Bài tập 1, § 3

Cho E là một không gian Hilbertian. Chứng minh rằng ánh xạ song tuyến tính $(u, v) \mapsto uv$ từ $\hat{\mathbf{S}}^m(E) \times \hat{\mathbf{S}}^n(E)$ vào $\hat{\mathbf{S}}^{m+n}(E)$ là liên tục và chuẩn của nó bằng $\left( \frac{(m+n)!}{m! \ n!} \right)^{1/2}$. (Để thấy rằng chuẩn này bị chặn bởi $\left( \frac{(m+n)!}{m! \ n!} \right)^{1/2}$, hãy lập luận như trong trường hợp đại số ngoài (V, p. 35). Suy ra rằng phép nhân trong $\mathbf{S}(E)$ không thể được mở rộng tới $\hat{\mathbf{S}}(E)$ bằng tính liên tục khi E không chỉ là 0.