9. Dạng toàn phương; hình học sơ cấp.

Lý thuyết về các dạng toàn phương, xét theo phương diện hiện đại của nó, hầu như không có từ trước nửa sau của thế kỷ XVIII, và, như ta sẽ thấy, nó được phát triển chủ yếu để đáp ứng các nhu cầu của Số học, Giải tích và Cơ học. Nhưng các khái niệm cơ bản của lý thuyết này trong thực tế đã xuất hiện ngay từ những khởi đầu của hình học “Euclid”, mà chúng tạo thành khuôn khổ. Vì lý do này, lịch sử của nó không thể được truy nguyên mà không nói đến, ít nhất một cách tóm tắt, sự phát triển của “hình học sơ cấp” từ thời cổ đại. Dĩ nhiên, ta chỉ có thể nối kết với sự tiến triển của một vài ý tưởng chung, và người đọc không nên mong đợi tìm thấy ở đây những thông tin chính xác về lịch sử của một định lý riêng biệt nào đó; đối với những định lý như vậy, chỉ cần tham khảo các công trình lịch sử hoặc giáo khoa chuyên biệt.$^1$ Cũng không cần phải nói thêm rằng, khi dưới đây ta nói về các cách giải thích khác nhau có thể có của cùng một định lý trong các ngôn ngữ đại số hoặc hình học khác nhau, ta hoàn toàn không có ý nói rằng những “bản dịch” này vào mọi thời điểm đều quen thuộc như ngày nay; trái lại, mục tiêu chính của Chú ý này là chỉ ra cách mà, dần dần, các nhà toán học đã ý thức được những sự tương ứng giữa các câu hỏi thường có diện mạo rất khác nhau như thế nào; ta cũng sẽ phải chỉ ra cách mà, khi làm điều đó, họ đã được dẫn đến việc đặt một mức độ nhất quán nào đó vào khối lượng các định lý hình học do người xưa để lại, và cuối cùng cố gắng xác định chính xác điều gì nên được hiểu là “hình học”.

Nếu bỏ qua việc người Babylon phát hiện ra công thức nghiệm của các phương trình bậc hai ([232], tr. 183-189), thì chính dưới dạng cải trang hình học của chúng mà ta phải ghi nhận sự ra đời của các khái niệm chính của lý thuyết các dạng toàn phương. Trước hết chúng xuất hiện như các bình phương của khoảng cách (trong mặt phẳng hoặc không gian ba chiều) và khái niệm “trực giao” tương ứng được đưa vào bằng góc vuông, được Euclid định nghĩa là một nửa góc bẹt (Elements, Quyển I, Định nghĩa 10); các khái niệm khoảng cách và góc vuông được liên kết bởi định lý Pythagore, viên đá góc của công trình Euclid.$^2$ Ý tưởng về góc dường như đã được đưa vào rất sớm trong toán học Hy Lạp (mà chắc hẳn đã tiếp nhận nó

$^1$ Xem ([311], tập IV đến VI), cũng như [185] và [106], tập III. $^2$ Hầu hết các nền văn minh cổ đại (Ai Cập, Babylon, Ấn Độ, Trung Quốc) dường như đã độc lập đạt tới những mệnh đề bao hàm một số trường hợp riêng của “định lý Pythagore”, và người Hindu thậm chí còn có ý tưởng về các nguyên lý chứng minh định lý này, hoàn toàn phân biệt với những nguyên lý tìm thấy ở Euclid (người đưa ra hai chứng minh cho nó, một trong số đó từ người Babylon, được chuyển sang việc sử dụng các góc nhờ kinh nghiệm thiên văn lâu dài của họ). Người ta biết rằng trong thời kỳ cổ điển, chỉ những góc nhỏ hơn 2 góc vuông được định nghĩa (”định nghĩa” của Euclid vốn đã mơ hồ và không thể sử dụng như những định nghĩa mà ông đưa ra về đường thẳng và mặt phẳng); khái niệm hướng không được nêu ra, mặc dù Euclid sử dụng (không có tiên đề hay định nghĩa) sự kiện rằng một đường thẳng chia mặt phẳng thành hai miền, mà ông phân biệt cẩn thận khi cần thiết.$^3$ Ở giai đoạn này, ý tưởng về nhóm các phép quay mặt phẳng chỉ xuất hiện một cách rất không hoàn chỉnh, bằng phép cộng (cũng được Euclid đưa vào mà không giải thích) của các góc không có hướng của các nửa đường thẳng, phép cộng này về nguyên tắc chỉ được định nghĩa khi tổng không vượt quá hai góc vuông.$^4$ Còn về lượng giác, nó bị các nhà hình học xem nhẹ và giao lại cho các nhà trắc địa và thiên văn học; chính những người sau này (Aristarchus, Hipparchus, đặc biệt là Ptolemy [255]) đã thiết lập các hệ thức cơ bản giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông (phẳng hoặc cầu) và lập nên các bảng đầu tiên (chúng gồm các bảng cho dây cung của cung tròn bị cắt bởi một góc $\theta < \pi$ trên một đường tròn bán kính $r$, nói cách khác là số $2r \sin \frac{\theta}{2}$; việc đưa vào hàm sin, dễ sử dụng hơn, là do các nhà toán học Hindu thời Trung cổ); trong việc tính các bảng này, công thức cộng các cung, chưa được biết vào thời đó, được thay thế bằng việc sử dụng tương đương định lý Ptolemy (có lẽ bắt nguồn từ Hipparchus)

$^3$ Khái niệm góc có hướng với các biến thể khác nhau của nó (góc giữa các đường thẳng, góc giữa các nửa đường thẳng) chỉ xuất hiện khá muộn. Trong hình học giải tích, Euler ([108 a], (1), tập IX, tr. 217-239 và 305-307) đưa vào các tọa độ cực, và quan niệm hiện đại về một góc (được đo bằng radian) nhận các giá trị tùy ý (dương hoặc âm). L. Carnot [51] khởi đầu khuynh hướng sẽ đối lập, trong suốt thế kỷ XIX, hình học “tổng hợp” với hình học giải tích; khi tìm cách phát triển hình học thứ nhất một cách độc lập nhất có thể, ông được dẫn đến việc, để tránh “trường hợp của hình” của các nhà hình học cổ đại, đưa vào một cách có hệ thống các đại lượng có hướng, độ dài và góc; đáng tiếc là công trình của ông bị làm phức tạp đáng kể bởi thành kiến chống lại việc sử dụng các số âm (mà ông cho là mâu thuẫn!) và việc thay thế chúng bằng một hệ “tương ứng dấu” khó quản lý giữa các hình khác nhau. Ta phải chờ đến Möbius ([223], tập II, tr. 1-54) để khái niệm góc có hướng được đưa vào các lập luận của hình học tổng hợp; tuy nhiên, cũng giống như những người kế tục ông cho đến những thời kỳ rất gần đây, ông chỉ biết đưa hướng vào bằng cách trực tiếp viện dẫn trực giác không gian (một quy tắc được gọi là “của ông Ampère”); chỉ với sự phát triển của hình học $n$-chiều và tôpô đại số mà cuối cùng người ta mới đạt được một định nghĩa chặt chẽ về “không gian định hướng được”.

$^4$ Tuy nhiên, người ta vẫn tìm thấy ở Euclid ít nhất hai đoạn trong đó ông nói về các góc mà "tổng" có thể vượt quá 2 góc vuông, cụ thể là các bất đẳng thức thỏa mãn bởi các mặt của một tam diện (Elements, Book XI, prop. 20 and 21) (không kể đến "lập luận" liên quan đến "đo" các góc, chắc hẳn là một sự nội suy (cf. p. 164)); trong hai đoạn này, dường như Euclid do đó bị trực giác cuốn đi vượt quá những gì được cho phép bởi chính các định nghĩa của ông. Những người kế tục ông còn ít thận trọng hơn nữa, và Proclus, chẳng hạn, (thế kỷ V sau J.C.) không ngần ngại phát biểu một "định lý" tổng quát cho tổng các góc của một đa giác lồi ([153 e], v. I, p. 322).

về các tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Cũng cần lưu ý rằng Euclid và Hero đưa ra các mệnh đề tương đương với công thức

giữa các cạnh và các góc của một tam giác phẳng tùy ý; nhưng khó có thể thấy ở đó sự xuất hiện đầu tiên của khái niệm dạng song tuyến tính liên kết với một dạng metric, do thiếu ý tưởng về một phép tính vectơ mà chỉ xuất hiện vào thế kỷ XIX.

Các phép dời (hay các chuyển động, sự phân biệt giữa hai khái niệm này không rõ ràng trong thời cổ đại — và thậm chí còn lâu về sau nữa) đã được Euclid biết đến; nhưng, vì những lý do mà chúng ta không biết, dường như ông cảm thấy một sự ác cảm rõ rệt đối với việc sử dụng nó (chẳng hạn trong "trường hợp bằng nhau của các tam giác", nơi người ta có ấn tượng rằng ông chỉ sử dụng khái niệm phép dời vì ông đã không thể phát biểu một tiên đề thích hợp ([153 e], v. I, pp. 225-227 and 249)); tuy nhiên, chính đến khái niệm phép dời (phép quay quanh một trục) mà ông viện đến để định nghĩa các nón tròn xoay và các mặt cầu (Elements, Book XI, def. 14 and 18), cũng như Archimedes đối với việc định nghĩa các mặt bậc hai tròn xoay. Nhưng ý tưởng tổng quát về một phép biến đổi, được áp dụng cho toàn bộ không gian, ít nhiều vẫn là một điều xa lạ với tư duy toán học trước cuối thế kỷ XVIII;$^5$ và trước thế kỷ XVII, người ta cũng không tìm thấy dấu vết nào của khái niệm hợp thành các chuyển động, cũng như $a fortiori$ của hợp thành các phép dời. Điều đó dĩ nhiên không có nghĩa là người Hy Lạp không đặc biệt nhận thức được các "tính chính quy" và "tính đối xứng" của các hình, những điều mà ngày nay chúng ta gắn với khái niệm các nhóm phép dời: lý thuyết của họ về các đa giác chính quy, và còn hơn nữa là về các đa diện chính quy — một trong những chương đáng chú ý nhất của toàn bộ toán học của họ — là bằng chứng cho điều ngược lại.$^6$

Cuối cùng, đóng góp cốt yếu cuối cùng của toán học Hy Lạp, trong lĩnh vực liên quan đến chúng ta, là lý thuyết về các đường conic (đối với các mặt bậc hai, người Hy Lạp chỉ biết một số mặt bậc hai tròn xoay, và không nghiên cứu chúng thật sâu, ngoại trừ mặt cầu). Điều đáng chú ý ở đây là, mặc dù người Hy Lạp chưa bao giờ có ý tưởng về nguyên lý cơ bản của hình học giải tích (chủ yếu vì thiếu một đại số có thể sử dụng được),

$^5$ Người ta khó có thể nêu làm ví dụ về một khái niệm như vậy ngoài các "phép chiếu" của các nhà bản đồ học và các họa sĩ; phép chiếu lập thể đã được Ptolemy biết đến (và vào thế kỷ XVI người ta biết rằng nó bảo toàn các góc), và phép chiếu trung tâm đóng một vai trò chính trong công trình của Desargues [84]; nhưng ở đó là vấn đề về sự tương ứng giữa toàn bộ không gian (hoặc một mặt) và một mặt phẳng. Một trong các tính chất của phép nghịch đảo, mà ngày nay chúng ta biểu diễn bằng cách nói rằng biến đổi của một đường tròn là một đường tròn hoặc một đường thẳng, về cơ bản đã được Viète biết đến, và được ông sử dụng trong các bài toán liên quan đến phép dựng các đường tròn; nhưng cả ông, lẫn Fermat, người mở rộng các phép dựng của mình đến các mặt cầu, đều không có ý tưởng đưa phép nghịch đảo vào như một phép biến đổi của mặt phẳng hoặc không gian.

$^6$ Xem về điều đó [291], trong đó cũng sẽ tìm thấy những nhận xét thú vị về các mối liên hệ giữa lý thuyết các nhóm phép dời và các loại hoa văn khác nhau do các nền văn minh thời Cổ đại và Trung Cổ nghĩ ra.

họ thường sử dụng, để nghiên cứu các "hình" riêng biệt, các "tọa độ" liên quan đến hai (hoặc thậm chí nhiều hơn hai) trục trong mặt phẳng (gắn chặt với hình, đây là một trong những điểm cơ bản làm phương pháp của họ khác với phương pháp của Fermat và Descartes, mà các trục được cố định độc lập với hình đang xét). Đặc biệt, các ví dụ đầu tiên về các đường conic (khác với đường tròn) xuất hiện liên quan đến bài toán nhân đôi lập phương, là các đường cong được cho bởi các phương trình $y^2 = ax, y = bx^2, xy = c$ (Menechme, một học trò của Eudoxus, giữa thế kỷ IV);$^7$ và chính phương trình của các đường conic (thông thường với tham chiếu đến hai trục xiên tạo bởi một đường kính và tiếp tuyến tại một trong các điểm tiếp xúc của nó với đường cong) được sử dụng thường xuyên nhất trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến các đường cong này (trong khi các tính chất "tiêu điểm" chỉ đóng một vai trò rất mờ nhạt, trái với điều mà các truyền thống học thuật chỉ bắt đầu từ thế kỷ XIX khiến chúng ta tin). Từ lý thuyết rộng lớn này, ở đây trước hết chúng ta phải ghi nhớ khái niệm các đường kính liên hợp (đã được Archimedes biết đến), và tính chất ngày nay dùng làm định nghĩa của cực của một điểm, được Apollonius [153 b] đưa ra khi điểm đó nằm ngoài đường conic (đường cực do đó đối với ông là đường thẳng nối các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến xuất phát từ điểm này); từ quan điểm của chúng ta, đây là hai ví dụ về "tính trực giao" đối với một dạng toàn phương phân biệt với dạng metric, nhưng hiển nhiên rằng mối liên hệ giữa các khái niệm này và khái niệm cổ điển về các đường vuông góc không thể nào được hình dung vào thời đó.

Hoạt động bất thường đã được phát hiện từ thiết bị của bạn. Vui lòng thử lại sau. (c8af837a-fff2-465d-8a5b-b3281778a95d)

Đối với hai khái niệm mà, trong số những người Hy Lạp, đã thay thế cho lý thuyết về các phép dời hình — khái niệm về chuyển động và khái niệm về “đối xứng” của một hình — vừa được thêm vào một khái niệm thứ ba trong các thế kỷ XVII và XVIII với bài toán về sự thay đổi các trục chữ nhật, về cơ bản tương đương với lý thuyết này. Euler dành nhiều công trình cho vấn đề này, trước hết coi trọng việc thu được các biểu diễn tham số có thể xử lý được đối với các công thức đổi trục. Người ta biết Cơ học sẽ sử dụng như thế nào ba góc mà ông đưa vào cho mục đích này với $n = .3$ ([108 a], (1), v. IX, pp. 371-378). Nhưng ông không chỉ dừng lại ở đó, xét vào năm 1770 bài toán tổng quát về các biến đổi trực giao đối với $n$ tùy ý, nhận xét rằng mục tiêu đạt được ở đây bằng cách đưa vào $n(n-1)/2$ góc làm tham số, và cuối cùng, đối với $n = 3$ và $n = 4$, đưa ra cho các phép quay các biểu diễn hữu tỉ (như một hàm, tương ứng, của 4 tham số thuần nhất và của 8 tham số thuần nhất liên kết bởi một quan hệ), không gì khác ngoài các biểu diễn thu được về sau bằng lý thuyết các quaternion, và ông không chỉ ra nguồn gốc của chúng ([108 a], (1), v. VI, pp. 287-315).

Mặt khác, Euler cũng chỉ ra cách dịch một cách giải tích việc tìm kiếm các “đối xứng” của các hình phẳng, và chính vì mục đích này mà ông được dẫn đến việc chứng minh, về cơ bản, rằng một phép dời hình phẳng là một phép quay, hoặc một phép tịnh tiến, hoặc một phép tịnh tiến tiếp theo sau bởi một phép đối xứng ([108 a], (1), v. IX, pp. 197-199). Sự phát triển của Cơ học vào thời điểm này ngoài ra còn dẫn đến việc nghiên cứu tổng quát các phép dời hình: nhưng trước hết chỉ là vấn đề về các phép dời hình “vô hạn nhỏ” tiếp xúc với các chuyển động liên tục: dường như chúng là những phép duy nhất xuất hiện trong các nghiên cứu của Torricelli, Roberval và Descartes về hợp thành các chuyển động và tâm quay tức thời đối với các chuyển động phẳng (xem p. 177). Khái niệm sau này được Johann Bernoulli định nghĩa một cách tổng quát; d'Alembert vào năm 1749, Euler vào năm sau, mở rộng khái niệm này bằng cách chứng minh sự tồn tại của một trục quay tức thời đối với các chuyển động giữ cố định một điểm. Định lý tương tự đối với các phép dời hình hữu hạn chỉ được Euler phát biểu vào năm 1775 [108 b], trong một hồi ký mà trong đó ông phát hiện đồng thời rằng

12 Nó cũng liên quan đến nghiên cứu này mà Gauss đã định nghĩa nghịch đảo của một dạng toàn phương ([124 a], v. I, p. 301) và thu được điều kiện về tính dương đối với một dạng như vậy bằng cách đưa vào một dãy các định thức con chính của biệt thức (ibid., pp. 305-307). 13 Euler ngoài ra không đưa ra công thức về hợp thành các phép quay được biểu diễn bằng các tham số này; đối với $n = 3$, nó không được tìm thấy trước một chú ý của Gauss (không được công bố trong suốt cuộc đời ông ([124 a], v. VIII, pp. 357-362)) và công trình của Olinde Rodrigues năm 1840, người tìm thấy biểu diễn tham số của Euler, gần như đã bị rơi vào quên lãng vào thời điểm đó.

9. DẠNG TOÀN PHƯƠNG; HÌNH HỌC SƠ CẤP.

định thức của một phép quay bằng 1; năm sau, ông chứng minh sự tồn tại của một điểm cố định đối với các phép đồng dạng phẳng ([108 a], (1), v. XXVI, pp. 276-285). Nhưng phải chờ đến công trình của Chasles, bắt đầu từ năm 1830 [60 a], để cuối cùng thu được một lý thuyết nhất quán về các phép dời hình hữu hạn và vô hạn nhỏ.

Do đó chúng ta đi đến điều có thể gọi là thời kỳ hoàng kim của hình học, nằm một cách đại khái giữa các ngày công bố Géométrie descriptive của Monge (1795) [225] và “chương trình Erlangen” của F. Klein (1872) ([182], v. I, pp. 460-497). Những tiến bộ cốt yếu mà chúng ta có được nhờ sự đổi mới đột ngột này của hình học là như sau:

A) Khái niệm về phần tử ở vô hạn (điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng), được Desargues đưa vào trong thế kỷ XVII [84], nhưng hầu như chỉ được diễn đạt trong thế kỷ XVIII ngoại trừ bằng sự lạm dụng ngôn ngữ, được Poncelet khôi phục và sử dụng một cách hệ thống [252], người nhờ đó biến không gian xạ ảnh thành khuôn khổ tổng quát của mọi hiện tượng hình học.

B) Đồng thời, với Monge và đặc biệt là Poncelet, sự chuyển sang hình học xạ ảnh phức được thực hiện. Khái niệm về điểm ảo, được sử dụng rải rác trong thế kỷ XVIII, ở đây được khai thác (đồng thời với khái niệm điểm ở vô hạn) để đưa ra các phát biểu độc lập với “trường hợp của hình” của hình học afin thực. Nếu lúc đầu những biện minh được đưa ra để ủng hộ các đổi mới này vẫn còn rất vụng về (đặc biệt là những biện minh đến từ các thành viên của trường phái hình học “tổng hợp”, nơi việc sử dụng tọa độ cuối cùng bị xem như một điều đáng hổ thẹn), thì điều không thể không nhận ra là ở đó, dưới tên gọi “nguyên lý các quan hệ tùy thuộc” ở Monge, hoặc “nguyên lý liên tục” ở Poncelet, có mầm mống đầu tiên của ý tưởng “chuyên biệt hóa” của hình học đại số hiện đại.14

Một trong những kết quả đầu tiên tiếp nối từ các khái niệm này là nhận xét rằng, trong không gian xạ ảnh phức, tất cả các đường conic (tương ứng là các mặt bậc hai) không suy biến đều cùng một loại; điều này đưa Poncelet đến việc phát hiện ra các phần tử “đẳng hướng”: “Các đường tròn được đặt tùy ý trên một mặt phẳng”, ông nói, “do đó không hoàn toàn độc lập với nhau, như thoạt nhìn có thể nghĩ, chúng có chung một cách lý tưởng hai điểm ảo ở vô hạn” ([252], v. I, p. 48). Sau đó, ông đưa vào theo cùng cách “umbilical”, một đường conic ảo ở vô hạn chung cho tất cả các mặt cầu ([252], v. I, p. 370); và nếu ông không nói riêng về các đường sinh đẳng hướng của mặt cầu, thì ít nhất ông cũng nhấn mạnh một cách tường minh sự tồn tại của các đường sinh thẳng, thực hoặc ảo, đối với mọi mặt bậc hai (ibid., p. 371);15 những khái niệm mà các môn đệ của ông (đáng chú ý là

14 Những “nguyên lý” này dĩ nhiên được biện minh (như Cauchy đã nhận xét trước đó) bởi việc áp dụng nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức đại số, do sự kiện rằng các hình học “tổng hợp” chỉ luôn luôn xét những tính chất mà về mặt giải tích chuyển thành các đồng nhất thức có bản chất này. 15 Sự đề cập đầu tiên đến các đường sinh thẳng của các mặt bậc hai dường như thuộc về Wren (1669), người nhận xét rằng hyperboloid một tầng tròn xoay có thể được sinh bởi các

Plücker và Chasles), thậm chí còn hơn cả ông, sử dụng rất nhiều, đặc biệt trong việc nghiên cứu các tính chất "tiêu điểm" của các đường conic và các mặt bậc hai.

C) Các khái niệm về biến đổi điểm và về hợp thành của các biến đổi cũng được phát biểu theo một cách tổng quát và được đưa vào một cách có hệ thống như những phương tiện của chứng minh. Ngoài các phép dời hình và các phép chiếu, cho đến thời điểm đó người ta chỉ biết một số biến đổi riêng biệt: một số biến đổi xạ ảnh phẳng kiểu $x' = a/x, y' = y/x$, được La Hire và Newton sử dụng, phép "afin" $x' = ax, y' = by$ của Clairaut và Euler ([108 a], (1), v. IX, chap. XVIII), và cuối cùng là một vài biến đổi bậc hai riêng biệt, với Newton một lần nữa, Maclaurin và Braikenridge. Monge, trong Géométrie descriptive của mình, cho thấy tất cả công dụng có thể thực hiện được của các phép chiếu phẳng trong hình học không gian 3 chiều. Với Poncelet, một trong những phương pháp có hệ thống để chứng minh, được sử dụng đến mức dư thừa, bao gồm việc giảm bằng phép chiếu các tính chất của đường conic về các tính chất của đường tròn (một phương pháp đôi khi đã được Descartes và Pascal sử dụng); và để đi từ một mặt bậc hai đến một mặt cầu, ông đưa ra ví dụ đầu tiên về một biến đổi xạ ảnh của không gian, "đồng dạng" ([252], v. I, p. 357); cuối cùng chính ông cũng là người đưa ra những ví dụ đầu tiên về các biến đổi song hữu tỉ của một đường cong vào chính nó. Năm 1827, Möbius ([223], v. I, p. 217) (và độc lập với ông, Chasles năm 1830 ([60 b], p. 695)), định nghĩa các biến đổi xạ ảnh tuyến tính tổng quát nhất; đồng thời xuất hiện phép nghịch đảo và các kiểu biến đổi bậc hai khác, mà việc nghiên cứu chúng sẽ khai sinh lý thuyết các biến đổi song hữu tỉ, lý thuyết này sẽ phát triển trong nửa sau của thế kỷ XIX.

D) Khái niệm đối ngẫu xuất hiện hoàn toàn công khai và được nhận thấy một cách có ý thức là gắn liền với lý thuyết các dạng song tuyến tính. Lý thuyết về các cực và đường cực đối với các đường conic, vốn từ thời Apollonius chỉ có một số tiến bộ với Desargues và La Hire, được Monge mở rộng sang các mặt bậc hai; ông, cũng như các học trò của mình, thấy được khả năng biến đổi bằng phương tiện này các định lý đã biết thành những kết quả mới.$^{16}$ Nhưng một lần nữa chính Poncelet là người được ghi công vì đã xây dựng những nhận xét này thành một phương pháp tổng quát trong lý thuyết các biến đổi "bởi các cực đối ứng", và đã biến nó thành một công cụ khám phá đặc biệt hiệu quả. Ít lâu sau đó, đặc biệt với Gergonne, Plücker, Möbius và Chasles, khái niệm tổng quát về đối ngẫu tự giải phóng khỏi mối liên hệ với các dạng bậc hai, mối liên hệ vẫn còn quá chặt chẽ với Poncelet. Đặc biệt, Möbius, khi khảo sát các khả năng khác nhau của đối ngẫu trong không gian 3 chiều (được xác định bởi một dạng song tuyến tính), đã phát hiện năm 1833 đối ngẫu đối với một dạng song tuyến tính phản xứng ([223], v. I, pp. 489-515),$^{17}$ được nghiên cứu đặc biệt, trong thế kỷ XIX, dưới dạng lý thuyết về các "phức tuyến tính" và được phát triển liên quan đến

sự quay của một đường thẳng quanh một trục không nằm trong cùng một mặt phẳng; nhưng việc nghiên cứu chúng chỉ được phát triển bởi Monge và trường phái của ông. $^{16}$ Được biết đến nhiều nhất là định lý Brianchon (1810), một biến đổi của định lý Pascal bởi đối ngẫu. $^{17}$ Năm 1828, Giorgini đã gặp tính cực đối với một dạng phản xứng, liên quan đến một bài toán tĩnh học [128].

"hình học các đường thẳng" và các "tọa độ Plücker" được Cayley, Grassmann và Plücker đưa vào khoảng năm 1860.

E) Từ những khởi đầu của hình học xạ ảnh, việc nghiên cứu sâu rộng các tính chất của hình học cổ điển trong các quan hệ của chúng với không gian xạ ảnh đã nhanh chóng dẫn đến việc chia chúng thành "các tính chất xạ ảnh" và "các tính chất mêtric"; và chắc chắn không phải là quá đáng khi thấy trong sự phân chia này một trong những biểu hiện rõ ràng nhất, vào thời điểm đó, của điều sẽ trở thành khái niệm hiện đại về cấu trúc. Nhưng Poncelet, người đầu tiên đưa vào sự phân biệt này và thuật ngữ này, đã ý thức được điều liên kết hai kiểu tính chất này; và, khi đề cập trong Traité đến các bài toán liên quan đến góc, mà các tính chất của chúng "dường như không thuộc về những tính chất mà chúng ta đã gọi là xạ ảnh ..., tuy nhiên chúng vẫn tiếp nối theo một cách đơn giản như vậy", ông nói, "từ các nguyên lý tạo thành cơ sở [của công trình này] ..., đến nỗi tôi không tin rằng bất kỳ lý thuyết hình học nào khác có thể dẫn đến nó theo một cách vừa trực tiếp hơn vừa đơn giản hơn. Điều đó sẽ không đáng ngạc nhiên, nếu người ta xét rằng các tính chất xạ ảnh của các hình nhất thiết là những tính chất tổng quát nhất trong số những tính chất có thể thuộc về chúng; theo cách mà chúng phải bao hàm, như những hệ quả đơn giản, tất cả các tính chất khác hoặc các quan hệ riêng biệt của diện tích" ([252], v. I, p. 248). Thực ra, sau tuyên bố này, hơi đáng ngạc nhiên khi thấy ông tiếp cận các vấn đề về góc theo một cách rất vòng vèo, bằng cách liên kết chúng với các tính chất tiêu điểm của các đường conic, thay vì đưa trực tiếp vào các điểm vòng; và trên thực tế, chỉ 30 năm sau Laguerre (vẫn còn là học trò tại École Polytechnique) mới đưa ra biểu thức của một góc vuông bằng tỷ số kép của các đường thẳng này và các đường thẳng đẳng hướng có cùng gốc ([192], v. II, p. 13). Cuối cùng, với Cayley ([58], v. II, pp. 561-592), ý tưởng cơ bản rằng các tính chất "mêtric" của một hình phẳng chẳng là gì khác ngoài các tính chất "xạ ảnh" của hình đó được mở rộng bởi các điểm vòng trở nên được phát biểu rõ ràng — một chặng đường quyết định hướng tới "chương trình Erlangen".

F) Hình học hypebol phi Euclid, sẽ được biết đến vào khoảng năm 1830, lúc đầu vẫn hơi tách biệt khỏi phong trào mà chúng ta đang theo dõi những nét chính. Nảy sinh từ những mối quan tâm về một trật tự lôgic cơ bản liên quan đến các nền tảng của hình học cổ điển, hình học mới này được những người sáng lập$^{18}$ của nó trình bày dưới cùng dạng tiên đề và "tổng hợp" như hình học Euclid, và không có bất kỳ mối liên hệ nào với hình học xạ ảnh (mà sự đưa vào theo mô hình cổ điển dường như thậm chí bị loại trừ tiên nghiệm, vì khái niệm song song duy nhất biến mất trong hình học này); chắc hẳn chính vì vậy mà trong một thời gian dài nó hầu như không thu hút bất kỳ sự quan tâm nào từ các trường phái hình học xạ ảnh Pháp, Đức hoặc Anh. Ngoài ra, khi Cayley, trong hồi ký cơ bản đã được trích dẫn trước đây ([58], tập II, tr. 561-

$^{18}$ Người ta biết rằng Gauss, từ năm 1816, đã tự thuyết phục mình về tính bất khả chứng minh của tiên đề Euclid, và về khả năng lôgic của việc xây dựng một hình học trong đó tiên đề này không đúng. Nhưng ông đã không công bố các kết quả của mình về vấn đề này, và chúng được Lobatschevsky năm 1829 và Bolyai năm 1832 tìm lại một cách độc lập. Để biết thêm chi tiết, xem [105 a và b].

592) có ý tưởng thay thế các điểm chu kỳ (được xem như một đường conic "suy biến tiếp xúc") bằng một đường conic tùy ý (mà ông gọi là "tuyệt đối"), ông hoàn toàn không nghĩ đến việc liên kết ý tưởng này với hình học của Lobatschevsky-Bolyai, mặc dù ông chỉ ra rằng quan niệm của mình dẫn đến những biểu thức mới cho "khoảng cách" giữa hai điểm, và ông đề cập đến các liên hệ của nó với hình học cầu. Tình hình thay đổi vào khoảng năm 1870, khi các hình học phi Euclid, sau sự phổ biến các công trình của Lobatschevsky, và việc xuất bản các công trình của Gauss cùng bài giảng khai mạc của Riemann, trở thành trung tâm của các tin tức toán học. Theo con đường do Riemann vạch ra, Beltrami, không biết đến công trình của Cayley, tìm lại vào năm 1868 các biểu thức về khoảng cách do người sau đã cho, nhưng trong một bối cảnh hoàn toàn khác, bằng cách xem phần bên trong của một đường tròn như ảnh của một mặt có độ cong hằng, trong đó các đường trắc địa được biểu diễn bởi các đường thẳng [18 a]; chính Klein, hai năm sau, (độc lập với Beltrami) đã tổng hợp các quan điểm khác nhau này, và hoàn thiện nó bằng việc phát hiện không gian phi Euclid elliptic ([182], tập I, tr. 254-305).19

G) Trong nửa sau của thời kỳ mà chúng ta đang xét ở đây, xen vào một giai đoạn suy tư phê phán, trong đó những người ủng hộ hình học "tổng hợp", không bằng lòng với việc đã loại bỏ tọa độ khỏi các chứng minh của mình, còn muốn không dùng đến các số thực ngay cả trong các tiên đề của họ về hình học. Đại diện chính của trường phái này là von Staudt, người về cơ bản đã thực hiện được kỳ công này [325], rất được ngưỡng mộ vào thời của ông và thậm chí cho đến tận thế kỷ XX; và nếu ngày nay người ta không còn gán cùng tầm quan trọng cho những ý tưởng thuộc loại này, mà các khả năng áp dụng hữu ích của chúng được nhận thấy là khá hạn chế, thì dù vậy vẫn phải thừa nhận rằng những nỗ lực của von Staudt và các môn đệ của ông đã góp phần làm sáng tỏ vai trò của các "vô hướng" thực hoặc phức trong hình học cổ điển, và bằng chính cách đó đã đưa vào quan niệm hiện đại về các hình học trên một trường cơ sở tùy ý.

Khoảng năm 1860, hình học "tổng hợp" đạt đến đỉnh cao, nhưng sự kết thúc triều đại của nó đang đến rất nhanh. Sau khi vẫn còn nặng nề và thiếu duyên dáng trong suốt thế kỷ XVIII, hình học giải tích, dưới bàn tay của Lamé, Bobillier, Cauchy, Plücker và Möbius, cuối cùng đạt được sự thanh nhã và tính cô đọng cho phép nó cạnh tranh trên những điều kiện bằng nhau với đối thủ của mình. Đặc biệt, sau khoảng năm 1850, các ý tưởng về nhóm và bất biến, cuối cùng được phát biểu một cách chính xác, dần dần xâm nhập vào sân khấu, và người ta thấy rằng các định lý của hình học cổ điển chẳng qua chỉ là sự biểu diễn của các quan hệ đồng nhất giữa các bất biến hoặc hiệp biến của nhóm các phép đồng dạng,20 cũng như các định lý của hình học xạ ảnh biểu diễn các đẳng thức (hay

19 Ví dụ về hình học cầu trong một thời gian đã dẫn đến niềm tin rằng, trong một không gian có độ cong dương hằng, luôn tồn tại các cặp điểm mà qua chúng có nhiều hơn một đường trắc địa đi qua. 20 Chẳng hạn, các thành phần đầu tiên của các phương trình của ba đường cao của một tam giác là các hiệp biến của ba đỉnh của tam giác đối với nhóm các phép đồng dạng, và định lý khẳng định rằng ba đường cao này có một điểm chung tương đương với việc nói rằng ba hiệp biến đang xét phụ thuộc tuyến tính.

"syzygy") giữa các hiệp biến của nhóm xạ ảnh. Chính luận đề này được F. Klein trình bày một cách tài tình trong "chương trình Erlangen" nổi tiếng ([182], tập I, tr. 460-497), nơi ông chủ trương từ bỏ những tranh luận vô bổ giữa khuynh hướng "tổng hợp" và khuynh hướng "giải tích"; nếu, ông nói, lời buộc tội nhằm vào khuynh hướng sau này rằng nó dành một vai trò đặc quyền cho một hệ trục tùy ý "thường là đúng khi xét đến cách thức khiếm khuyết mà phương pháp tọa độ trước đây đã được sử dụng, thì nó thất bại khi đây là một sự áp dụng hợp lý của phương pháp này ... Lĩnh vực trực giác không gian không bị cấm đoán bởi phương pháp giải tích ...", và ông nhấn mạnh rằng "không được đánh giá thấp lợi ích mà một hình thức luận thích nghi tốt mang lại cho nghiên cứu tiếp theo, ở chỗ nó đi trước, có thể nói như vậy, tư duy" (loc. cit., tr. 488-490).

Người ta đi đến như vậy một sự phân loại hợp lý và "cấu trúc" các định lý của "hình học" theo nhóm mà từ đó chúng phát sinh: nhóm tuyến tính đối với hình học xạ ảnh, nhóm trực giao đối với các vấn đề mêtric, nhóm symplectic đối với hình học "phức tuyến tính". Nhưng dưới sự sáng tỏ không khoan nhượng này, hình học cổ điển — ngoại trừ hình học đại số và hình học vi phân,$^{21}$ từ nay được cấu thành như những khoa học tự trị — bỗng bùng lên và mất đi toàn bộ vẻ rực rỡ của nó. Ngay từ trước đó, sự tổng quát hóa các phương pháp dựa trên việc sử dụng các phép biến đổi đã khiến sự phát triển của các định lý mới trở nên phần nào máy móc: "Ngày nay,", Chasles nói năm 1837 trong Aperçu historique của ông, "mọi người đều có thể tự mình tiến lên, lấy một chân lý đã biết tùy ý, và áp dụng nó vào các nguyên lý biến đổi tổng quát khác nhau; người ấy sẽ rút ra những chân lý khác, khác biệt hoặc tổng quát hơn; và những chân lý này sẽ có thể chịu những phép toán tương tự; do đó người ta sẽ có thể nhân lên, gần như đến vô hạn, số các chân lý mới suy ra từ chân lý đầu tiên ... Vì vậy bất kỳ ai muốn, trong tình trạng hiện tại của khoa học, đều có thể tổng quát hóa và sáng tạo trong Hình học; thiên tài không còn là điều không thể thiếu để thêm một viên đá vào cấu trúc" ([60 b], tr. 268-269). Nhưng tình hình trở nên rõ ràng hơn nhiều với sự tiến bộ trong lý thuyết các bất biến, lý thuyết cuối cùng đã thành công (ít nhất đối với các nhóm "cổ điển") trong việc xây dựng những phương pháp tổng quát cho phép, về nguyên tắc, viết ra tất cả các hiệp biến đại số và tất cả các "syzygy" của chúng một cách hoàn toàn tự động; một thắng lợi đồng thời báo hiệu cái chết, với tư cách là một lĩnh vực nghiên cứu, của chính lý thuyết cổ điển về các bất biến, và của hình học "sơ cấp",$^{22}$ vốn trên thực tế đã trở thành một từ điển đơn giản cho nó. Không nghi ngờ gì, không gì

$^{21}$ Ở đây chúng ta không nên viết lịch sử của hai ngành này cũng như không nên khảo sát chi tiết ảnh hưởng của "chương trình Erlangen" đối với sự phát triển tiếp theo của chúng. Chỉ cần nhắc rằng hình học đại số, sau hơn 100 năm nghiên cứu, được nghiên cứu tích cực hơn bao giờ hết; còn đối với hình học vi phân, sau một sự nở rộ rực rỡ với Lie, Darboux và các môn đệ của họ, nó dường như bị đe dọa bởi sự tê liệt giống như hình học cổ điển sơ cấp, khi các công trình đương đại (trước hết bắt nguồn từ những ý tưởng của E. Cartan) về các không gian phân thớ và các bài toán "toàn cục" đã đem lại cho nó sức sống.

$^{22}$ Từ này ở đây được dùng theo nghĩa của Klein, được làm rõ trên p. 135; một số nhà toán học cho nó một nghĩa rộng hơn nhiều, bao gồm tất cả các câu hỏi toán học có thể được phát biểu về mặt phẳng hoặc không gian ba chiều, bao gồm cả những vấn đề khó liên quan đến lý thuyết các tập lồi, tôpô và lý thuyết độ đo. Dĩ nhiên, ở đây không có vấn đề nào trong số các vấn đề này.

cho phép dự kiến $a$ priori, giữa vô hạn các "định lý" có thể được triển khai tùy ý như vậy, xem định lý nào sẽ là những định lý mà mệnh đề của chúng, trong ngôn ngữ hình học thích hợp, sẽ có một sự đơn giản và một vẻ thanh nhã tương đương với những kết quả cổ điển, và vẫn còn ở đó một lĩnh vực hạn chế nơi nhiều người nghiệp dư tiếp tục làm việc với niềm vui (hình học của tam giác, tứ diện, các đường cong và mặt đại số có bậc thấp, v.v.). Nhưng đối với nhà toán học chuyên nghiệp, mỏ này đã được khai thác hết, vì ở đó không còn những vấn đề cấu trúc, có khả năng vang vọng lên những phần khác của toán học; và chương này của lý thuyết các nhóm và các bất biến có thể được xem là đóng lại cho đến khi có thông báo mới.$^{23}$

Như vậy, sau chương trình Erlangen, các hình học Euclid và phi Euclid, từ quan điểm đại số thuần túy, đã trở thành những ngôn ngữ đơn giản, ít nhiều thuận tiện, để biểu đạt các kết quả của lý thuyết các dạng song tuyến tính, mà sự tiến bộ của nó song song với sự tiến bộ của lý thuyết các bất biến.$^{24}$ Tất cả những gì liên quan đến khái niệm hạng của một dạng song tuyến tính và các mối quan hệ giữa các dạng này với các phép biến đổi tuyến tính đều được làm sáng tỏ một cách dứt khoát bởi các công trình của Frobenius ([119], t. I, tr. 343-405). Cũng nhờ Frobenius mà ta có biểu thức chính tắc của một dạng phản xạ trên một $\mathbf{Z}$-môđun tự do ([119], t. I, tr. 482-544); tuy nhiên, định thức đối xứng trái đã xuất hiện trước đó với Pfaff, vào đầu thế kỷ, liên quan đến việc đưa các dạng vi phân về một dạng chuẩn; Jacobi, người năm 1827 tiếp tục lại bài toán này ([171], t. IV, tr. 17-29), biết rằng một định thức đối xứng trái có cấp lẻ là không, và chính ông đã xây dựng biểu thức của pfaffian và chỉ ra rằng nó là một nhân tử của định thức đối xứng trái có cấp chẵn; nhưng ông đã không nhận ra rằng định thức sau này là bình phương của pfaffian, và điểm này chỉ được Cayley thiết lập vào năm 1849 ([58], t. I, tr. 410-413). Khái niệm dạng song tuyến tính đối xứng liên kết với một dạng toàn phương là trường hợp sơ cấp nhất của quá trình "phân cực", một trong những công cụ cơ bản của lý thuyết các bất biến. Dưới tên gọi "tích vô hướng", khái niệm này sẽ có một sự phát triển to lớn, trước hết với những người phổ biến "phép tính vectơ", rồi, bắt đầu từ thế kỷ XX, nhờ sự tổng quát hóa không ngờ mà lý thuyết các không gian Hilbert đem lại cho nó (xem p. 212). Cũng chính lý thuyết sau này sẽ đưa ra ánh sáng khái niệm toán tử liên hợp (mà trước đó hầu như chỉ xuất hiện trong lý thuyết các phương trình vi phân tuyến tính

$^{23}$ Dĩ nhiên, sự suy tàn không thể tránh khỏi này của hình học (Euclid hoặc xạ ảnh), điều dường như hiển nhiên đối với chúng ta, tuy vậy trong một thời gian dài vẫn không được những người đương thời nhận thấy, và cho đến khoảng năm 1900, ngành này vẫn tiếp tục được xem là một nhánh quan trọng của toán học, như được chứng minh chẳng hạn bởi vị trí mà nó chiếm giữ trong Enzyklopädie; cho đến những năm gần đây, nó vẫn còn giữ một vị trí trong việc giảng dạy tại các Đại học.

$^{24}$ Đặc biệt, sự quan tâm gắn liền với hình học phi Euclid không đến từ khía cạnh đại số tầm thường này, mà thực sự đến từ mối quan hệ của nó với hình học vi phân và lý thuyết các hàm của các biến phức.

các phương trình, và, trong phép tính tenxơ, bởi điệu valse của các chỉ số hiệp biến và phản biến dưới sự chỉ huy của tenxơ mêtric); chính điều đó cuối cùng sẽ tạo nên toàn bộ đặc trưng cho khái niệm dạng Hermit được Hermite đưa vào lần đầu tiên năm 1853 liên quan đến nghiên cứu số học của ông ([159], v. I, p. 237), nhưng đã vẫn ở bên lề những dòng chảy lớn của toán học cho đến khoảng năm 1925 và những ứng dụng của các không gian Hilbert phức vào các lý thuyết lượng tử.

Việc nghiên cứu nhóm trực giao và nhóm đồng dạng — được hình dung và xử lý rõ ràng như vậy từ giữa thế kỷ XIX, và đã trở thành trung tâm của lý thuyết các dạng toàn phương — cũng như việc nghiên cứu các nhóm "cổ điển" khác (nhóm tuyến tính, nhóm symplectic và nhóm unita), mặt khác, ngày càng có tầm quan trọng lớn hơn. Ở đây chúng ta chỉ có thể đề cập đến vai trò cốt yếu do các nhóm này đảm nhiệm, một mặt, trong lý thuyết các nhóm Lie và hình học vi phân, mặt khác, trong lý thuyết số học của các dạng toàn phương (xem chẳng hạn [285] và [100]);25 chính nhờ hoàn cảnh này, cũng như nhờ sự mở rộng khái niệm đối ngẫu đến những vấn đề đa dạng nhất, mà có rất ít lý thuyết toán học hiện đại trong đó các dạng song tuyến tính không xuất hiện dưới dạng này hay dạng khác. Trong mọi trường hợp, cần chú ý rằng chính việc nghiên cứu các nhóm quay (trong ba chiều) đã dẫn Hamilton đến việc phát hiện ra các quaternion [145 a]; phát hiện này được W. Clifford tổng quát hóa, người vào năm 1876 đưa vào các đại số mang tên ông, và chứng minh rằng chúng là các tích tenxơ của các đại số quaternion, hoặc các đại số quaternion và một mở rộng bậc hai ([65], pp. 266-276). Được Lipschitz tìm lại bốn năm sau đó [205 b], người sử dụng chúng để đưa ra một biểu diễn tham số của các phép biến đổi trực giao trong $n$ biến (tổng quát hóa những phép biến đổi mà Cayley đã thu được cho $n = 3$ ([58], v. I, pp. 123-126) và $n = 4$ (v. II, pp. 202-215) bằng lý thuyết quaternion), các đại số này, và khái niệm "spinor" suy ra từ chúng ([52 b] và [62 a]), cũng sẽ rất thịnh hành trong thời hiện đại nhờ việc sử dụng chúng trong các lý thuyết lượng tử.

Cuối cùng, chúng ta còn phải nói một vài lời về sự tiến hóa của các ý tưởng đã dẫn đến việc từ bỏ gần như hoàn toàn mọi hạn chế đối với vành vô hướng trong lý thuyết các dạng nửa song tuyến tính — một xu hướng chung trong mọi đại số hiện đại, nhưng có lẽ đã biểu hiện ở đây sớm hơn những nơi khác. Chúng ta đã chỉ ra sự đưa vào đầy hiệu quả của hình học trên trường các số phức (mà hơn nữa, trong suốt toàn bộ thế kỷ XIX, không tránh khỏi một sự lẫn lộn thường xuyên và đôi khi nguy hiểm giữa hình học này và hình học thực); sự sáng tỏ ở đây đặc biệt đến từ các nghiên cứu tiên đề vào cuối thế kỷ XIX về các nền tảng của hình học [163 c]. Trong quá trình nghiên cứu này, Hilbert và những người theo ông, đặc biệt khi xem xét các quan hệ giữa các tiên đề khác nhau, đã được dẫn đến việc xây dựng các phản ví dụ thích hợp, trong đó "trường cơ sở" (giao hoán hoặc không) có những tính chất bệnh lý ít nhiều, và do đó họ đã làm cho các nhà toán học quen với những "hình học" thuộc một kiểu hoàn toàn mới. Từ quan điểm giải tích, Galois đã từng xét các biến đổi tuyến tính trong đó các hệ số và các biến nhận giá trị trong một trường nguyên tố hữu hạn ([123], p. 145); khi phát triển những ý tưởng này, Jordan [174 a] được dẫn dắt một cách tự nhiên đến việc xét các nhóm cổ điển trên các trường này, những nhóm mà sự can thiệp của chúng biểu hiện trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau. Dickson, vào khoảng năm 1900, mở rộng nghiên cứu của Jordan đến tất cả các trường hữu hạn, và gần đây hơn, người ta nhận thấy rằng một phần lớn lý thuyết Jordan-Dickson có thể được mở rộng đến một "trường cơ sở" hoàn toàn tùy ý; điều này chủ yếu là do các tính chất tổng quát của các vectơ đẳng hướng và định lý Witt, những điều vốn tầm thường trong các trường hợp cổ điển, chỉ được thiết lập cho một trường cơ sở tùy ý vào năm 1936 [337 a].26

Nhưng khi đẩy việc nghiên cứu các dạng nửa song tuyến tính theo hướng một sự "trừu tượng hóa" ngày càng lớn hơn như vậy, hóa ra điều cực kỳ gợi ý là giữ nguyên thuật ngữ vốn, trong trường hợp không gian 2 hoặc 3 chiều, xuất phát từ hình học cổ điển, và mở rộng nó sang trường hợp $n$ chiều và thậm chí đến các không gian vô hạn chiều. Sau khi bị bỏ qua trong vai trò của nó như một khoa học tự trị và sống động, hình học cổ điển do đó được biến đổi thành một ngôn ngữ phổ quát của toán học đương đại, với một sự mềm dẻo và một tính hữu dụng không gì sánh bằng.

26 Để biết thêm chi tiết về những vấn đề này, xem [90 b].