Bài tập 5, § 4

Cho $E$, $F$ là hai không gian Hilbert, $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào $F$. Ta ký hiệu bằng $\ell(u)$ tập hợp các $x \in E$ sao cho $\|u(x)\| = \|u\|.\|x\|$. (a) Bây giờ chứng minh rằng $\ell(u)$ là không gian con vectơ đóng của E, hạt nhân của $u^*u - \|u\|^2 1_E$, và trực giao với hạt nhân của $u$. (b) Bây giờ chứng minh rằng hạn chế của $u$ vào $\ell(u)$ là một song ánh từ $\ell(u)$ lên $\ell(u^*)$, mà song ánh ngược của nó là hạn chế của $\|u\|^{-2}.u^*$ vào $\ell(u^*)$; hơn nữa ảnh bởi $u$ của phần bù trực giao $(\ell(u))^{\circ}$ được chứa trong $(\ell(u^*))^{\circ}$. Nếu $u_1$ là hạn chế của $u$ vào $(\ell(u))^{\circ}$, được xem như một ánh xạ của $(\ell(u))^{\circ}$ vào $(\ell(u^*))^{\circ}$, thì ánh xạ liên hợp $u_1^*$ là hạn chế của $u^*$ vào $(\ell(u^*))^{\circ}$; nếu $\ell(u) \neq E$, ta ký hiệu bằng $\langle u \rangle$ và gọi chuẩn con của $u$ là chuẩn $\|u_1\|$; nếu $\ell(u) = E$, ta đặt $\langle u \rangle = 0$. Ta có $\langle u^* \rangle = \langle u \rangle$.