a) E là một không gian con vectơ của P.

b) Với mọi $x = (x_i)_{i \in I}$ và $y = (y_i)_{i \in I}$ trong E, họ $(\langle x_i|y_i \rangle)_{i \in I}$ là khả tổng. Nếu đặt $\langle x|y \rangle = \sum_{i \in I} \langle x_i|y_i \rangle$, ta định nghĩa một dạng Hermit dương tách được trên E.

c) Đối với tích vô hướng được định nghĩa như vậy, E là một không gian Hilbert; tổng trực tiếp S của các $E_i$ là trù mật trong E.

Với $x = (x_i)_{i \in I}$ và $y = (y_i)_{i \in I}$ trong E, ta có

suy ra $x + y = (x_i + y_i)_{i \in I}$ thuộc E. Điều này chứng minh a).

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

suy ra $\sum_{i \in I} |\langle x_i|y_i \rangle| < +\infty$. Nếu $x \neq 0$, ta có $\langle x|x \rangle = \sum_{i \in I} \|x_i\|^2 > 0$, do đó mệnh đề b) được suy ra.

Ta nhắc lại rằng S là không gian con của P gồm tất cả các họ $x = (x_i)_{i \in I}$ sao cho tập hợp tất cả các $i \in I$ mà $x_i \neq 0$ là hữu hạn. Suy ra ngay lập tức rằng S trù mật trong E; do đó còn phải chứng minh rằng E là đầy đủ đối với tôpô $\mathscr{T}_1$ nhận được bởi chuẩn $\|x\| = \langle x|x \rangle^{1/2}$. Gọi $\mathscr{T}_2$ là tôpô cảm sinh trên E bởi tôpô tích trên $\prod_{i \in I} E_i$. Với mọi $r > 0$, gọi $B_r$ là tập hợp tất cả các $x \in E$ sao cho $\|x\| \leq r$. Quan hệ này kéo theo rằng ta có $\sum_{i \in J} \|x_i\|^2 \leq r^2$ với mọi tập con hữu hạn J của I, và do đó $B_r$ là một tập con đóng của $\prod_{i \in I} E_i$, vì vậy cũng đầy đủ. Sự kiện E đầy đủ đối với $\mathscr{T}_1$ giờ đây suy ra từ GT, III, § 3, No. 5, hệ quả 2 cho mệnh đề 10.

Cho $S \subset F$ là tổng trực tiếp « đại số » của các $E_i$, và cho $g$ là ánh xạ tuyến tính $(x_i)_{i \in I} \mapsto \sum_{i \in I} x_i$ từ S vào E. Ta sẽ chứng minh rằng $g$ là một đẳng cấu từ không gian tiền Hilbert S lên không gian con (tiền Hilbert) $g(S)$ của E, được sinh bởi hợp của các $E_i$ : vì, với hai phần tử $x = (x_i)_{i \in I}$, $y = (y_i)_{i \in I}$, ta có

Nhưng nếu $i \neq k$, $\langle x_i|y_k \rangle = 0$ theo giả thiết, suy ra

điều này chứng minh mệnh đề của chúng ta. Vì S trù mật trong F và $g(S)$ trù mật trong E, đẳng cấu $g$ được kéo dài thành một đẳng cấu $\overline{g}$ từ F lên E (V, p. 8, hệ quả). Hiển nhiên đẳng cấu nghịch đảo $f$ của $\overline{g}$ là ánh xạ cần tìm; tính duy nhất của nó suy ra từ việc không gian con đóng của E được sinh bởi hợp của các $E_i$ chính là E.

Khi E là tổng Hilbert của một họ $(E_i)_{i \in I}$ các không gian con, ta thường đồng nhất E với tổng Hilbert ngoài F của các $E_i$ nhờ đẳng cấu $f$. Nếu tập I hữu hạn, nói rằng E là tổng Hilbert của họ $(E_i)_{i \in I}$ có nghĩa là các $E_i$ từng đôi một trực giao và không gian vectơ E là tổng trực tiếp của họ $(E_i)_{i \in I}$ các không gian con.

a) Với mọi $x \in E$, họ $(\|p_{E_i}(x)\|^2)_{i \in I}$ khả tổng trong $\mathbf{R}$, họ $(p_{E_i}(x))_{i \in I}$ khả tổng trong E, và ta có

b) Ngược lại, nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của E sao cho $x_i \in E_i$ với mọi $i \in I$ và $\sum_{i \in I} \|x_i\|^2 < + \infty$, thì họ này là khả tổng, và tổng $x$ là điểm duy nhất của E sao cho $p_{E_i}(x) = x_i$ với mọi $i \in I$.

c) Với mọi cặp điểm $x, y$ của E, ta có

Các tính chất này thực ra là hiển nhiên đối với tổng hilbert ngoài của các $E_i$, và có thể được chuyển sang E bởi đẳng cấu.

1) Ta có $\sum_{i \in I} \|p_{E_i}(x)\|^2 \leq \|x\|^2$.

2) Các điều kiện sau là tương đương : a) $x \in V$; b) $\sum_{i \in I} \|p_{E_i}(x)\|^2 = \|x\|^2$; c) họ $(p_{E_i}(x))_{i \in I}$ là khả tổng trong E, và ta có $x = \sum_{i \in I} p_{E_i}(x)$.

3) Giả sử V là đầy đủ. Khi đó họ $(p_{E_i}(x))_{i \in I}$ là khả tổng trong E, và

trong đó $p_V$ ký hiệu phép chiếu trực giao từ E lên V.

Cho $\hat{E}$ là sự hoàn thành không gian hilbert của E; ta đồng nhất E với một không gian con trù mật của $\hat{E}$; các $E_i$, vì đầy đủ, là các không gian con đóng của $\hat{E}$. Bao đóng $\overline{V}$ của V trong $\hat{E}$ là không gian con vectơ đóng của $\hat{E}$ sinh bởi hợp của các $E_i$, và $V = \overline{V} \cap E$. Không gian $\hat{E}$ là tổng hilbert của các $E_i$ và của không gian con W, phần bù trực giao của $\overline{V}$ trong $\hat{E}$; đặt $x_0 = p_W(x)$ và $x_i = p_{E_i}(x)$ với mọi $i \in I$. Theo hệ quả 1, ta có $\|x\|^2 = \|x_0\|^2 + \sum_{i \in I} \|x_i\|^2$, và $x = x_0 + \sum_{i \in I} x_i$ trong $\hat{E}$. Điều này kéo theo mệnh đề 1), và sự kiện rằng các điều kiện b) và c) của 2) tương đương với điều kiện $x_0 = 0$, do đó tương đương với điều kiện $x \in V$. Cuối cùng, nếu V là đầy đủ, và nếu đặt $x' = p_V(x)$, ta có $x' - x_i = (x - x_i) - (x - p_V(x))$, do đó $x' - x_i$ trực giao với $E_i$, và vì vậy $x_i = p_{E_i}(x')$ với mọi $i \in I$; bây giờ chỉ cần áp dụng tính chất 2) cho vectơ $x'$.

Để chứng minh điều kiện này là cần thiết, chỉ cần thấy rằng $V_\alpha$ và $V_\beta$ trực giao nếu $\alpha \neq \beta$. Thật vậy, mọi phần tử của $W_{\alpha \mu}$ ($\mu \in M_\alpha$) đều trực giao với mọi $W_{\beta v}$ ($v \in M_\beta$), suy ra trực giao với không gian con vectơ đóng $V_\beta$ do chúng sinh ra; cùng một lập luận cho thấy mọi phần tử của $V_\beta$ đều trực giao với $V_\alpha$, vì nó trực giao với mọi $W_{\alpha \mu}$ ($\mu \in M_\alpha$).

Để chứng minh điều kiện này là đủ, chỉ cần kiểm tra rằng, nếu điều kiện ấy được thỏa mãn, thì E bằng không gian con vectơ đóng F sinh bởi hợp của các $W_{\lambda \mu}$ ($\lambda \in L$, μ ∈ M_λ); nhưng, với mỗi $\lambda \in L$, F chứa không gian con vectơ đóng sinh bởi hợp các $W_{\lambda\mu}$ sao cho $\mu \in M_\lambda$, tức là F chứa $V_\lambda$; do đó F là không gian con vectơ đóng sinh bởi hợp của các $V_\lambda$, mà theo giả thiết thì bằng E.

Ta lưu ý rằng tính chất này suy ra ngay lập tức từ đặc trưng hóa của các họ độc lập tôpô (IV, p. 1 and II, p. 43, cor. 2), do sự đồng nhất của đối ngẫu của E với sự hoàn tất của E hoặc với không gian liên hợp của E tùy theo K bằng R hay C (V, p. 17, Nhận xét).

1) Với mọi $x \in E$, ta có

(bất đẳng thức Bessel); ở đây tập hợp tất cả các $i \in I$ sao cho $⟨e_i|x⟩ \neq 0$ là đếm được. Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương : a) $x \in V$; b) $\|x\|^2 = \sum_{i\in I} |⟨e_i|x⟩|^2$; c) họ $⟨e_i|x⟩.e_i$ là khả tổng trong E, và $x = \sum_{i\in I} ⟨e_i|x⟩.e_i$.

2) Nếu V đầy đủ, thì họ tất cả các $⟨e_i|x⟩.e_i$ là khả tổng trong E với mọi $x \in E$, và $\sum_{i\in I} ⟨e_i|x⟩.e_i = p_V(x), \sum_{i\in I} |⟨e_i|x⟩|^2 = \|p_V(x)\|^2$.

3) Giả sử V đầy đủ. Với mọi họ $(\lambda_i)_{i\in I}$ của các số vô hướng sao cho $\sum_{i\in I} |\lambda_i|^2 < +\infty$, tồn tại duy nhất một điểm $x \in V$ sao cho $⟨e_i|x⟩ = \lambda_i$ với mọi $i \in I$. Nếu $(\mu_i)_{i\in I}$ là một họ thứ hai các số vô hướng sao cho $\sum_{i\in I} |\mu_i|^2 < +\infty$, và nếu $y \in V$ sao cho $⟨e_i|y⟩ = \mu_i$ với mọi $i \in I$, thì $⟨x|y⟩ = \sum_{i\in I} \overline{\lambda_i} \mu_i$.

(quan hệ Parseval).

Khi E là một không gian hilbert thì các điều kiện này cũng tương đương với : d) các quan hệ $\langle e_i | x \rangle = 0$ với mọi $i \in I$ suy ra rằng $x = 0$.

Sự tương đương của các điều kiện a), b), c) suy ra ngay lập tức từ mệnh đề 4. Khi E là một không gian hilbert, sự tương đương của các điều kiện a) và d) suy ra từ hệ quả 1 của V, p. 16.

Thật vậy, cho $\mathfrak{D}$ là họ tất cả các tập hợp trực chuẩn của E, được sắp thứ tự tuyến tính bởi phép bao hàm; hiển nhiên họ này có đặc trưng hữu hạn (S, III, § 4, No. 5). Do đó tồn tại một họ cực đại B trong $\mathfrak{D}$ chứa L, theo đl. 1 của S, III, § 4, No. 5. Còn phải chứng minh rằng B là một tập hợp toàn phần. Nếu không, sẽ tồn tại một vectơ $y \neq 0$ trực giao với mọi vectơ của B (V, p. 22, mệnh đề 5), và nhân y với một vô hướng thích hợp, ta có thể giả sử rằng $\|y\| = 1$; khi đó, $B \cup \{y\}$ sẽ là một tập hợp trực chuẩn khác B và chứa B; điều này mâu thuẫn với định nghĩa của B; vậy là định lý.

Chỉ cần áp dụng định lý 2 cho trường hợp $L = \varnothing$.

Chính xác hơn, cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của một không gian Hilbert E. Theo các mệnh đề 4 (V, p. 21) và 5 (V, p. 22), ánh xạ $\phi$ được xác định bởi

là một đẳng cấu giữa các không gian Hilbert từ E lên $\ell^2(I)$. Đẳng cấu nghịch đảo $\psi$ được xác định bởi

1) với mọi số nguyên $p \in I$, không gian con vectơ của E do $e_1, e_2, ..., e_p$ sinh ra trùng với không gian con vectơ của E do $a_1, a_2, ..., a_p$ sinh ra; 2) với mọi số nguyên $p \in I$, số $\langle a_p|e_p \rangle$ là thực và $> 0$.

Thật vậy, cho $V_n$ là không gian con (có chiều n) do $a_1, a_2, ..., a_n$ sinh ra. Nếu $n + 1 \in I$ và $b_{n+1} = a_{n+1} - p_{V_n}(a_{n+1})$ (trong đó $p_{V_n}$ là phép chiếu trực giao lên không gian con đầy đủ $V_n$), thì đường thẳng $K b_{n+1}$ là phần trực giao của $V_n$ trong $V_{n+1}$. Nếu các $e_n$ thỏa mãn điều kiện 1) của mệnh đề, ta phải có $e_{n+1} = \lambda b_{n+1}$; điều kiện $\|e_{n+1}\| = 1$ khi đó suy ra $|\lambda|^2 \|b_{n+1}\|^2 = 1$ và điều kiện $\langle a_{n+1}|e_{n+1} \rangle > 0$ suy ra $\lambda \langle a_{n+1}|b_{n+1} \rangle > 0$; điều này xác định hoàn toàn $\lambda$, và ta đã chứng minh rằng ta có thể xác định, bằng quy nạp, một họ trực chuẩn $(e_n)_{n \in I}$, và chỉ một, sao cho thỏa mãn các điều kiện 1) và 2) của mệnh đề.

Dãy $(e_n)_{n \in I}$ được gọi là thu được bằng phép trực chuẩn hóa từ họ độc lập $(a_n)_{n \in I}$. Rõ ràng không gian con vectơ do họ $(e_n)$ sinh ra trùng với không gian con vectơ do họ $(a_n)$ sinh ra. Đặc biệt, nếu $(a_n)$ là một dãy toàn phần, thì $(e_n)$ cũng vậy, và khi đó nó là một cơ sở trực chuẩn của E; do đó ta có:

Nếu E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì tồn tại một dãy toàn phần trong E, và ta luôn luôn có thể trích ra một họ độc lập toàn phần từ một dãy như vậy (A, II, § 7, No. 1, đl. 2).

Ta có thể nêu các ví dụ về những không gian tiền Hilbert Hausdorff không có cơ sở trực chuẩn nào (V, p. 70, bài tập 2). Ví dụ. — Cho I là khoảng $(-1, 1)$ của $\mathbf{R}$ và E là không gian vectơ các hàm liên tục nhận giá trị thực trên I. Cho $x$ ký hiệu đơn ánh chính tắc từ I vào $\mathbf{R}$, xét như một phần tử của E. Theo định lý Stone-Weierstrass, dãy $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$ là toàn phần trong E đối với tôpô hội tụ đều GT, X, § 4, No. 2). Xét E như một không gian tiền Hilbert Hausdorff thực trong đó tích vô hướng được cho bởi

Khi đó dãy $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$ là toàn phần trong không gian tiền Hilbert E. Cho $(\Pi_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là dãy thu được bằng phép trực chuẩn hóa của dãy $(x^n)_{n \in \mathbf{N}}$. Ta có thể chứng minh rằng $\Pi_n = (n + \frac{1}{2})^{1/2} P_n$, trong đó đa thức Legendre $P_n$ được xác định bởi

Let B và C là hai cơ sở trực chuẩn của E. Trường hợp một trong hai tập B, C hữu hạn là tầm thường, vì một cơ sở trực chuẩn hữu hạn là một cơ sở đại số của không gian. Vì vậy giả sử rằng B và C đều vô hạn. Với mọi $x \in B$, gọi $C_x$ là tập con của C gồm tất cả các $y \in C$ sao cho $\langle x | y \rangle \neq 0$. Tập $C_x$ là đếm được (V, p. 21, mệnh đề 4). Với mọi $y \in C$, tồn tại $x \in B$ sao cho $y \in C_x$, vì B là một cơ sở trực chuẩn và $y \neq 0$; nói cách khác C là hợp của các tập đếm được $C_x$ khi $x$ chạy trong B. Do đó lực lượng của C nhỏ hơn lực lượng của $\mathbf{N} \times B$, suy ra nhỏ hơn lực lượng của B (S, III, § 6, No. 3, hệ quả 4); tương tự, lực lượng của B nhỏ hơn lực lượng của C; điều này hoàn tất chứng minh.

Lực lượng của một cơ sở trực chuẩn tùy ý của một không gian Hilbert E được gọi là chiều Hilbert của E.