Ghi chú lịch sử

(Chú ý. Các chữ số La Mã chỉ thư mục được nêu ở cuối ghi chú này.)

Ý tưởng “nội suy” một dãy $(u_n)$ bằng các giá trị của một tích phân phụ thuộc vào một tham số thực $\lambda$ và bằng $u_n$ khi $\lambda = n$ , có từ Wallis (III, p. 55). Chính ý tưởng này chủ yếu đã dẫn dắt Euler khi, vào năm 1730 ((I), v. XIV, p. 1-24), ông bắt tay vào nội suy dãy các giai thừa. Ông bắt đầu bằng việc nhận xét rằng $n!$ bằng tích vô hạn

\prod_{k=1}^{\infty} \left( \frac{k+1}{k} \right)^n \frac{k}{k+n},

mà tích này được xác định với mọi giá trị của

n

(nguyên hay không), và đặc biệt, với giá trị

n = \frac{1}{2}

nó nhận giá trị

\frac{1}{2} \sqrt{\pi}

theo công thức Wallis. Sự tương tự giữa kết quả này và kết quả của Wallis sau đó đã khiến ông xét lại tích phân

\int_0^1 x^e (1-x)^n dx

(

n nguyên,

e

tùy ý

)

mà Wallis đã xét trước đó. Euler tìm được giá trị

\frac{n!}{(e+1)(e+2)\ldots(e+n+1)}

của nó, bằng cách dùng khai triển nhị thức; khi đó một phép đổi biến cho ông thấy rằng

n!

là giới hạn, khi

z

tiến tới 0, của tích phân

\int_0^1 \left( \frac{1-x^z}{z} \right)^n dx,

do đó có “tích phân Euler thứ hai”

n! = \int_0^1 \left( \log \frac{1}{x} \right)^n dx;

bằng cùng phương pháp ấy, và dùng công thức Wallis, ông thu được công thức

\int_0^1 \sqrt{\log 1/x} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\pi}.

Trong các công trình về sau, Euler thường xuyên quay lại các tích phân này; như vậy ông đã phát hiện ra quan hệ bù ((I), t. XV, p 82 and t. XVII, p. 342), công thức

\mathbf{B}(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)

((I), t. XVII, p. 355), và trường hợp riêng của công thức Legendre-Gauss ứng với

x = 1

((I), t. XIX, p. 483); tất cả điều này dĩ nhiên không bận tâm đến các vấn đề hội tụ.

Gauss tiếp tục nghiên cứu hàm $\Gamma$ gắn với các nghiên cứu của ông về hàm hypergeometric, mà hàm $\Gamma$ là một trường hợp giới hạn (II); chính trong quá trình nghiên cứu này mà ông đã thu được công thức nhân tổng quát (đã được Legendre ghi nhận sớm hơn một chút trong trường hợp $p = 2$ ). Các công trình về sau về $\Gamma$ chủ yếu nhằm mở rộng hàm này sang miền phức. Chỉ gần đây người ta mới nhận ra rằng tính chất lồi lôgarit đặc trưng cho $\Gamma(x)$ (trong miền thực), sai khác bởi một nhân tử hằng, giữa các nghiệm của phương trình phiếm hàm $f(x + 1) = x\, f(x)$ (III); và Artin đã chỉ ra (IV) cách người ta có thể liên hệ một cách đơn giản mọi kết quả cổ điển về $\Gamma(x)$ với riêng tính chất này. Chúng tôi đã theo khá sát cách trình bày của ông.

(I) L. Euler, Opera omnia, Leipzig-Berlin (Teubner): t. XIV (1924), t. XV (1927), t. XVII (1915) and t. XIX (1932). (II) C.F. Gauss, Werke, t. III, Göttingen, 1866. (III) H. Bohr und J. Mollerup, Laerebog i matematisk Analyse, t. III, Kopenhagen, 1922, p. 149-164. (IV) E. Artin, Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Leipzig (Teubner), 1931.

Df(x_0): 5 f'(x_0): 5 f'_d(x_0): 6 f'_g(x_0): 6 Df: 7 df/dx: 7 f'_d: 7 f'_g: 7 D^n f: 23 f^{(n)}: 23 \int_{x_0}^x f: 61 \int_{x_0}^x f(t)\,dt: 61 \int_{x_0}^x f: 61 \int_{x_0}^x f(t)dt: 61 h(t)|_{x_0}^x: 62 \int_a^{(n)} f: 66 \int_1^a f(t)\,dt: 69 e: 97 \exp x: 97 \log x\ (x\ \text{real}\ > 0): 97 \pi: 99 \operatorname{Arc}\cos x: 100 \operatorname{Arc}\sin x: 100 \operatorname{Arc}\tan x: 100 \cos x: 100 \cot x: 100 \csc x: 100 \sec x: 100 \sin x: 100 \tan x: 100 e^z: 103 \exp z: 103 \cos z: 107 cot z: 107 log z: 105 sin z: 107 tan z: 107 cosh x: 108 sinh x: 108 tanh x: 108 Arg cosh x: 109 Arg sinh x: 109 Arg tanh: 110

\binom{m}{n}

: 114

e^A

: 198 exp A: 198

\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)

: 221 R_\infty: 221

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

: 222 f_1 \preceq f_2: 223 f_2 \succeq f_1: 223 f \preceq g: 223 g \succeq f: 223 f + g: 223 fg: 223 f\lambda: 223 \|f\|: 223 f \asymp g: 224 f_1 \ll f_2: 225 f_2 \gg f_1: 225 f \ll g: 225 g \gg f: 225 f \sim g: 226 O(f), O_k(f), o(f), o_k(f): 230 l_0(x), l_n(x): 240 \mathscr{K}(y) (\mathscr{K} a Hardy field): 261 e_0(x), e_n(x): 265

\sum_{k=0}^\infty \alpha_k D^k

: 285 B_n(X): 288 b_n: 288 U_\lambda^\xi(f(\xi)): 290 \Gamma(n), \Gamma(x): 317 \mathbf{B}(x, y): 324 \Gamma(z): 327

Chỉ mục

Ghép thêm một nghiệm của một đa thức, của một nguyên hàm, của một hàm mũ của một nguyên hàm, vào một trường vi phân, 121 Liên hợp (phương trình) của một phương trình vi phân tuyến tính, 186 Các đa thức Appell, 272 Nghiệm gần đúng trong phạm vi $\varepsilon$ của một phương trình vi phân, 166 Khai triển tiệm cận – chính xác hơn một khai triển khác, 222 – của một hàm đối với một thang so sánh, 222 – của một hàm với độ chính xác $g_\alpha$ , 222 – độ chính xác của, 222 Các khai triển tiệm cận, 220 – với các hệ số biến, 226

Các số Bernouilli, 276 Các đa thức Bernouilli, 275 Công thức nhị thức, 108 Chuỗi nhị thức, 109

Bất đẳng thức Carleman, 117 Bất đẳng thức Carlson, 116 Tiêu chuẩn Cauchy đối với các tích phân, 65 Công thức thay đổi biến, 60 Đặc trưng – địa phương, 211 Các hệ số – nhị thức, 21 Các thang so sánh, 220 Quan hệ bù, 316 Toán tử hợp thành, 270 – hàm chỉ số, 278 – cấp của, 272 – chính quy, 279 Hàm cosec, 95 Cosin – hyperbolic, 102 Cosin của một số phức, 102 Cotang, 95 Các tiêu chuẩn – hội tụ – – loại thứ hai, 244 – tích phân – – lôgarit, 229 Tiêu chuẩn – tiêu chuẩn Cauchy đối với các tích phân, 65 – Cauchy-Maclaurin, 237 – của Ermakoff, 86

d’Alembert – tiêu chuẩn hội tụ, 245 Dãy định nghĩa của một hàm (H), 252 Đạo hàm – bậc nhất, 3 – vô hạn, 10 – lôgarit, 94 – thứ $n$ , 20 – bậc hai, 20 – đối xứng, 39 Đạo hàm của một hàm, 3 – trái, 4 – phải, 4 Định thức của $n$ tích phân của một hệ $n$ phương trình vi phân tuyến tính, 184 Phương trình vi phân – liên hợp, 187 – tích phân, 163 – tuyến tính, 177 – tuyến tính thuần nhất, 178 – tuyến tính cấp $n$ , 192 – Lipschitz, 171 – Lipschitz địa phương, 171 – cấp một, 164 – cấp $n$ , 164 – biến thực, 163 – nghiệm, 163

– nghiệm ngặt, 164 Các phương trình vi phân – hệ, 164 các định lý của du Bois-Reymond, 265

Các tích phân Euler, 310 hằng Euler, 242 các công thức Euler, 99 công thức tổng Euler-Maclaurin, 282 khai triển Euler của cot $z$ , 286 khai triển Euler của sin $z$ , 287 Khai triển – của log $\Gamma(z)$ – Stirling, 322 Hàm mũ – phức, 97 Các hàm mũ – lặp, 253 Mở rộng – sơ cấp của một trường vi phân, 121 – của một trường Hardy, 248

Trường – vi phân, 121 Công thức – đổi biến, 60 – tổng Euler-Maclaurin, 282 – Gauss, 307 – tích phân từng phần, 60 – tích phân từng phần cấp $n$ , 60 – nhân Legendre-Gauss, 318 – Leibniz, 20 – Stirling, 243 – Taylor, 21 – Wallis, 123 – Weierstrass, 308 Các công thức – Euler, 99 Hàm – khả vi $n$ lần – tại một điểm, 20 – trên một khoảng, 20 – (H), 252 – lõm, 26 – lồi, 26 – dẫn xuất, 4 – khả vi – tại một điểm, 3 – vô hạn lần, 20 – trên một khoảng, 4 – sự trội của một hàm đối với một hàm khác, 212 – sơ cấp, 122 – tăng về bên phải, 37 – khả vi trái – tại một điểm, 4 – trên một khoảng, 4 – Lipschitz, 168, 171 – Lipschitz địa phương, 171 – bị chặn theo lôgarit, 214 – lồi theo lôgarit, 310 – giá trị trung bình của, 58 – không đáng kể đối với một hàm khác, 214 – có biến phân bị chặn, 79 – có dấu không đổi, 217 – trội hơn một hàm khác, 214 – lồi chính quy, 260 – bị điều tiết, 54 – từng khúc, 63 – khả vi phải – tại một điểm, 4 – trên một khoảng, 4 – bậc thang, 53 – lõm ngặt, 26 – lồi ngặt, 25 – siêu cộng tính, 48 Các hàm – so sánh được – mạnh, 217 – đến cấp $k$ , 232 – yếu, 214 – tương đương, 216 – hyperbolic, 102 – tương tự, 214

công thức Gauss, 307 tích phân Gauss, 314 khai triển Taylor suy rộng của một hàm, 278 khai triển Taylor suy rộng của một đa thức, 274 chuỗi sinh của các đa thức Appell gắn với một toán tử hợp thành, 275

bất đẳng thức Hadamard, 118 trường Hardy, 247 bất đẳng thức Hardy, 117 bất đẳng thức Hardy-Littlewood, 89 định lý tauber Hardy-Littlewood, 45 các đa thức Hermite, 282 bất đẳng thức Hlawka, 90 các hàm hyperbolic, 102 bất đẳng thức Hölder, 115

Đồng nhất thức – Redheffer, 88

Hàm khả vi vô hạn lần, 20 Chỉ hàm của một toán tử hợp thành, 278 Bất đẳng thức – Carleman, 117 – Carlson, 116 – Cauchy-Buniakowski-Schwarz, 115 – Cauchy-Schwarz, 88 – Hadamard, 118 – Hardy, 117 – Hardy-Littlewood, 89 – Hlawka, 90 – Hölder, 115 – Opial, 90 – Weyl, 90 Tích phân – hội tụ tuyệt đối, 67 – hội tụ, 63 – Euler, 310 – Gauss, 314 – hội tụ chuẩn tắc, 71, 73 – của một hàm bị điều tiết từng khúc, 63 – của một hàm bị điều tiết trên một khoảng không compắc, 63 – của phương trình vi phân, 163 – Raabe, 318 – hội tụ đều, 71 Công thức tích phân từng phần, 60 Công thức tích phân từng phần cấp $n$ , 60 Các hàm mũ lặp, 253 Lôgarit lặp, 229

các đồng dư thức của Kummer, 295

công thức Leibniz, 20 Đường thẳng – địa phương ở trên một đồ thị, 31 – địa phương ở dưới một đồ thị, 31 – địa phương trên một đồ thị, 31 định lý Liouville, 122 điều kiện Lipschitz, 168 phương trình vi phân Lipschitz, 171 hàm Lipschitz, 171 đặc trưng địa phương, 211 Lôgarit – lặp, 229 – Naper, 92 – tự nhiên, 92 – của số phức, 100 – giá trị chính, 100 Đạo hàm lôgarit, 94 Hàm bị chặn theo lôgarit, 214 Hàm lồi theo lôgarit, 310

Cực đại – tương đối, 11 – ngặt, 11 Trung bình – cộng, 93 – có trọng số, 93 – nhân, 93 – có trọng số, 93 Giá trị trung bình của một hàm, 58 Định lý giá trị trung bình, 14 Phương pháp biến thiên hằng số, 182 Cực tiểu – tương đối, 11 – ngặt, 11 Lôgarit Naper, 92 Lôgarit tự nhiên, 92 đa giác Newton, 259 Tích phân hội tụ chuẩn tắc, 71

Toán tử – hợp thành, 270 – tịnh tiến, 270 bất đẳng thức Opial, 90 Cấp của một hàm đối với một hàm khác, 218 định lý Peano, 167 Hàm bị điều tiết từng khúc, 63 Đa giác – Newton, 259 Các đa thức – Appell, 272 – Bernouilli, 275 – Hermite, 282 Trội – một hàm hơn một hàm khác, 214 Số nguyên tố – bất chính quy, 295 – chính quy, 295 Nguyên hàm – của một hàm trên một khoảng của $\mathbf{R}$ , 51 – bậc $n$ , 62 – bậc hai, 62 – ngặt, 51 Phần chính – của một hàm đối với một thang so sánh, 221 – của một hàm đối với một thang so sánh và một miền hệ số, 227 Nguyên lý so sánh các tích phân, 66

tích phân Raabe, 318 tiêu chuẩn Raabe, 244 đồng nhất thức Redheffer, 88 Rút gọn đến độ chính xác $g_\alpha$ – khai triển tiệm cận của một hàm, 222 Toán tử hợp thành chính quy, 279 Hàm bị điều tiết, 54 Phần dư – trong khai triển tiệm cận, 222 – trong công thức Euler-Maclaurin, 283 – trong công thức Taylor, 22 Phần giải của một phương trình vi phân tuyến tính, 180 định lý Rolle, 12 Các nghiệm – đặc trưng, của một phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng, 190

Thang so sánh, 220 Secant, 95 Định lý giá trị trung bình thứ hai, 82 Các hàm tương tự, 214 Sin – hyperbolic, 102 Sin của một số phức, 102 Nghiệm với sai số $\varepsilon$ của một phương trình vi phân, 166 Công thức Stirling, 243 Nguyên thủy ngặt, 51 Nghiệm ngặt của một phương trình vi phân, 164 Ngặt – ở trên một đồ thị, 23 – ở dưới một đồ thị, 23 Hàm lõm ngặt, 26 Hàm lồi ngặt, 25 Đường thẳng tựa của đồ thị của một hàm lồi, 29 Hệ phương trình vi phân, 164 Các hệ – các hệ nguyên cơ bản của một hệ tuyến tính các phương trình vi phân vô hướng, 183

Tang – nửa – – trái, 11 – – phải, 11 – hyperbolic, 102 – với một đồ thị, 11 Khai triển Taylor, 22 Công thức Taylor, 21 – cấp $n$ , 22 Tiêu chuẩn – d’Alembert, 245 – Raabe, 244 Định lý – định lý tồn tại của Cauchy, 171 – Clausen-von Staudt, 294 – tauber Hardy-Littlewood, 45 – Liouville, 122 – giá trị trung bình, 14 – Peano, 167 – Rolle, 12 Các định lý – du Bois-Reymond, 265 Toán tử tịnh tiến, 270

Nguyên hội tụ đều, 71

Giá trị – giá trị trung bình của một hàm, 58 Biến thiên hằng số – phương pháp, 182

Công thức Wallis, 123 Công thức Weierstrass, 308 Bất đẳng thức Weyl, 90 Định thức Wronski của $n$ nguyên của một phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$ , 193