \in E$ et toute partie $H$ de $E$ , posons $d(x, H) = \inf_{z \in H} \|x - z\|$ . Pour que l’intersection $M$ des ensembles $H$ appartenant à $\Phi$ soit non vide, il faut et il suffit qu’il existe $x_0$ dans $E$ tel que $\sup_{H \in \Phi} d(x_0, H)$ soit fini. Pour tout $x \in E$ , on a alors $p_M(x) = \lim_{H \in \Phi} p_H(x)$ (limite suivant l’ensemble filtrant $\Phi$ ).

Si $M$ est non vide, on a $d(x, H) \leq d(x, M)$ pour tout $H \in \Phi$ et tout $x \in E$ . Réciproquement, supposons qu’il existe un point $x_0$ de $E$ et un nombre réel

C ≥ 0 tels que $d(x_0, H) \leq C$ pour tout $H \in \Phi$ . Soit $x \in E$ ; on a alors

d(x, H) \leq \|x - x_0\| + C \text{ pour tout } H \in \Phi,

donc le nombre

d = \sup_{H \in \Phi} d(x, H)

est fini. Soit B l’ensemble des

z \in E

tels que

\|x - z\| \leq d

. Comme B est convexe et fermé dans E, les ensembles

H \cap B

, pour H parcourant

\Phi

, sont convexes, séparés et complets. Soit

\varepsilon > 0

; il existe un ensemble

H \in \Phi

tel que

d(x, H) \geq d - \varepsilon

, et si

\varepsilon < d/2

, le diamètre de

H \cap B

est majoré par

\sqrt{12\varepsilon(d - \varepsilon)}

d’après la prop. 5 (V, p. 10). Autrement dit, pour tout

H_0 \in \Phi

, les ensembles fermés

H \cap B

, pour

H \in \Phi

H \subset H_0

, forment une base de filtre de Cauchy sur l’espace séparé et complet

H_0

. L’intersection des ensembles

H \cap B

(pour

H \in \Phi

) est donc réduite à un point

y

. On a

y \in M

\|x - y\| = d = d(x, M)

. Comme M est fermé dans

H_0

, c’est un ensemble convexe, séparé et complet dans E et l’on a donc

y = p_M(x)

. Pour tout

H \in \Phi

, on a

p_H(x) \in H \cap B

, d’où

p_M(x) = \lim_{H \in \Phi} p_H(x)

Proposition 7

Soit E un espace préhilbertien séparé et soit $\Psi$ un ensemble non vide, filtrant croissant de parties convexes, complètes et non vides de E. Posons $A = \bigcup_{H \in \Psi} H$ et supposons que l’adhérence N de A soit complète. Alors N est convexe et l’on a $p_N(x) = \lim_{H \in \Psi} p_H(x)$ pour tout $x \in E$ .

Il est clair que A est convexe, donc son adhérence N est convexe (II, p. 14). Avec les notations de la prop. 6, on a $d(x, N) = \inf_{H \in \Psi} d(x, H)$ , et par suite $d(x, N)$ est la limite de $d(x, H)$ suivant le filtre des sections de $\Psi$ . Comme on a $p_H(x) \in H$ et $\lim_{H \in \Psi} \|x - p_H(x)\| = \lim_{H \in \Psi} d(x, H) = d(x, N)$ , il résulte du cor. 1 de V, p. 11 que $p_H(x)$ tend suivant le filtre des sections de $\Psi$ vers la projection $p_N(x)$ de x sur N.

6. Sous-espaces vectoriels et orthoprojecteurs

Soit E un espace préhilbertien. Rappelons que deux vecteurs $x$ et $y$ de E sont dits orthogonaux si l’on a $\langle x | y \rangle = 0$ ; on a alors

\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2

(« th. de Pythagore »).

Soit A une partie de E. On dit qu’un vecteur $x$ de E est orthogonal à A s’il est orthogonal à tout vecteur de A. L’ensemble des vecteurs orthogonaux à A est un sous-espace vectoriel fermé de E, noté $A^\circ$ et appelé (par abus de langage) l’*orthogonal* de A.

Soient A et B deux parties de E. On dit que A et B sont orthogonales si tout vecteur de A est orthogonal à tout vecteur de B. Il revient au même de dire que l’on a $A \subset B^\circ$ , ou encore $B \subset A^\circ$ . Si E est séparé et si A et B sont orthogonales, alors $A \cap B$ est vide ou réduit à 0 puisque 0 est le seul vecteur de E orthogonal à lui-même.

Théorème 2

Soient E un espace préhilbertien et M un sous-espace vectoriel de E, qui est séparé et complet. Alors E est somme directe topologique de M et du sous-espace $M^\circ$ orthogonal de M. Le projecteur de E sur M associé à la décomposition $E = M \oplus M^\circ$ est la projection $p_M$ de E sur M définie dans le th. 1 (V, p. 10).

Montrons d’abord que $x - p_M(x)$ appartient à $M^\circ$ pour tout $x \in E$ . En effet, soit $y \in M$ . Pour tout scalaire $\lambda \in K$ , le vecteur $p_M(x) + \lambda y$ appartient à M ; d’après la formule (15) (V, p. 10), on a donc

\mathscr{R}(\lambda \langle x - p_M(x)|y \rangle) \leq 0

pour tout $\lambda \in K$ . Si l’on prend en particulier $\lambda = \overline{\langle x - p_M(x)|y \rangle}$ , on en conclut $\langle x - p_M(x)|y \rangle = 0$ , d’où notre assertion.

Comme M est séparé, 0 est le seul vecteur de M orthogonal à lui-même, d’où $M \cap M^\circ = \{0\}$ . Pour tout $x \in E$ , on a $p_M(x) \in M$ et $x - p_M(x) \in M^\circ$ . Par suite, E est somme directe de M et $M^\circ$ , et $p_M$ est le projecteur de E sur M de noyau $M^\circ$ . Comme $p_M$ est une application continue de E dans M (V, p. 11, cor. 2), il résulte de TG, III, p. 46 que E est somme directe topologique de M et $M^\circ$ .

Corollaire

Soient E un espace préhilbertien séparé et M un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Alors E est somme directe de M et de $M^\circ$ .

Puisque E est séparé, il en est de même de M ; comme M est de dimension finie, il est donc complet (I, p. 14). Il suffit donc d’appliquer le th. 2.

Avec les notations du th. 2, on dit que $M^\circ$ est le supplémentaire orthogonal de M et que $p_M$ est l’orthoprojecteur (ou le projecteur orthogonal, ou par abus de langage le projecteur) de E sur M ; si x est un vecteur de E, le vecteur $p_M(x)$ de M s’appelle aussi la projection orthogonale de x sur M. Notons que $p_M$ est une application linéaire continue de E sur M et que l’on a $\|p_M\| = 1$ d’après le cor. 2 de V, p. 11, sauf dans le cas où $M = \{0\}$ où l’on a $p_M = 0$ .

Il résulte aussitôt du th. de Pythagore que l’application canonique $\psi$ de E/M sur $M^\circ$ déduite de la décomposition en somme directe $E = M \oplus M^\circ$ est isométrique si l’on munit E/M de la semi-norme quotient de celle de E (II, p. 4). Nous munirons toujours E/M de la structure d’espace préhilbertien pour laquelle $\psi$ est un isomorphisme d’espaces préhilbertiens ; la semi-norme quotient sur E/M est alors déduite de cette structure préhilbertienne.

Nous utiliserons le plus souvent les résultats précédents lorsque E est un espace hilbertien et M un sous-espace vectoriel fermé de E. Dans ce cas, $M^\circ$ est un sous-espace vectoriel fermé de E, et l’on a $p_{M^\circ} = 1 - p_M$ et $(M^\circ)^\circ = M$ .

Proposition 8

Soient E un espace hilbertien, M un sous-espace vectoriel fermé de E, I un ensemble ordonné filtrant non vide et $(M_i)_{i \in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels fermés de E. On suppose, ou bien que l’application $i \mapsto M_i$ est croissante et que M est l’adhérence de $\bigcup_{i \in I} M_i$ , ou bien que l’application $i \mapsto M_i$ est décroissante et que l’on a $M = \bigcap_{i \in I} M_i$ . On a alors $p_M(x) = \lim_{i \in I} p_{M_i}(x)$ pour tout $x \in E$ .

La prop. 8 résulte aussitôt des prop. 6 (V, p. 11) et 7 (V, p. 12).

Proposition 9

Soient E un espace hilbertien et M, N deux sous-espaces vectoriels fermés de E.

a) Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) on a $p_M p_N = p_N p_M$ ; (ii) si $x \in M$ est orthogonal à $M \cap N$ et si $y \in N$ est orthogonal à $M \cap N$ , alors $x$ et $y$ sont orthogonaux ; (iii) tout vecteur de $M$ orthogonal à $M \cap N$ est orthogonal à $N$ ; (iv) on a $M = (M \cap N) + (M \cap N^\circ)$ .

b) Si les conditions équivalentes de a) sont remplies, on a $p_{M \cap N} = p_M p_N$ , le sous-espace vectoriel $M + N$ de E est fermé et l’on a $p_{M+N} = p_M + p_N - p_M p_N$ .

c) On a $p_M p_N = 0$ si et seulement si $M$ est orthogonal à $N$ . S’il en est ainsi, le sous-espace vectoriel $M + N$ de E est fermé et l’on a $p_{M+N} = p_M + p_N$ .

Posons $L = M \cap N$ , $M_1 = M \cap L^\circ$ et $N_1 = N \cap L^\circ$ . La condition (ii) signifie que $M_1$ et $N_1$ sont orthogonaux, et (iii) signifie que $M_1$ et $N$ sont orthogonaux. Comme on a $N = N_1 + L$ et que $M_1$ est orthogonal à $L$ , on a prouvé l’équivalence de (ii) et (iii). Si la condition (iii) est satisfaite, on a $M_1 = M \cap N^\circ$ et comme on a $M = L + M_1$ , la condition (iv) est remplie. Réciproquement, de (iv) on déduit $M_1 = M \cap N^\circ$ puisque les sous-espaces $M \cap N$ et $M \cap N^\circ$ de $M$ sont orthogonaux, et par suite $M_1 \subset N^\circ$ , c’est-à-dire la relation (iii).

Supposons la condition (iv) satisfaite. Il est immédiat que l’on a $p_N(y) = p_L(y)$ pour tout $y \in M$ et par conséquent $p_N p_M(x) = p_L p_M(x)$ pour tout $x \in E$ . Mais, pour tout $x \in E$ , le vecteur $p_L p_M(x)$ appartient à $L$ , et le vecteur

x - p_L p_M(x) = (x - p_M(x)) + (p_M(x) - p_L(p_M(x)))

appartient à

M^\circ + L^\circ = L^\circ

; on a donc

p_L p_M(x) = p_L(x)

. Finalement, on a

p_N p_M = p_L p_M = p_L

. Comme la condition (ii) est équivalente à (iv) et qu’elle est symétrique en

M

N

, on a aussi

p_M p_N = p_L

. On a finalement

p_M p_N = p_N p_M = p_{M \cap N}

, d’où (i).

Réciproquement, supposons la condition (i) satisfaite. Soit $x \in M$ ; on a

p_M(p_N(x)) = p_N(p_M(x)) = p_N(x)

d’où

p_N(x) \in M

. On en déduit

x - p_N(x) \in M

, donc

x

est la somme d’un élément

p_N(x)

M \cap N

et d’un élément

x - p_N(x)

M \cap N^\circ

, d’où (iv).

On a donc prouvé a) et la première partie de b). Supposons que $p_M$ et $p_N$ commutent et posons $q = p_M + p_N - p_M p_N$ ; comme $p_M$ et $p_N$ sont des idempotents de l’algèbre $\mathscr{L}(E)$ , il en est de même de $q$ ; par suite (TG, III, p. 47), l’image de $q$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E$ . Il est clair que l’image de $q$ est contenue dans $M + N$ ; par ailleurs, on a $p_N(x) = x$ , d’où $q(x) = x$ pour tout $x \in N$ ; comme on a aussi $q = p_M + p_N - p_N p_M$ , on a de même $q(x) = x$ pour tout $x \in M$ . En conclusion, l’image de $q$ est égale à $M + N$ . L’orthogonal de $M + N$ est égal à $M^\circ \cap N^\circ$ , et le noyau de $q$ contient évidemment $M^\circ \cap N^\circ$ , d’où $q = p_{M+N}$ . Ceci prouve b).

On a $p_M p_N = 0$ si et seulement si l’image $N$ de $p_N$ est contenue dans le noyau $M^\circ$ de $p_M$ , c’est-à-dire si et seulement si $M$ est orthogonal à $N$ . Le reste de l’assertion c) est alors un cas particulier de b).

Remarque

Soient E un espace hilbertien et M, N deux sous-espaces vectoriels fermés de E. La relation $M \subset N$ équivaut à l’orthogonalité de M et $N^\circ$ , c’est-à-dire à la relation $p_M p_{N^\circ} = 0$ d’après la prop. 9, c). Comme on a $p_{N^\circ} = 1 - p_N$ , on conclut que les relations $M \subset N$ et $p_M = p_M p_N$ sont équivalentes (« th. des trois perpendiculaires », cf. fig. 3).

!Diagram showing orthogonal projections and subspaces

Fig. 3.

7. Dual d’un espace hilbertien

Théorème 3

Soit E un espace hilbertien. Pour tout $x \in E$ , soit $x^*$ la forme linéaire continue $y \mapsto \langle x | y \rangle$ sur E ; l’application $x \mapsto x^*$ est une application semi-linéaire (pour l’automorphisme $\xi \mapsto \overline{\xi}$ ) bijective de E sur son dual $E'$ , et une isométrie de l’espace normé E sur l’espace normé $E'$ .

En effet, l’application $x \mapsto x^*$ est semi-linéaire d’après (2) (V, p. 1), et, en vertu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a $\|x^*\| = \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle x | y \rangle| = \|x\|$ , donc $x \mapsto x^*$ est une isométrie de E dans $E'$ , et en particulier est injective. Pour achever la démonstration, il faut prouver que pour tout $x' \neq 0$ dans $E'$ , il existe $x \in E$ tel que $x' = x^*$ . Or l’hyperplan $H = \mathrm{Ker}\, x'$ est fermé dans E ; son orthogonal est une droite D. Soit $b$ un élément non nul de D ; le noyau de la forme linéaire $b^*$ est égal à H et il existe donc un scalaire $\lambda \neq 0$ tel que $x' = \lambda \cdot b^* = (\overline{\lambda} \cdot b)^*$ .

C.Q.F.D.

L’application $x \mapsto x^*$ de E sur son dual $E'$ est dite canonique. L’application réciproque de $E'$ sur E est aussi dite canonique et se note $x' \mapsto {x'}^*$ . On a donc

\langle x | y \rangle = \langle y, x^* \rangle, \quad \langle x, x' \rangle = \langle {x'}^* | x \rangle

pour $x, y$ dans E et $x'$ dans $E'$ . On a aussi $(x^*)^* = x$ pour $x \in E$ .

Lorsque $K = \mathbf{R}$ , l’application $x \mapsto x^*$ est linéaire. On transportera à $E'$ le produit scalaire de E par cette application. Lorsque $K = \mathbf{C}$ , on peut considérer l’application $x \mapsto x^*$ comme un isomorphisme de l’espace vectoriel $\overline{E}$ conjugué de E sur $E'$ (V, p. 6). On transportera à $E'$ le produit scalaire de $\overline{E}$ par cette application.

Dans les deux cas considérés, E' est un espace hilbertien, et l’on a les formules

\langle x^*|y^*\rangle = \overline{\langle x|y\rangle}, \quad \langle x'|x'\rangle = \|x'\|^2

pour $x, y$ dans $E$ et $x'$ dans $E'$ .

Il revient au même de dire que le vecteur $x \in E$ est orthogonal à un vecteur $y \in E$ , ou de dire que la forme linéaire $x^* \in E'$ est orthogonale à $y$ au sens défini en II, p. 44 (ce qui justifie l’emploi du mot « orthogonal » dans les deux cas). Si M est un sous-espace vectoriel fermé de E, le sous-espace $M^\circ$ orthogonal à M dans $E'$ (II, p. 48) est l’image par $x \mapsto x^*$ de l’orthogonal de M dans E, défini en V, p. 12 (ce qui justifie l’emploi de la notation $M^\circ$ dans les deux cas).

Corollaire 1

Pour qu’une famille $(x_i)_{i \in I}$ de points d’un espace hilbertien E soit totale, il faut et il suffit que pour $y \in E$ , les relations $\langle x_i|y\rangle = 0$ pour tout indice $i \in I$ entraînent $y = 0$ .

En effet, cela exprime que 0 est le seul vecteur de $E'$ orthogonal aux $x_i$ (II, p. 46 et IV, p. 1).

Corollaire 2

Soient E et F deux espaces hilbertiens. Pour $u \in \mathscr{L}(E; F)$ , $x \in E$ et $y \in F$ , posons

(18)

\Phi_u(y, x) = \langle y|u(x)\rangle .

L’application $u \mapsto \Phi_u$ est un isomorphisme de l’espace de Banach $\mathscr{L}(E; F)$ sur l’espace des formes sesquilinéaires $^1$ continues sur $F \times E$ , muni de la norme

(19)

\|f\| = \sup_{\substack{x \in E, y \in F \\ \|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1}} |f(y, x)| .

Il est clair que $\Phi_u$ est sesquilinéaire et continue pour tout $u \in \mathscr{L}(E; F)$ . Inversement, soit $f$ une forme sesquilinéaire continue sur $F \times E$ . Pour tout $x \in E$ , l’application $y \mapsto f(y, x)$ est une forme linéaire continue sur l’espace hilbertien F. D’après le th. 3, il existe donc pour tout $x \in E$ , un unique élément $u(x)$ de F tel que l’on ait $f(y, x) = \langle u(x)|y\rangle$ pour tout $y \in F$ . L’application $u : x \mapsto u(x)$ de E dans F est linéaire et l’on a

\begin{align*} \|f\| &= \sup_{\|x\| \leq 1} \sup_{\|y\| \leq 1} |f(y, x)| = \sup_{\|x\| \leq 1} \sup_{\|y\| \leq 1} |\langle y|u(x)\rangle| \\ &= \sup_{\|x\| \leq 1} \|u(x)\| ; \end{align*}

donc $u$ appartient à $\mathscr{L}(E; F)$ , on a $f = \Phi_u$ et $\|u\| = \|f\|$ . D’où le cor. 2.

L’application canonique de E dans son bidual $E''$ (IV, p. 14) applique E sur $E''$ , autrement dit (IV, p. 16), E est un espace de Banach réflexif. En effet, si E est un espace hilbertien réel (resp. complexe), l’application canonique $\varphi$ de $E'$ sur E est un

$^1$ Rappelons (A, IX, § 1, n° 5) qu’une forme sesquilinéaire (à gauche) $f$ sur $F \times E$ est une application de $F \times E$ dans $K$ qui satisfait aux relations (1) et (2) de V, p. 1.

isomorphisme de l’espace normé E′ sur E (resp. sur l’espace $\overline{E}$ conjugué de E); appliquant le th. 3 à E (resp. $\overline{E}$ ), on voit que toute forme linéaire continue sur l’espace normé E′ est de la forme $x' \mapsto \langle \varphi(x')|x \rangle = \langle x, x' \rangle$ avec $x \in E$ , d’où notre assertion.

Par suite (IV, p. 17, prop. 6) :

Théorème 4

Dans un espace hilbertien E, la boule unité est faiblement compacte.

Proposition 10

Si, dans un espace hilbertien E, un filtre $\mathscr{F}$ converge faiblement vers $x_0$ , et si en outre $\lim_{\mathscr{F}} \|x\| = \|x_0\|$ , alors $\mathscr{F}$ converge vers $x_0$ pour la topologie initiale de E.

En effet, $\|x - x_0\|^2 = \|x\|^2 - 2\Re \langle x|x_0 \rangle + \|x_0\|^2$ . Comme $\langle x|x_0 \rangle$ tend par hypothèse vers $\|x_0\|^2$ suivant $\mathscr{F}$ , et que $\|x\|$ tend vers $\|x_0\|$ suivant $\mathscr{F}$ , $\|x - x_0\|$ tend vers 0 suivant $\mathscr{F}$ , d’où la proposition.

Remarque

Si E est un espace préhilbertien séparé et $\hat{E}$ l’espace hilbertien complété de E, on sait (III, p. 16) que le dual E′ de E s’identifie au dual de $\hat{E}$ ; il résulte du th. 3 (V, p. 15) que toute forme linéaire continue sur E s’écrit d’une seule manière $x \mapsto \langle a|x \rangle$ , où $a \in \hat{E}$ .

Exercices

See the exercises for § 1.