Exercice 2, § 3

Soit E un espace hilbertien de dimension infinie, et soient $p, q$ deux entiers $\geq 1$; on pose $p' = \left[ \frac{p}{2} \right]$, $q' = \left[ \frac{q}{2} \right]$ (parties entières). Montrer que la norme de l’application bilinéaire $(u, v) \mapsto u \wedge v$ de $\hat{\Lambda}^p(E) \times \hat{\Lambda}^q(E)$ dans $\hat{\Lambda}^{p+q}(E)$ est au moins égale à $\left( \frac{(p'+q')!}{p'! q'!} \right)^{1/2}$. (Lorsque $p = 2p'$ et $q = 2q'$ sont pairs, considérer dans E un sous-espace $E_n$ de dimension $2n$, ayant une base orthonormale $(e_j)_{1 \leq j \leq 2n}$; on pose $e'_j = e_{2j-1} \wedge e_{2j}$ pour $1 \leq j \leq n$; considérer le produit $u \wedge v$, où $u = \sum_H e'_H$, $v = \sum_K e'_K$ où H (resp. K) parcourt l’ensemble des parties à $p'$ (resp. $q'$) éléments de $\{1, 2, \ldots, n\}$ et $e'_H = e'_{i_1} \wedge \ldots \wedge e'_{i_{p'}}$ (resp. $e'_K = e'_{j_1} \wedge \ldots \wedge e'_{j_{q'}}$) si $i_1 < \cdots < i_{p'}$ (resp. $j_1 < \cdots < j_{q'}$) est la suite croissante des éléments de H (resp. K). En déduire que la multiplication dans $\Lambda(E)$ ne peut se prolonger par continuité à $\hat{\Lambda}(E)$.