La formule $\Phi(z, t) = \overline{\Phi(t, z)}$ résulte de (3) lorsque $z = x_1 \otimes x_2$ et $t = y_1 \otimes y_2$. Le cas général s’en déduit par linéarité, donc $\Phi$ est hermitienne.

Supposons que $E_1$ et $E_2$ soient séparés et prouvons que la forme hermitienne $\Phi$ est positive et séparante. Soit $z = \sum_{i=1}^n x_i \otimes y_i$ un élément non nul de $F = E_1 \otimes E_2$.

Soit $(e_1, ..., e_m)$ une base orthonormale du sous-espace de $E_1$ engendré par $x_1, ..., x_n$ (V, p. 23, cor. 1). Il existe des éléments $f_1, ..., f_m$ non tous nuls de $E_2$ tels que $z = \sum_{i=1}^m e_i \otimes f_i$, d'où

Revenons au cas général, et prouvons que $\Phi$ est positive. Soient $\tilde{E}_i$ l’espace préhilbertien séparé associé à $E_i$ et $\pi_i$ l’application canonique de $E_i$ sur $\tilde{E}_i$ ($i = 1, 2$). Posons $\pi = \pi_1 \otimes \pi_2$. Soit $\tilde{\Phi}$ la forme hermitienne sur $\tilde{E}_1 \otimes \tilde{E}_2$ construite de manière analogue à $\Phi$. On a évidemment

et comme $\tilde{\Phi}$ est positive, il en est de même de $\Phi$.

L’espace préhilbertien défini dans la prop. 1 s’appelle le produit tensoriel des espaces préhilbertiens $E_1$ et $E_2$; il se note $E_1 \otimes_2 E_2$. On écrira désormais $\langle z|t \rangle$ pour $\Phi(z, t)$, d’où par définition

on écrit aussi $\|z\|_2$ ou $\|z\|$ pour $\langle z|z \rangle^{1/2}$. De (4), on déduit

de sorte que l’application bilinéaire $(x_1, x_2) \mapsto x_1 \otimes x_2$ de $E_1 \times E_2$ dans $E_1 \otimes_2 E_2$ est continue.

Pour $i = 1, 2$, soit $F_i$ un sous-espace vectoriel de $E_i$, muni de la structure d’espace préhilbertien induite. Alors $F_1 \otimes F_2$ s’identifie à un sous-espace vectoriel de $E_1 \otimes E_2$ (A, II, p. 108). La formule (4) montre que $F_1 \otimes F_2$, muni de la structure d’espace préhilbertien induite par celle de $E_1 \otimes_2 E_2$, n’est autre que $F_1 \otimes_2 F_2$. Nous identifierons désormais $F_1 \otimes_2 F_2$ à un sous-espace préhilbertien de $E_1 \otimes_2 E_2$.

Considérons sur $E_1$ la forme hermitienne positive

D’après la prop. 1 (V, p. 25), il existe une forme hermitienne positive $\Phi$ sur $E_1 \otimes E_2$ telle que l’on ait

pour $x_1, y_1$ dans $E_1$ et $x_2, y_2$ dans $E_2$. Par linéarité, on a donc pour $z, t$ dans $E_1 \otimes E_2$. Comme $\Phi$ est positive, on a $\Phi(z, z) \geq 0$, c’est-à-dire $\|(u_1 \otimes 1).z\|_2 \leq \|u_1\|. \|z\|_2$ pour $z \in E_1 \otimes_2 E_2$, d’où $\|u_1 \otimes 1\| \leq \|u_1\|$. On prouve de même l’inégalité $\|1 \otimes u_2\| \leq \|u_2\|$, et comme on a $u_1 \otimes u_2 = (u_1 \otimes 1) \circ (1 \otimes u_2)$, on a donc D’autre part, on a ce qui achève la démonstration de la prop. 2. C.Q.F.D.

Soient $E_1, ..., E_n$ des espaces préhilbertiens ($n \geq 2$). On définit par récurrence le produit tensoriel $E_1 \otimes_2 ... \otimes_2 E_n$ (noté aussi $\bigotimes_{i=1}^n E_i$) par

On a donc, par définition du produit scalaire, et en particulier $^1$ pour $x_i, y_i$ dans $E_i$ ($1 \leq i \leq n$). Si les $E_i$ sont séparés, il en est de même de $E_1 \otimes_2 ... \otimes_2 E_n$.

Soient $F_1, ..., F_n$ des espaces préhilbertiens et $u_i \in \mathscr{L}(E_i; F_i)$ pour $1 \leq i \leq n$. La prop. 2 entraîne par récurrence sur $n$ que $u_1 \otimes ... \otimes u_n$ est une application linéaire continue de $E_1 \otimes_2 ... \otimes_2 E_n$ dans $F_1 \otimes_2 ... \otimes_2 F_n$ et que l’on a

$^1$ On pose encore $\|z\|_2 = \langle z | z \rangle^{1/2}$ pour $z$ dans $E_1 \otimes_2 ... \otimes_2 E_n$.

Soit $\sigma \in \mathscr{S}_n$ une permutation de l’ensemble $\{1, 2, ..., n\}$. Vu (6), l’application linéaire $p_\sigma$ de $E_1 \otimes_2 ... \otimes_2 E_n$ sur $E_{\sigma^{-1}(1)} \otimes_2 ... \otimes_2 E_{\sigma^{-1}(n)}$ caractérisée par

est un isomorphisme d’espaces préhilbertiens (« commutativité du produit tensoriel »).

De même, considérons une partition de $\{1, 2, ..., n\}$ en $m$ intervalles consécutifs $I_1, ..., I_m$ avec $I_k = [a_k, a_{k+1} - 1]$ pour $1 \leq k \leq m$. Posons

L’isomorphisme canonique de $F_1 \otimes ... \otimes F_m$ sur $E_1 \otimes ... \otimes E_n$ qui transforme

en $x_1 \otimes ... \otimes x_n$ (A, II, p. 72) est un isomorphisme d’espaces préhilbertiens (« associativité du produit tensoriel »).

Vu la formule (6) de V, p. 27, les sous-espaces $E_{1,\alpha_1} \hat{\otimes}_2 \ldots \hat{\otimes}_2 E_{n,\alpha_n}$ de $E_1 \hat{\otimes}_2 \ldots \hat{\otimes}_2 E_n$ sont deux à deux orthogonaux. Pour chaque entier $i$ compris entre 1 et $n$, l’ensemble $\bigcup_{\alpha \in A(i)} E_{i,\alpha}$ est total dans $E_i$, et l’application multilinéaire $(x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_1 \otimes \ldots \otimes x_n$ est continue. Il en résulte que la réunion des sous-espaces $E_{1,\alpha_1} \hat{\otimes}_2 \ldots \hat{\otimes}_2 E_{n,\alpha_n}$ est totale, d’où la prop. 3.

Soit $F_i$ la droite de $E_1$ engendrée par $e_i$ ($i \in I$). Alors $E_1$ est somme hilbertienne de la famille des sous-espaces $(F_i)_{i \in I}$. D’après la prop. 3, l’espace $E_1 \hat{\otimes}_2 E_2$ est somme hilbertienne de la famille des sous-espaces $(F_i \hat{\otimes}_2 E_2)_{i \in I}$, d’où le cor. 2.

Alors $(z_\alpha)_{\alpha\in\mathbf{N}^{(I)}}$ est une base orthonormale de $\hat{S}(E)$.

Soit $E_0$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les vecteurs $e_i$ pour $i$ parcourant $I$. Alors les $z_\alpha$ forment une base de l’espace vectoriel $S(E_0)$ (A, III, p. 75). Or $E_0$ est dense dans $E$, et l’application multilinéaire $(x_1, ..., x_n) \mapsto x_1 ... x_n$ de $E \times \cdots \times E$ dans $S(E)$ est continue pour tout $n \geq 1$; donc $S(E_0)$ est dense dans $S(E)$. Il suffit donc de prouver que la famille des $z_\alpha$ est orthonormale. Remarquons d’abord que $\hat{S}^n(E)$ et $\hat{S}^m(E)$ sont orthogonaux pour $n \neq m$. Il suffit donc de prouver la formule

lorsque $|\alpha| = \sum_{i\in I} \alpha_i$ et $|\beta| = \sum_{i\in I} \beta_i$ sont égaux à un même entier $n$.

Considérons une partition $(P_i)_{i\in I}$ de l’ensemble $\{1, 2, ..., n\}$ telle que Card $P_i = \alpha_i$ pour tout $i \in I$. Posons $x_k = e_i$ si $k$ appartient à $P_i$, d’où $x_1 ... x_n = \prod_{i\in I} e_i^{\alpha_i}$. On définit de manière analogue $(Q_i)_{i\in I}$ et les $y_k$ de sorte que Card $Q_i = \beta_i$ et $y_1 ... y_n = \prod_{i\in I} e_i^{\beta_i}$.

Comme les $e_i$ sont mutuellement orthogonaux, on a $\langle x_k | y_{\sigma(k)} \rangle = 0$ sauf s’il existe un indice $i \in I$ tel que $k \in P_i$ et $\sigma(k) \in Q_i$. D’après la formule (15), on a donc $\langle x_1 ... x_n | y_1 ... y_n \rangle = 0$ sauf s’il existe une permutation $\sigma \in S_n$ telle que $\sigma(P_i) = Q_i$ pour tout $i \in I$, ce qui entraîne $\alpha = \beta$. On a donc $\langle z_\alpha | z_\beta \rangle = 0$ pour $\alpha \neq \beta$. Le même raisonnement prouve que $\|x_1 ... x_n\|^2$ est égal au nombre des $\sigma \in S_n$ tels que $\sigma(P_i) = P_i$ pour tout $i \in I$, donc à $\prod_{i\in I} \alpha_i!$. On a donc $\|z_\alpha\| = 1$, d’où la proposition.

Soit $(e_i)_{i\in I}$ (resp. $(f_j)_{j\in J}$) une base orthonormale de l’espace hilbertien $M$ (resp. $N$) et soit $M_0$ (resp. $N_0$) le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par les vecteurs $e_i$ (resp. $f_j$). Posons $E_0 = M_0 + N_0$ et notons $g_0$ l’isomorphisme canonique de $S(M_0) \otimes S(N_0)$ sur $S(E_0)$. Posons

pour $\alpha \in \mathbf{N}^{(I)}$ et $\beta \in \mathbf{N}^{(J)}$. D’après la prop. 4, on a ainsi défini des bases orthonormales $(z_\alpha)_{\alpha\in\mathbf{N}^{(I)}}$ pour $\hat{S}(M)$, $(t_\beta)_{\beta\in\mathbf{N}^{(J)}}$ pour $\hat{S}(N)$ et $(z_\alpha t_\beta)_{\alpha\in\mathbf{N}^{(I)}, \beta\in\mathbf{N}^{(J)}}$ pour $\hat{S}(E)$. Comme on a $z_\alpha t_\beta = g_0(z_\alpha \otimes t_\beta)$, et que les éléments $z_\alpha \otimes t_\beta$ forment une base orthonormale de $\hat{S}(M) \otimes_2 \hat{S}(N)$ (V, p. 29, cor. 1), on voit que $g_0$ se prolonge en un isomorphisme d’espaces hilbertiens $h : \hat{S}(M) \otimes_2 \hat{S}(N) \to \hat{S}(E)$. On a par construction

quels que soient les vecteurs $x_1, \ldots, x_m$ de $M_0$ et les vecteurs $y_1, \ldots, y_n$ de $N_0$. Par continuité, la même relation a encore lieu pour des vecteurs $x_1, \ldots, x_m$ de $M$ et des vecteurs $y_1, \ldots, y_n$ de $N$; autrement dit, $h$ prolonge $g$. L’unicité de $h$ est claire.

Soient $E$ et $F$ deux espaces hilbertiens et $u \in \mathscr{L}(E ; F)$. L’application linéaire $\hat{T}^n(u) = u \otimes_2 \ldots \otimes_2 u$ ($n$ facteurs) de $\hat{T}^n(E)$ dans $\hat{T}^n(F)$ est continue de norme $\|u\|^n$ (V, p. 28, formule (10)). Par ailleurs, les formules (13) et (14) de V, p. 30, montrent qu’il existe un isomorphisme $\varphi_{n,E}$ de $\hat{S}^n(E)$ sur le sous-espace $\widehat{\mathbf{T}\mathbf{S}}^n(E)$ de $\hat{T}^n(E)$ et un seul tel que

Il existe donc une application linéaire continue $\hat{S}^n(u)$ de $\hat{S}^n(E)$ dans $\hat{S}^n(F)$ et une seule qui rende commutatif le diagramme

Prouvons la formule

D’une part, on a $\| \hat{S}^n(u) \| \leq \| \hat{T}^n(u) \| = \| u \|^n$. Par ailleurs, pour tout $x \in E$, on a $\hat{S}^n(u)(x^n) = u(x)^n$, $\| x^n \| = (n!)^{1/2} \| x \|^n$ et $\| u(x)^n \| = (n!)^{1/2} \| u(x) \|^n$, d’où on en déduit aussitôt $\| \hat{S}^n(u) \| \geq \| u \|^n$, d’où la formule (19).

Il est clair qu’on a les formules

Enfin, $\hat{S}^n(u)$ coïncide sur $S^n(E)$ avec l’application linéaire $S^n(u) : S^n(E) \to S^n(F)$ définie en A, III, p. 69 car elle transforme $x_1 \ldots x_n$ en $u(x_1) \ldots u(x_n)$ quels que soient $x_1, \ldots, x_n$ dans $E$.