Exercice 1, § 3

Soit E un espace hilbertien. Montrer que l’application bilinéaire $(u, v) \mapsto uv$ de $\hat{S}^m(E) \times \hat{S}^n(E)$ dans $\hat{S}^{m+n}(E)$ est continue et que sa norme est égale à $\left( \frac{(m+n)!}{m! n!} \right)^{1/2}$. (Pour voir que cette norme est majorée par $\left( \frac{(m+n)!}{m! n!} \right)^{1/2}$, raisonner comme dans le cas de l’algèbre extérieure (V, p. 35).) En déduire que la multiplication dans $S(E)$ ne peut se prolonger par continuité à $\hat{S}(E)$ lorsque E n’est pas réduit à 0.