b) Quels que soient $x = (x_i)_{i \in I}$ et $y = (y_i)_{i \in I}$ dans E, la famille $(\langle x_i|y_i \rangle)_{i \in I}$ est sommable. Si l’on pose $\langle x|y \rangle = \sum_{i \in I} \langle x_i|y_i \rangle$, on définit une forme hermitienne positive séparante sur E.

c) Pour le produit scalaire ainsi défini, E est un espace hilbertien ; la somme directe S des $E_i$ est dense dans E.

Pour $x = (x_i)_{i \in I}$ et $y = (y_i)_{i \in I}$ dans E, on a

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

On rappelle que S est le sous-espace de P formé des familles $x = (x_i)_{i \in I}$ telles que l’ensemble des $i \in I$ pour lesquels $x_i \neq 0$ soit fini. Il est immédiat que S est dense dans E ; il reste donc à prouver que E est complet pour la topologie $\mathscr{T}_1$ déduite de la norme $\|x\| = \langle x|x \rangle^{1/2}$. Soit $\mathscr{T}_2$ la topologie induite sur E par la topologie produit sur $\prod_{i \in I} E_i$. Pour tout $r > 0$, soit $B_r$ l’ensemble des $x \in E$ tels que $\|x\| \leq r$. Cette relation signifie que l’on a $\sum_{i \in J} \|x_i\|^2 \leq r^2$ pour toute partie finie J de I, et par suite $B_r$ est une partie fermée, donc complète, de $\prod_{i \in I} E_i$. Le fait que E soit complet pour $\mathscr{T}_1$ résulte alors de TG, III, p. 27.

Soit $S \subset F$ la somme directe « algébrique » des $E_i$, et soit $g$ l'application linéaire $(x_i)_{i\in I} \mapsto \sum_{i\in I} x_i$ de S dans E. Montrons que $g$ est un isomorphisme de l'espace préhilbertien S sur le sous-espace (préhilbertien) $g(S)$ de E, engendré par la réunion des $E_i$ : en effet, pour deux éléments $x = (x_i)_{i\in I}$, $y = (y_i)_{i\in I}$ de S, on a

Mais si $i \neq k$, on a $\langle x_i|y_k \rangle = 0$ par hypothèse, d'où

ceci démontre notre assertion. Comme S est dense dans F et $g(S)$ dense dans E, l'isomorphisme $g$ se prolonge en un isomorphisme $\bar{g}$ de F sur E (V, p. 8, cor.). Il est clair que l'isomorphisme réciproque $f$ de $\bar{g}$ répond à la question ; son unicité résulte de ce que le sous-espace fermé de E engendré par la réunion des $E_i$ est E lui-même.

Lorsque E est somme hilbertienne d'une famille $(E_i)_{i\in I}$ de sous-espaces, on identifie le plus souvent E à la somme hilbertienne externe F des $E_i$ au moyen de l'isomorphisme $f$. Si l'ensemble I est fini, dire que E est somme hilbertienne de la famille $(E_i)_{i\in I}$ signifie donc que les $E_i$ sont deux à deux orthogonaux et que l'espace vectoriel E est somme directe de la famille $(E_i)_{i\in I}$ de sous-espaces.

a) Pour tout $x \in E$, la famille $(\|p_{E_i}(x)\|^2)_{i\in I}$ est sommable dans $\mathbf{R}$, la famille $(p_{E_i}(x))_{i\in I}$ est sommable dans E, et l'on a

b) Réciproquement, si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de E tels que $x_i \in E_i$ pour tout $i \in I$ et que $\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < +\infty$, cette famille est sommable, et sa somme $x$ est le seul point de E tel que $p_{E_i}(x) = x_i$ pour tout $i \in I$.

c) Pour tout couple de points $x, y$ de E, on a

Ces propriétés sont en effet évidentes dans la somme hilbertienne externe des $E_i$, et se transportent à E par isomorphisme.

1) On a $\sum_{i \in I} \|p_{E_i}(x)\|^2 \leq \|x\|^2$.

2) Les conditions suivantes sont équivalentes : a) $x \in V$; b) $\sum_{i \in I} \|p_{E_i}(x)\|^2 = \|x\|^2$;

c) la famille $(p_{E_i}(x))_{i \in I}$ est sommable dans E, et l’on a $x = \sum_{i \in I} p_{E_i}(x)$.

3) Supposons V complet. Alors la famille $(p_{E_i}(x))_{i \in I}$ est sommable dans E, et l’on a

en désignant par $p_V$ l’orthoprojecteur de E sur V.

En effet, soit $\hat{E}$ l’espace hilbertien complété de E ; on identifie E à un sous-espace dense de $\hat{E}$ ; les $E_i$, étant complets, sont des sous-espaces fermés de $\hat{E}$. L’adhérence $\overline{V}$ de V dans $\hat{E}$ est le sous-espace vectoriel fermé de $\hat{E}$ engendré par la réunion des $E_i$, et l’on a $V = \overline{V} \cap E$. L’espace $\hat{E}$ est somme hilbertienne des $E_i$ et du sous-espace W supplémentaire orthogonal de $\overline{V}$ dans $\hat{E}$ ; posons $x_0 = p_W(x)$ et $x_i = p_{E_i}(x)$ pour tout $i \in I$. D’après le cor. 1, on a $\|x^2\| = \|x_0\|^2 + \sum_{i \in I} \|x_i\|^2$, et $x = x_0 + \sum_{i \in I} x_i$ dans $\hat{E}$.

Ceci entraîne aussitôt l’assertion 1), et le fait que les conditions b) et c) de 2) sont équivalentes à la condition $x_0 = 0$, donc à la condition $x \in V$. Enfin, si V est complet, et si on pose $x' = p_V(x)$, on a $x' - x_i = (x - x_i) - (x - p_V(x))$, donc $x' - x_i$ est orthogonal à $E_i$, et par suite $x_i = p_{E_i}(x')$ pour tout $i \in I$ ; il suffit alors d’appliquer la propriété 2) au vecteur $x'$.

Pour montrer que la condition est nécessaire, il suffit de voir que $V_\alpha$ et $V_\beta$ sont orthogonaux si $\alpha \neq \beta$. Or, tout élément de $W_{\alpha \mu}$ ($\mu \in M_\alpha$) est orthogonal à tous les $W_{\beta v}$ ($v \in M_\beta$), donc au sous-espace vectoriel fermé $V_\beta$ qu’ils engendrent ; le même raisonnement montre ensuite que tout élément de $V_\beta$, étant orthogonal à tous les $W_{\alpha \mu}$ ($\mu \in M_\alpha$), est orthogonal à $V_\alpha$.

Pour montrer que la condition est suffisante, il suffit de vérifier que, si elle est remplie, E est égal au sous-espace vectoriel fermé F engendré par la réunion des $W_{\lambda,\mu}$ ($\lambda \in L, \mu \in M_\lambda$) ; or, pour chaque $\lambda \in L$, F contient le sous-espace vectoriel fermé engendré par la réunion des $W_{\lambda,\mu}$ tels que $\mu \in M_\lambda$, c'est-à-dire $V_\lambda$ ; donc F est le sous-espace vectoriel fermé engendré par la réunion des $V_\lambda$, c'est-à-dire E par hypothèse.

On notera que cette propriété résulte aussi de la caractérisation des familles topologiquement libres (II, p. 5, cor. 2 et IV, p. 46, Remarque 1), compte tenu de l'identification du dual de E avec le complété de E ou de l'espace conjugué de E selon que K est égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ (V, p. 17, Remarque).

1) Pour tout $x \in E$, on a

2) Si V est complet, la famille des $\langle e_i | x \rangle . e_i$ est sommable dans E pour tout $x \in E$, et l'on a $\sum_{i \in I} \langle e_i | x \rangle . e_i = p_V(x)$, $\sum_{i \in I} |\langle e_i | x \rangle|^2 = \|p_V(x)\|^2$.

3) Supposons V complet. Pour toute famille $(\lambda_i)_{i \in I}$ de scalaires telle que $\sum |\lambda_i|^2 < +\infty$, il existe un point $x \in V$ et un seul tel que $\langle e_i | x \rangle = \lambda_i$ pour tout $i \in I$.

$i \in I$. Si $(\mu_i)_{i \in I}$ est une seconde famille de scalaires telle que $\sum_{i \in I} |\mu_i|^2 < + \infty$, et si $y \in V$ est tel que $\langle e_i | y \rangle = \mu_i$ pour tout $i \in I$, on a $\langle x | y \rangle = \sum_{i \in I} \overline{\lambda_i} \mu_i$.

Lorsque E est hilbertien ces conditions sont encore équivalentes à la suivante : d) les relations $\langle e_i | x \rangle = 0$ pour tout $i \in I$ entraînent $x = 0$.

L’équivalence des conditions a), b), c) résulte aussitôt de la prop. 4. L’équivalence des conditions a) et d) lorsque E est hilbertien résulte du cor. 1 de V, p.16.

En effet, soit $\mathfrak{D}$ l’ensemble des parties orthonormales de E, ordonné par inclusion ; il est immédiat que cet ensemble est de caractère fini (E, III, p. 34). Il existe donc dans $\mathfrak{D}$ un ensemble maximal B contenant L, en vertu du th. 1 de E, III, p. 35. Tout revient à prouver que B est un ensemble total. Dans le cas contraire, il existerait un vecteur $y \neq 0$ orthogonal à tous les vecteurs de B (V, p. 22, prop. 5), et en multipliant $y$ par un scalaire convenable, on pourrait supposer que $\|y\| = 1$; alors, $B \cup \{y\}$ serait un ensemble orthonormal distinct de B et contenant B, ce qui contredit la définition de B ; d’où le théorème.

Il suffit d’appliquer le th. 2 au cas où $L = \varnothing$.

De manière plus précise, soit $(e_i)_{i \in I}$ une base orthonormale d’un espace hilbertien E. D’après les prop. 4 (V, p. 21) et 5 (V, p. 22), l’application $\varphi$ définie par

En effet, soit $V_n$ le sous-espace (de dimension $n$) engendré par $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Si $n + 1 \in I$ et $b_{n+1} = a_{n+1} - p_{V_n}(a_{n+1})$ ($p_{V_n}$ désignant l’orthoprojecteur sur le sous-espace complet $V_n$), la droite $Kb_{n+1}$ est l’orthogonal de $V_n$ dans $V_{n+1}$. Si les $e_n$ satisfont à la condition 1) de l’énoncé, on doit avoir $e_{n+1} = \lambda b_{n+1}$; la condition $\|e_{n+1}\| = 1$ donne ensuite $|\lambda|^2 \|b_{n+1}\|^2 = 1$, et la condition $\langle a_{n+1}|e_{n+1} \rangle > 0$ donne $\lambda \langle a_{n+1}|b_{n+1} \rangle > 0$; cela détermine complètement $\lambda$, et prouve par suite qu’on peut déterminer par récurrence une famille orthonormale $(e_n)_{n \in I}$ et une seule de façon à satisfaire aux conditions 1) et 2) de l’énoncé.

On dit que la suite $(e_n)_{n \in I}$ est obtenue par orthonormalisation de la famille libre $(a_n)_{n \in I}$. Il est clair que le sous-espace vectoriel engendré par la famille $(e_n)$ est identique au sous-espace vectoriel engendré par la famille $(a_n)$. En particulier, si $(a_n)$ est une suite totale, il en est de même de $(e_n)$, qui est donc une base orthonormale de $E$; d’où :

En effet, dire que $E$ est de type dénombrable signifie qu’il existe dans $E$ une suite totale, et on peut toujours extraire d’une telle suite une famille libre totale (A, II, p. 95, th. 2).

On peut donner des exemples d’espaces préhilbertiens séparés ne possédant aucune base orthonormale (V, p. 69, exerc. 2). Exemple. — Soient $I$ l’intervalle $[-1, 1]$ de $\mathbf{R}$ et $E$ l’espace vectoriel des fonctions continues sur $I$ à valeurs réelles. On note $x$ l’injection canonique de $I$ dans $\mathbf{R}$, considérée comme élément de $E$. D’après le th. de Stone-Weierstrass, la suite $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$ est totale dans $E$ pour la topologie de la convergence uniforme (TG, X, p. 37).

Considérons $E$ comme un espace préhilbertien réel séparé dans lequel le produit scalaire est donné par

Soient $B$ et $C$ deux bases orthonormales de $E$. Le cas où l’un des deux ensembles $B, C$ est fini est trivial, puisqu’une base orthonormale finie est une base algébrique de l’espace. Supposons donc $B$ et $C$ infinies. Pour tout $x \in B$, soit $C_x$ la partie de $C$ formée des $y \in C$ tels que $\langle x | y \rangle \neq 0$. L’ensemble $C_x$ est dénombrable (V, p. 21, prop. 4). Pour tout $y \in C$, il existe $x \in B$ tel que $y \in C_x$, puisque $B$ est une base orthonormale et que $y \neq 0$; autrement dit, $C$ est la réunion des ensembles dénombrables $C_x$ lorsque $x$ parcourt $B$. Le cardinal de $C$ est donc inférieur à celui de $\mathbf{N} \times B$, donc à celui de B (E, III, p. 49, cor. 4); de même, le cardinal de B est inférieur à celui de C, ce qui achève la démonstration.

Le cardinal d'une base orthonormale quelconque d'un espace hilbertien E est appelé la dimension hilbertienne de E.