10. Không gian tôpô.

Các khái niệm về giới hạn và tính liên tục đã có từ thời cổ đại; sẽ không thể viết một lịch sử đầy đủ về chúng nếu không nghiên cứu một cách hệ thống từ quan điểm này, không chỉ các nhà toán học, mà cả các nhà triết học Hy Lạp và đặc biệt là Aristotle, cũng như không theo dõi sự tiến hóa của các ý tưởng này qua nền toán học thời Phục hưng và những bước đầu của phép tính vi phân và tích phân. Một nghiên cứu như vậy, chắc chắn sẽ rất thú vị để thực hiện, sẽ vượt xa khuôn khổ của chú ý này.

Chính Riemann phải được xem là người sáng tạo ra tôpô, cũng như của rất nhiều ngành khác của toán học hiện đại: thực vậy, chính ông là người đầu tiên tìm cách tách ra khái niệm không gian tôpô, hình thành ý tưởng về một lý thuyết độc lập của các không gian này, định nghĩa các bất biến (các "số Betti") vốn sẽ đóng vai trò lớn nhất trong sự phát triển về sau của tôpô, và đưa ra những ứng dụng đầu tiên của nó vào giải tích (các chu kỳ của các tích phân Abel). Nhưng sự vận động của các ý tưởng trong nửa đầu thế kỷ XIX đã không diễn ra mà không chuẩn bị con đường cho Riemann theo nhiều cách. Thật vậy, mong muốn đặt toán học trên một cơ sở vững chắc, vốn là nguyên nhân của rất nhiều nghiên cứu quan trọng trong suốt thế kỷ XIX và cho đến ngày nay, đã dẫn đến việc định nghĩa đúng đắn khái niệm chuỗi hội tụ và dãy số tiến tới một giới hạn (Cauchy, Abel) cũng như khái niệm hàm liên tục (Bolzano, Cauchy). Mặt khác, biểu diễn hình học (bằng các điểm trong mặt phẳng) của các số phức, hay như người ta vẫn gọi cho đến lúc đó là "các số ảo" (đôi khi trong thế kỷ XVIII còn được gọi là các số "không thể có"), một biểu diễn do Argand và Gauss đưa ra (xem p. 161), đã trở nên quen thuộc với phần lớn các nhà toán học: nó tạo thành một tiến bộ cùng cấp độ với việc trong thời đại chúng ta áp dụng ngôn ngữ hình học vào việc nghiên cứu không gian Hilbert, và chứa đựng mầm mống khả năng biểu diễn hình học của mọi đối tượng có khả năng biến thiên liên tục; Gauss, trong mọi trường hợp, vốn tự nhiên được dẫn dắt đến những quan niệm như vậy bởi các nghiên cứu của ông về các nền tảng của hình học, về hình học phi Euclid, về các mặt cong, dường như đã sớm có khả năng này trong đầu, vì ông dùng các từ "kích thước kéo dài hai lần" khi định nghĩa (độc lập với Argand và các nhà toán học Pháp) biểu diễn hình học của các số ảo ([124 a], v. II, tr. 101-103 và tr. 175-178).

Một mặt là các nghiên cứu của ông về các hàm đại số và các tích phân của chúng, mặt khác là những suy nghĩ của ông (phần lớn được gợi cảm hứng từ việc nghiên cứu các công trình của Gauss) về các nền tảng của hình học, đã dẫn Riemann đến việc xây dựng một chương trình nghiên cứu hoàn toàn chính là chương trình của tôpô hiện đại, và khởi đầu việc thực hiện chương trình này. Sau đây chẳng hạn là cách ông diễn đạt trong Lý thuyết các hàm Abel của ông ([259 a], p. 91):

"Trong việc nghiên cứu các hàm thu được bằng cách lấy tích phân các vi phân khớp, một số định lý của giải tích situs gần như là không thể thiếu. Dưới tên gọi này, vốn đã được Leibniz sử dụng, mặc dù có lẽ với một ý nghĩa hơi khác, cần bao gồm phần của lý thuyết các đại lượng liên tục nghiên cứu các đại lượng này, không phải như độc lập với vị trí của chúng và có thể đo lẫn nhau bằng các đại lượng kia, mà bằng cách trừu tượng hóa mọi ý tưởng về phép đo và chỉ nghiên cứu các quan hệ vị trí và quan hệ bao hàm của chúng. Tôi dành quyền xử lý đối tượng này sau, theo một cách hoàn toàn độc lập với mọi phép đo ...".

Và trong Bài giảng khai mạc nổi tiếng của ông "Về các giả thuyết tạo thành nền tảng của hình học" ([259 a], p. 272):

"...Khái niệm tổng quát về đại lượng mở rộng nhiều lần,$^1$ chứa khái niệm đại lượng không gian như một trường hợp riêng, đã hoàn toàn chưa được khảo sát ...(p. 272)".

"...Khái niệm đại lượng giả thiết một phần tử có khả năng nhận những xác định khác nhau. Tùy theo việc có thể hay không thể đi từ một xác định này sang một xác định khác bằng các chuyển tiếp liên tục, các xác định này tạo thành một đa tạp liên tục (mà chúng sẽ được gọi là các điểm) hoặc một đa tạp rời rạc (p. 273)".

"...Phép đo bao gồm sự chồng xếp các đại lượng cần so sánh; do đó, để đo, phải có một phương tiện đưa một đại lượng lên một đại lượng khác. Khi không có phương tiện như vậy, không thể so sánh hai đại lượng trừ khi một đại lượng được chứa trong đại lượng kia ... Các nghiên cứu có thể thực hiện về chủ đề này khi đó tạo thành một phần của lý thuyết các đại lượng, độc lập với phép đo, và trong đó các đại lượng không được xem là có một sự tồn tại độc lập với vị trí của chúng, cũng không được biểu diễn bằng một đơn vị đo, mà là các phần của một đa tạp. Những nghiên cứu như vậy đã trở thành một điều cần thiết trong nhiều phần của toán học, và đặc biệt đối với lý thuyết các hàm đa trị giải tích ... (p. 274)".

"...Việc xác định vị trí trong một đa tạp cho trước do đó được rút gọn, mỗi khi có thể, thành một số hữu hạn các xác định số học.

$^1$ Riemann muốn nói qua đó, như được chỉ ra trong phần tiếp theo, một phần của không gian tôpô với một số chiều tùy ý.

Quả thực có một số đa tạp trong đó việc xác định vị trí đòi hỏi, không phải một số hữu hạn, mà là một dãy vô hạn hoặc một đa tạp liên tục các xác định của các đại lượng. Chẳng hạn các đa tạp như vậy được tạo thành bởi các xác định có thể có của một hàm trong một miền cho trước, vị trí của một hình trong không gian, v.v." (p. 276).

Trong câu cuối cùng này sẽ nhận thấy ý tưởng đầu tiên về việc nghiên cứu các không gian phiếm hàm; ngoài ra, ngay trong Luận án của Riemann cũng đã tìm thấy cùng một ý tưởng được diễn đạt như sau: "Tập hợp các hàm này", ông nói liên quan đến bài toán cực tiểu được biết dưới tên nguyên lý Dirichlet, "tạo thành một miền liên thông, đóng trong chính nó" ([259 a], p. 30), điều này, dưới một dạng chưa hoàn hảo, tuy vậy vẫn là mầm mống của chứng minh mà Hilbert sau này sẽ đưa ra cho nguyên lý Dirichlet, và thậm chí cho phần lớn các áp dụng của các không gian phiếm hàm vào phép tính các biến phân.

Như chúng ta đã nói, Riemann đã khởi đầu việc thực hiện chương trình vĩ đại này, bằng cách định nghĩa các "số Betti", trước hết của một mặt ([259 a], pp. 92-93), sau đó (ibid., pp. 479-482; cf. cũng [259 c]) của một bội số có số chiều tùy ý, và bằng cách áp dụng định nghĩa này vào lý thuyết các tích phân; các kết quả này khai sinh Tôpô đại số, một ngành của toán học mà sự phát triển của nó chưa ngừng tăng tốc kể từ đầu thế kỷ XX, và không nên được trình bày ở đây.

Đối với lý thuyết tổng quát về các không gian tôpô, như Riemann đã dự kiến, để nó có thể phát triển, cần phải nghiên cứu trước tiên một cách có hệ thống hơn so với thời của Riemann lý thuyết về các số thực, về các tập hợp số, về các tập hợp điểm trên đường thẳng, trong mặt phẳng và trong không gian: mặt khác, nghiên cứu này gắn liền với các khảo cứu (nửa triết học với Bolzano, về bản chất là toán học với Dedekind) về bản chất của các số vô tỉ, cũng như với sự tiến bộ trong lý thuyết các hàm của một biến thực (mà chính Riemann đã có một đóng góp quan trọng bằng định nghĩa của ông về tích phân và lý thuyết chuỗi lượng giác của ông, và là đối tượng, trong số những công trình khác, của các công trình của du Bois-Reymond, Dini, Weierstrass); đó là công trình của nửa sau thế kỷ XIX và đặc biệt nhất là Cantor, người đầu tiên định nghĩa (trước hết trên một đường thẳng, sau đó trong không gian Euclid có $n$ chiều) các khái niệm điểm tụ, tập hợp đóng và hoàn hảo, và người đã thu được các kết quả cốt yếu về cấu trúc của các tập hợp này trên đường thẳng (cf. p. 155): về vấn đề này, không chỉ nên tham khảo các Công trình của Cantor [47], mà còn cả sự tương ứng rất thú vị của ông với Dedekind [48], trong đó cũng sẽ tìm thấy được diễn đạt rõ ràng ý tưởng về số chiều được xem như một bất biến tôpô.

Những tiến bộ tiếp theo của lý thuyết được trình bày chẳng hạn, dưới một dạng nửa lịch sử, nửa hệ thống trong cuốn sách của Schoenflies [275 a]: quan trọng nhất một cách vượt xa là định lý Borel-Lebesgue (được chứng minh trước hết bởi Borel cho một khoảng đóng trên đường thẳng và một họ đếm được các khoảng mở phủ nó).

Các ý tưởng của Cantor ban đầu gặp phải một sự chống đối khá mạnh mẽ (cf. p. 28). Tuy nhiên lý thuyết của ông về các tập hợp điểm trên đường thẳng và trong mặt phẳng nhanh chóng được các trường phái Pháp và Đức về lý thuyết hàm sử dụng và phổ biến rộng rãi (Jordan, Poincaré, Klein, Mittag-Leffler, sau đó Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue, v.v.): đặc biệt, các tập đầu tiên của bộ sưu tập Borel mỗi tập đều chứa một phát biểu sơ cấp của lý thuyết này (xem chẳng hạn [32 a]). Khi các ý tưởng này được phổ biến, người ta bắt đầu suy nghĩ theo nhiều cách khác nhau về khả năng áp dụng chúng vào các tập hợp, không còn là các điểm nữa, mà là các đường cong hoặc các hàm: một ý tưởng đã xuất hiện chẳng hạn ngay từ năm 1884, trong nhan đề “Về các đường cong giới hạn của một họ các đường cong” của một hồi ký của Ascoli [10], và được thể hiện trong một thông báo của Hadamard tại đại hội các nhà toán học ở Zurich năm 1896 [141]; nó cũng gắn chặt với việc đưa vào các “hàm đường” của Volterra năm 1887, và với sự sáng tạo ra “phép tính phiếm hàm”, hay lý thuyết về các hàm trong đó đối số là một hàm (về điều này, có thể tham khảo công trình của Volterra về Giải tích phiếm hàm [322 b]). Mặt khác, trong hồi ký nổi tiếng ([163 a], v. III, pp. 10-37) nơi Hilbert, tiếp nối tại điểm này các ý tưởng của Riemann, đã chứng minh sự tồn tại của cực tiểu trong nguyên lý Dirichlet và khai sinh “phương pháp trực tiếp” của phép tính các biến phân, người ta thấy xuất hiện rõ ràng sự quan tâm đến việc xét các tập hợp hàm trong đó nguyên lý Bolzano-Weierstrass là đúng, nghĩa là mỗi dãy chứa một dãy con hội tụ; quả thật các tập hợp như vậy chẳng bao lâu sau sẽ đóng một vai trò quan trọng, không chỉ trong phép tính các biến phân, mà còn trong lý thuyết các hàm của một biến thực (Ascoli, Arzelà) và trong lý thuyết các hàm của một biến phức (Vitali, Carathéodory, Montel). Cuối cùng việc nghiên cứu các phương trình phiếm hàm, và đặc biệt nhất là nghiệm của Fredhom đối với kiểu phương trình mang tên ông [116], đã làm cho việc xem xét một hàm như một đối số, và một tập hợp các hàm như tương tự của một tập hợp các điểm, trở nên quen thuộc; trong mối liên hệ đó, việc sử dụng ngôn ngữ hình học cũng tự nhiên như đối với các điểm của một không gian Euclid có $n$ chiều (một không gian mà, ngoài ra, cũng thoát khỏi “trực giác”, và vì lý do đó, trong một thời gian dài vẫn là đối tượng của sự nghi ngờ đối với nhiều nhà toán học). Đặc biệt, các công trình đáng ghi nhớ của Hilbert về các phương trình tích phân [163 b] kết thúc bằng định nghĩa và nghiên cứu hình học về không gian Hilbert của Erhard Schmidt [274 b], hoàn toàn tương tự với hình học Euclid (xem p. 212).

Trong khi đó khái niệm lý thuyết tiên đề đã trở nên ngày càng quan trọng hơn, nhờ trên hết vào nhiều công trình về nền tảng của hình học, trong số đó các công trình của Hilbert [163 c] có một ảnh hưởng đặc biệt quyết định; trong chính công trình này, Hilbert đã được dẫn đến việc phát biểu một cách chính xác, từ năm 1902 ([163 c], p. 180), một định nghĩa tiên đề đầu tiên về “bội số mở rộng hai lần” theo nghĩa của Riemann, một định nghĩa mà theo ông đã cấu thành “nền tảng của một sự xử lý tiên đề nghiêm ngặt của giải tích situs”, và đã sử dụng các lân cận (theo một nghĩa bị hạn chế bởi những đòi hỏi của bài toán mà khi đó Hilbert đang tự giới hạn mình vào).

Những cố gắng đầu tiên nhằm làm nổi bật điều chung giữa các tính chất của các tập hợp điểm và của các hàm (không có sự can thiệp của một khái niệm về "khoảng cách"), đã được thực hiện bởi Fréchet [115 a] và F. Riesz [260 b]; nhưng người thứ nhất, xuất phát từ khái niệm giới hạn đếm được, không thành công trong việc xây dựng, đối với các không gian không mêtric hóa được, một hệ tiên đề thuận tiện và phong phú; ít nhất ông đã nhận ra mối liên hệ giữa nguyên lý Bolzano-Weierstrass và định lý Borel-Lebesgue; chính trong mối liên hệ này mà ông đưa vào từ "compact", mặc dù với một ý nghĩa hơi khác với ý nghĩa được gán cho nó ngày nay. Còn F. Riesz, người xuất phát từ khái niệm điểm tụ (hay đúng hơn, điều tương đương với nó, của tập hợp "dẫn xuất"), thì lý thuyết của ông vẫn chưa hoàn chỉnh, và ngoài ra chỉ còn lại như một phác thảo.

Với Hausdorff ([152 a], chương 7-8-9), tôpô tổng quát theo cách nó được hiểu ngày nay bắt đầu. Lấy lại khái niệm lân cận, ông đã biết cách chọn, trong số các tiên đề của Hilbert về các lân cận trong mặt phẳng, những tiên đề có thể đem lại cho lý thuyết của ông đồng thời tất cả tính chính xác và tính tổng quát mong muốn. Chương mà ông phát triển các hệ quả của nó vẫn là một mẫu mực của lý thuyết tiên đề, trừu tượng nhưng thích nghi với các ứng dụng ngay từ đầu. Điều đó, một cách tự nhiên, là điểm xuất phát cho các nghiên cứu tiếp theo về tôpô tổng quát, và chủ yếu là các công trình của trường phái Moskva, phần lớn hướng tới bài toán mêtric hóa (xem p. 166): ở đây ta đặc biệt phải nhớ định nghĩa, do Alexandroff và Urysohn đưa ra, về các không gian compact (dưới tên gọi "các không gian bicompact"), rồi chứng minh của Tychonoff [313] về tính compact của các tích của các không gian compact. Cuối cùng là việc đưa vào các lọc bởi H. Cartan [53], việc này, trong khi cung cấp một công cụ rất có giá trị nhằm phục vụ mọi loại ứng dụng (trong đó nó là một sự thay thế có lợi cho khái niệm "hội tụ Moore-Smith" [227]), đã, nhờ định lý về các siêu lọc, đi đến đạt được sự làm sáng tỏ và đơn giản hóa của lý thuyết.