Bài tập 2, § 3

Cho E là một không gian Hilbert vô hạn chiều, và cho $p, q$ là hai số nguyên $\geq 1$; đặt $p' = \left[ \frac{p}{2} \right], q' = \left[ \frac{q}{2} \right]$ (các phần nguyên). Chứng minh rằng chuẩn của ánh xạ song tuyến tính $(u, v) \mapsto u \wedge v$ từ $\hat{\Lambda}^p(E) \times \hat{\Lambda}^q(E)$ vào $\hat{\Lambda}^{p+q}(E)$ ít nhất bằng $\left( \frac{(p'+q')!}{p'! \ q'!} \right)^{1/2}$. (Khi $p = 2p'$ và $q = 2q'$ là chẵn, xét một không gian con $E_n$ chiều 2n trong E, với một cơ sở trực chuẩn $(e_j)_{1 \leq j \leq 2n}$; đặt $e'_j = e_{2j-1} \wedge e_{2j}$ với $1 \leq j \leq n$; xét tích $u \wedge v$, trong đó $u = \sum_H e'_H$, $v = \sum_{\mathbf{K}} e'_\mathbf{K}$ trong đó $\mathbf{H}$ (tương ứng $\mathbf{K}$) chạy trên tập hợp tất cả các tập con gồm $p'$ (tương ứng $q'$) phần tử của $\{1, 2, ..., n\}$ và $e'_\mathbf{H} = e'_{i_1} \wedge ... \wedge e'_{i_p}$ (tương ứng $e'_\mathbf{K} = e'_{j_1} \wedge ... \wedge e'_{j_q}$) nếu $i_1 < ... < i_p$ (tương ứng $j_1 < ... < j_q$) là dãy tăng của các phần tử của $\mathbf{H}$ (tương ứng $\mathbf{K}$). Suy ra rằng phép nhân trong $\Lambda(\mathbf{E})$ không thể được mở rộng lên $\hat{\Lambda}(\mathbf{E})$ bằng tính liên tục.)

§ 4

1) Cho E và F là hai không gian Hilbert vô hạn chiều thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, $(a_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của E, và $(b_n)$ là một cơ sở trực chuẩn của F. a) Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F; cho $u(a_n) = \sum_m \alpha_{mn} b_m$. Chứng minh rằng

b) Cho một ví dụ về một dãy kép $(\alpha_{mn})$ sao cho $\sum_m |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ với mọi $n$ và $\sum_n |\alpha_{mn}|^2 \leq 1$ với mọi $m$, nhưng sao cho không tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục nào $u$ từ E vào F thỏa mãn $\langle u(a_n)|b_m \rangle = \alpha_{mn}$ với mọi cặp số nguyên $(m, n)$. (Chứng minh rằng nếu $I \subset \mathbf{N}$ là một tập hợp gồm $p$ số nguyên, và nếu $V_p$ (tương ứng $W_p$) là không gian con của E (tương ứng F) sinh bởi các $a_n$ (tương ứng $b_n$) sao cho $n \in I$, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính $u_p$ từ $V_p$ lên $W_p$ sao cho $\langle u_p(a_n)|b_m \rangle = \frac{1}{\sqrt{p}}$ với $m \in I$ và $n \in I$, và $\|u_p\| \geq \sqrt{p}$.)

¶ 2) Cho $A = (\alpha_{mn})_{(m,n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ là một dãy kép các số phức, mà ta cũng gọi là một ma trận vô hạn. Với mọi điểm $x = (x_n)$ của không gian tổng trực tiếp $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$, các tổng $y_m = \sum_n \alpha_{mn} x_n$ được xác định; gọi $A.x$ là điểm $(y_m)$ của không gian tích $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, khi đó $x \mapsto A.x$ là một ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, và mọi ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ đều có dạng này. Gọi $E_n$ là không gian con của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ sinh bởi $n$ vectơ đầu tiên của cơ sở chính tắc, $P_n$ là phép chiếu chính tắc từ $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ lên $E_n$; khi $E_n$ được trang bị chuẩn cảm sinh bởi chuẩn của không gian $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$, $\|u\|$ biểu thị chuẩn của ánh xạ tuyến tính $u$ từ không gian Hilbert hữu hạn chiều $E_n$ vào chính nó. a) Để ảnh của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ qua ánh xạ $x \mapsto A.x$ được chứa trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và ánh xạ này mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là các chuẩn $\|P_n A P_n\|$ bị chặn. Điều này kéo theo rằng các hàng và các cột của $A$ thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (bài tập 1). b) Gọi $A^*$ là ma trận vô hạn $(\alpha'_{mn})$, trong đó $\alpha'_{mn} = \overline{\alpha}_{nm}$. Nếu các cột của $A$ thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (nói cách khác, nếu $x \mapsto A.x$ biến $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$), thì chuỗi $\beta_{mn} = \sum_p \overline{\alpha}_{pm} \alpha_{pn}$ hội tụ tuyệt đối, và ta đặt $A^*A = (\beta_{mn})$. Hãy chỉ ra rằng để $x \mapsto A.x$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ từ $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là các chuẩn $\|P_n (A^*A) P_n\|$ bị chặn (ta có $\langle P_n (A^*A) P_n.x|x \rangle = \|AP_n.x\|^2$ với mọi $x \in E_n$). Khi đó $x \mapsto A^*A.x$ mở rộng thành một ánh xạ Hermit dương $u^*u$ từ $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó. c) Với hai ma trận vô hạn $X = (\xi_{mn}), Y = (\eta_{mn})$, ta nói rằng tích $XY$ được xác định nếu chuỗi $\zeta_{mn} = \sum_p \xi_{mp} \eta_{pn}$ hội tụ tuyệt đối, và khi đó ta đặt $XY = (\zeta_{mn})$. Ta nói rằng một lũy thừa $X^k$ ($k$ số nguyên > 1) được xác định nếu $X^{k-1}$ và $X^{k-1}X$ được xác định và khi đó ta đặt $X^k = X^{k-1}X$; trong trường hợp này, $X^p X^q = X^k$ với mọi cặp số nguyên $p, q$ sao cho $p + q = k$. Nếu $A$ là một ma trận vô hạn mà các cột của nó nằm trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và nếu tích $(A^*A)^2$ được xác định, hãy chỉ ra rằng với mọi $x \in E_n$, ta có $\langle (P_n A^*A P_n)^2.x|x \rangle \leq \langle P_n (A^*A)^2 P_n.x|x \rangle$, và suy ra rằng $\|P_n A^*A P_n\|^2 \leq \|P_n (A^*A)^2 P_n\|$. d) Để một ma trận vô hạn $A$ có tính chất là ảnh của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ qua $x \mapsto A.x$ được chứa trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và $x \mapsto A.x$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là ba điều kiện sau được thỏa mãn: (i) các hàng và các cột của $A$ nằm trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$;

(ii) các lũy thừa $(A^*A)^k$ được xác định với mọi số nguyên $k > 1$; (iii) ta có

trong đó $(A^*A)^n_{mm}$ chỉ số hạng với các chỉ số $(m, m)$ của ma trận $(A^*A)^n$. (Nhận xét rằng nếu $C$ là ma trận, đối với cơ sở chính tắc của $E_n$, của một tự đồng cấu Hermit dương của $E_n$, thì $\|C\| \leq n \sup_{1 \leq i \leq n} |C_{ii}|$, bằng cách xét vết của $C$ và chéo hóa $C$. Sử dụng bất đẳng thức đã chứng minh trong c), hãy chứng minh rằng với mọi số nguyên $k > 1$, nếu các điều kiện (i), (ii) và (iii) được thỏa mãn.)