Bài tập 9, § 4

Cho E là một không gian Hilbert, $(P_j)_{j\in\mathbf{N}}$ là một dãy các phép chiếu trực giao trong E, sao cho, với mọi $j\in\mathbf{N}$, tồn tại một $n_j\in\mathbf{N}$ sao cho với mọi $k\in\mathbf{N}$, ít nhất một trong các phép chiếu trực giao $P_k,P_{k+1},\ldots,P_{k+n_j}$ bằng $P_j$. Ta đặt $R_s=P_sP_{s-1}\ldots P_0$ với mọi $s\in\mathbf{N}$. (a) Với mọi $x\in E$, đặt $x_s=R_s.x$. Chứng minh rằng $\sum_s\|x_{s-1}-x_s\|^2\leq\|x\|^2$, và suy ra rằng, với mọi số nguyên $r\geq 1$, $x_{s+r}-x_s$ tiến tới 0 khi $s$ tiến tới $+\infty$. (b) Cho $(x_{s_k})$ là một dãy con của $(x_s)$ yếu hội tụ tới một giới hạn $y$; khi đó mỗi dãy $(x_{s_k+r_k})$ cũng yếu hội tụ tới $y$. Suy ra rằng $y$ thuộc về mỗi không gian con $M_j=P_j(E)$. (Với mỗi $j$, tồn tại $r_k$ sao cho $0\leq r_k\leq n_j$ và $s_k+r_k=j$; chứng minh rằng dãy $(x_{s_k+r_k})$ yếu hội tụ tới $y$.) (c) Chứng minh rằng dãy $(x_s)$ yếu hội tụ tới phép chiếu trực giao của $x$ lên giao $M$ của các $M_j$. (Rút gọn về trường hợp $M=\{0\}$, và sử dụng b) cùng tính compact yếu của mọi quả cầu đóng trong E.)