8. Đại số không giao hoá.

Ta đã thấy (p. 62) cách các đại số không giao hoán đầu tiên xuất hiện vào năm 1843-44, trong các công trình của Hamilton [145 a] và của Grassmann ([134], v. I_2). Hamilton, khi đưa vào các quaternion, đã có một quan niệm rất rõ ràng về các đại số tùy ý có hạng hữu hạn trên trường các số thực ([145 a], Lời nói đầu, tr. (26)-(31)).$^1$ Khi phát triển lý thuyết của mình, ít lâu sau đó, ông có ý tưởng xét cái mà ông gọi là “biquaternion”, nghĩa là đại số trên các số phức có cùng bảng phép nhân như trường các quaternion; và nhân dịp này ông nhận thấy rằng mở rộng này có tác dụng gây ra sự xuất hiện của các ước của không ([145 a], p. 650). Quan điểm của Grassmann có phần khác, và trong một thời gian dài “đại số ngoài” của ông sẽ ít nhiều đứng tách biệt khỏi lý thuyết đại số,$^2$ nhưng thường trong ngôn ngữ của ông, vốn vẫn còn thiếu sự chính xác, ý tưởng đầu tiên về một đại số (có số chiều hữu hạn hay không) được xác định bởi một hệ các phần tử sinh và các quan hệ không thể không được nhận ra ([134], v. II_1, tr. 199-217).

Các ví dụ mới về đại số được đưa vào trong những năm 1850-1860, theo một cách ít nhiều tường minh: nếu Cayley, khi phát triển lý thuyết về các ma trận ([58], v. II, tr. 475-496), vẫn chưa coi rằng các ma trận vuông tạo thành một đại số (một quan điểm sẽ chỉ được phát biểu rõ ràng vào khoảng năm 1870 bởi các Peirce [248 c]), thì ít nhất ông đã nhận thấy ngay trong dịp này sự tồn tại của một hệ các ma trận cấp 2 thỏa mãn bảng phép nhân của các quaternion, một nhận xét có thể được xem là ví dụ đầu tiên của một

$^1$ Khái niệm về đẳng cấu của hai đại số không được Hamilton nhắc đến; nhưng từ thời điểm này các nhà toán học thuộc trường phái Anh, và đặc biệt là Morgan và Cayley, biết rõ rằng một thay đổi cơ sở không làm thay đổi về cơ bản đại số đang được nghiên cứu (xem chẳng hạn công trình của Cayley về các đại số hạng 2 ([58], v. I, tr. 128-130)).

$^2$ Có lẽ lý do của điều này phải được nhìn thấy trong sự kiện rằng ngoài phép nhân “ngoài”, Grassmann còn đưa vào giữa các đa vectơ những phép nhân mà ông gọi là phép nhân “thoái quy” và “nội tại” (đối với ông, chúng thay thế cho tất cả những gì liên quan đến đối ngẫu). Dù sao cũng khá đáng chú ý rằng, vào khoảng năm 1900, trong bài viết Study-Cartan của Encyclopaedia ([52 a], v. II_1, tr. 107-246), đại số ngoài không được xếp vào các đại số kết hợp, mà được xử lý riêng biệt, và không chỉ ra rằng một trong các kiểu đại số hạng 4 (kiểu VIII ở p. 180) chính là đại số ngoài trên một không gian chiều 2.

biểu diễn tuyến tính của một đại số.$^3$ Mặt khác, trong hồi ký nơi ông định nghĩa khái niệm trừu tượng về một nhóm hữu hạn, ông cũng đưa ra, khi chuyển qua, định nghĩa của đại số của một nhóm như vậy, mà ngoài ra không rút ra được điều gì từ định nghĩa này ([58], v. II, p. 129).

Không có tiến triển đáng kể nào khác cần chỉ ra trước năm 1870; nhưng vào thời điểm đó nghiên cứu về cấu trúc tổng quát của các đại số có số chiều hữu hạn (trên trường các số thực hoặc số phức) bắt đầu. Chính B. Peirce là người thực hiện những bước đầu tiên theo hướng này; ông đưa vào các khái niệm phần tử lũy linh, phần tử lũy đẳng, chứng minh rằng một đại số (có hoặc không có phần tử đơn vị) mà trong đó ít nhất một phần tử không lũy linh chứa một phần tử lũy đẳng $\neq 0$, viết ra phân tích nổi tiếng

(e lũy đẳng, $x$ là một phần tử tùy ý), và có ý tưởng (vẫn còn hơi không chính xác) về sự phân tích một phần tử lũy đẳng thành tổng các phần tử lũy đẳng “nguyên thủy” đôi một trực giao [247]. Cũng vậy, theo Clifford ([65], p. 274),$^4$ khái niệm tích tenxơ của hai đại số phải được quy cho B. Peirce, khái niệm mà bản thân Clifford áp dụng một cách ngầm định vào sự tổng quát hóa các “biquaternion” của Hamilton ([65], tr. 181-200), và áp dụng tường minh vào việc nghiên cứu các đại số mang tên ông, vài năm sau đó ([65], tr. 397-401 và 266-276). Những khái niệm mới này được B. Peirce sử dụng để phân loại các đại số có chiều nhỏ (trên các số phức), một bài toán cũng được các nhà toán học khác thuộc trường phái Anh-Mỹ, đứng đầu là Cayley và Sylvester, tấn công vào khoảng năm 1880. Sự đa dạng lớn của các cấu trúc có thể có do đó nhanh chóng trở nên hiển nhiên, và chắc hẳn chính sự kiện này, trong giai đoạn tiếp theo, sẽ định hướng nghiên cứu tới việc thu được các lớp đại số có những tính chất riêng biệt hơn.

Trên lục địa, nơi sự tiến hóa của các ý tưởng khá khác biệt, những nghiên cứu như vậy đã xuất hiện trước năm 1880. Năm 1878, Frobenius chứng minh rằng các quaternion tạo thành ví dụ duy nhất về một trường không giao hoán (có số chiều hữu hạn) trên trường các số thực ([119], v. I, tr. 343-405) — một kết quả được C. S. Peirce công bố độc lập hai năm sau đó [248 d]. Từ năm 1861, Weierstrass, phát biểu chính xác một nhận xét của Gauss, đã, trong các bài giảng của mình,

$^3$ Nói cho đúng, Cayley không chứng minh sự tồn tại này, không viết ra một cách tường minh các ma trận được nói đến, và dường như vào thời điểm đó ông không nhận thấy rằng một số trong chúng tất yếu là ảo (trong toàn bộ hồi ký này, không bao giờ làm rõ liệu các “đại lượng” xuất hiện trong các ma trận là thực hay phức; tuy nhiên tình cờ có một số phức ở p. 494). Người ta có thể nghĩ rằng chỉ còn một bước nữa là cần thiết để đồng nhất các “biquaternion” của Hamilton với các ma trận phức cấp 2; trên thực tế, kết quả này sẽ không được phát biểu tường minh cho đến các Peirce năm 1870 ([247], p. 132). Ý tưởng tổng quát về một biểu diễn chính quy của một đại số được C. S. Peirce đưa vào khoảng năm 1879 [248 c]; nó đã được Laguerre thấy trước từ năm 1876 ([192], v. I, p. 235).

$^4$ B. Peirce gặp Clifford ở Luân Đôn năm 1871, và cả người này lẫn người kia đều nhiều lần ám chỉ đến những cuộc trò chuyện của họ, trong đó chắc hẳn có một cuộc diễn ra tại cuộc họp của Hội Toán học Luân Đôn, nơi Peirce đã trình bày các kết quả của mình.

đã đặc trưng các đại số giao hoán không có phần tử lũy linh$^5$ trên $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$ như là các tổng trực tiếp của các trường (đẳng cấu với $\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$); về phần mình Dedekind cũng đã đi đến cùng những kết luận ấy vào khoảng năm 1870, liên quan đến quan niệm "siêu phức" của ông về lý thuyết các trường giao hoán; các chứng minh của họ được công bố vào năm 1884-85 ([329 a], v. II, pp. 311-332 và [79], v. II, pp. 1-19). Cũng vào năm 1884, H. Poincaré, trong một chú ý ngắn rất bí ẩn ([251 a], v. V, pp. 77-79), đã nêu lên khả năng xem xét các phương trình $z_i = \phi_i(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)$ biểu diễn luật nhân $(\sum_i x_i e_i)(\sum_i y_i e_i) = \sum_i z_i e_i$ trong một đại số, như là xác định (dĩ nhiên là địa phương) một nhóm Lie. Nhận xét này dường như đã gây một ấn tượng lớn đối với Lie và các môn đệ của ông (Study, Scheffers, F. Schur và một thời gian ngắn sau đó là Molien và E. Cartan), những người đúng vào thời điểm này đang bận phát triển lý thuyết các nhóm "liên tục", và đặc biệt là các bài toán phân loại (xem riêng [271], p. 387); trong giai đoạn 1885-1905, nó hướng dẫn các nhà toán học của trường phái này áp dụng vào việc nghiên cứu cấu trúc của các đại số những phương pháp cùng loại với các phương pháp mà họ dùng trong việc nghiên cứu các nhóm Lie và các đại số Lie. Những phương pháp này chủ yếu dựa trên việc xét đa thức đặc trưng của một phần tử của đại số đối với biểu diễn chính quy của nó (một đa thức đã gặp trong các công trình của Weierstrass và Dedekind được trích dẫn ở trên) và trên sự phân tích đa thức này thành các nhân tử bất khả quy; một sự phân tích mà ở đó, như Frobenius sẽ phát hiện ít lâu sau, phản ánh sự phân tích của biểu diễn chính quy thành các thành phần bất khả quy.

Trong quá trình nghiên cứu của trường phái Lie về các đại số, các khái niệm "nội tại" của lý thuyết dần dần xuất hiện. Khái niệm căn xuất hiện trong một trường hợp riêng (trường hợp mà thương bởi căn là một tổng hạng trực tiếp của trường) với G. Scheffers năm 1891 [271], rõ ràng hơn với Molien [224 a] và Cartan ([52 a], v. II$_1$, pp. 7-105), những người nghiên cứu trường hợp tổng quát (bản thân từ "căn" là do Frobenius ([119] v. III, pp. 284-329)). Study và Scheffers [271] làm nổi bật khái niệm một đại số như là một tổng trực tiếp của một số đại số khác (đã được B. Peirce dự kiến trước ([247], p. 221)). Cuối cùng với Molien [224 a], các đại số thương của một đại số được đưa vào, một khái niệm về bản chất tương đương với khái niệm iđêan hai phía (được định nghĩa lần đầu tiên bởi Cartan ([52 a], v. II$_1$, pp. 7-105)) hoặc đồng cấu (một tên gọi cũng do Frobenius); sự tương tự với các nhóm ở đây rất rõ rệt, và ít lâu sau đó vào năm 1904, Epsteen và Wedderburn xét các dãy hợp thành của các iđêan hai phía và mở rộng định lý Jordan-Hölder cho chúng. Các kết quả quan trọng nhất của thời kỳ này là những kết quả của T. Molien [224 a]: được hướng dẫn bởi khái niệm một nhóm đơn, ông định nghĩa các đại số đơn (trên $\mathbf{C}$) và chứng minh rằng chúng là các đại số ma trận, rồi chứng minh rằng cấu trúc của một đại số tùy ý có hạng hữu hạn trên

$^5$ Thực ra, Weierstrass áp đặt lên các đại số của mình một điều kiện chặt chẽ hơn, cụ thể là phương trình

C quy về bản chất trường hợp (đã được Scheffers nghiên cứu trước đó) trong đó thương bởi căn là một tổng trực tiếp của các trường. Những kết quả này ngay sau đó được E. Cartan tìm lại và thiết lập theo một cách rõ ràng hơn và nghiêm ngặt hơn ([52 a], v. II₁, pp. 7-105), người đưa vào nhân dịp này khái niệm đại số nửa đơn, và làm nổi bật các bất biến số (các “số nguyên Cartan”) liên kết với một đại số tùy ý trên trường C – do đó đưa lý thuyết của các đại số này đến một điểm mà kể từ đó chúng ta hầu như không tiến xa hơn;$^6$ cuối cùng ông mở rộng các kết quả của Molien và của chính mình cho các đại số trên $\mathbf{R}$.

Khoảng năm 1900 xuất hiện một trào lưu tư tưởng dẫn đến việc từ bỏ mọi hạn chế đối với trường các vô hướng trong mọi vấn đề liên quan đến đại số tuyến tính; đặc biệt cần nêu bật sự thúc đẩy mạnh mẽ đối với việc nghiên cứu các trường hữu hạn do trường phái Mỹ, xung quanh E. H. Moore và L. E. Dickson, tạo ra; kết quả nổi bật nhất của nghiên cứu này là định lý Wedderburn [328 a] chứng minh rằng mọi trường hữu hạn đều giao hoán. Năm 1907, Wedderburn xem xét lại các kết quả của Cartan và mở rộng chúng cho một trường cơ sở tùy ý [328 b]; khi làm điều này ông hoàn toàn từ bỏ các phương pháp của những người đi trước (những phương pháp trở nên không áp dụng được ngay khi trường cơ sở không còn đóng đại số hoặc được sắp thứ tự toàn phần), và quay trở lại, bằng cách hoàn thiện nó, với kỹ thuật các phần tử lũy đẳng của B. Peirce, kỹ thuật cho phép ông đưa ra dạng cuối cùng của định lý về cấu trúc của các đại số nửa đơn, mà việc nghiên cứu được quy về việc nghiên cứu các trường không giao hoán. Hơn nữa, bài toán mở rộng trường các vô hướng được đặt ra một cách tự nhiên trong quan điểm mà ông chấp nhận, và ông chứng minh rằng mọi đại số nửa đơn vẫn nửa đơn sau một mở rộng tách được của trường cơ sở,$^7$ và trở thành một tổng trực tiếp của các đại số ma trận trung tâm nếu mở rộng này được lấy đủ lớn ([328 b], p. 102).$^8$ Ít lâu sau đó, Dickson, với $n = 3$ [88 a] và chính Wedderburn với $n$ tùy ý [328 c] đưa ra những ví dụ đầu tiên về các trường không giao hoán của

$^6$ Những khó khăn cốt yếu xuất phát từ việc nghiên cứu căn, mà đối với cấu trúc của nó cho đến nay vẫn chưa tìm thấy một nguyên lý phân loại thỏa mãn nào. $^7$ Vào thời điểm Wedderburn viết công trình của mình, khái niệm mở rộng tách được vẫn chưa được định nghĩa; nhưng ông đã sử dụng một cách ngầm định giả thiết rằng, nếu một đa thức bất khả quy $f$ trên trường cơ sở có một nghiệm $x$ trong một mở rộng của trường này, thì nhất thiết phải có $f'(x) \neq 0$ ([328 b], p. 103). Chỉ đến năm 1929 E. Noether mới chỉ ra các hiện tượng gắn với tính không tách được của mở rộng của trường vô hướng [236 c]. Ở đây ta hãy nhắc đến một kết quả khác gắn với các vấn đề về tính tách được (và hiện nay thuộc về đại số đồng điều), đó là sự phân tích của một đại số thành tổng trực tiếp (nhưng không phải tích trực tiếp!) của căn của nó và một đại số nửa đơn. Kết quả này (đã được Molien chứng minh khi trường vô hướng là $\mathbf{C}$ và bởi Cartan đối với các đại số trên $\mathbf{R}$) được Wedderburn phát biểu dưới dạng tổng quát, người thực ra chỉ chứng minh nó khi thương của đại số bởi căn của nó là đơn ([328 b], pp. 105-109), bằng cách sử dụng thêm cùng giả thiết về các đa thức bất khả quy như trên. $^8$ Các nghiên cứu số học về các biểu diễn tuyến tính của các nhóm, bắt đầu cùng thời gian đó, cũng dẫn đến việc xét khái niệm tương đương là trường trung hòa của một biểu diễn [279 d].

hạng $n^2$ trên tâm của chúng,$^9$ do đó mở đầu trong một trường hợp riêng lý thuyết về "tích chéo" và về "các tập nhân tử" mà sau này sẽ được phát triển bởi R. Brauer [34 a] và E. Noether [236 c]. Cuối cùng, vào năm 1921, Wedderburn chứng minh một trường hợp riêng của định lý giao hoán [328 d].

Trong khoảng thời gian đó, từ năm 1896 đến năm 1910, trong tay Frobenius, Burnside và I. Schur, đã phát triển một lý thuyết lân cận với lý thuyết đại số, lý thuyết về biểu diễn tuyến tính của các nhóm (lúc đầu chỉ giới hạn ở các biểu diễn của các nhóm hữu hạn). Nó bắt nguồn từ các nhận xét của Dedekind: người sau này (ngay cả trước khi công bố công trình của mình về các đại số) đã gặp, vào khoảng năm 1880, trong quá trình nghiên cứu về các cơ sở chuẩn của các mở rộng Galois, "Gruppendeterminant" $\det(x_{st^{-1}})$, trong đó $(x_s)_{s \in G}$ là một dãy các bất định mà tập hợp các chỉ số là một nhóm hữu hạn $G$ (nói cách khác, chuẩn của phần tử tổng quát của đại số nhóm $G$ đối với biểu diễn chính quy của nó); và ông đã nhận thấy rằng khi $G$ là Abel, đa thức này phân tích thành các nhân tử tuyến tính (điều này tổng quát hóa một đồng nhất thức đã được chứng minh từ lâu trước đó cho các định thức "tuần hoàn", tương ứng với các nhóm cyclic $G$). Trong sự tương ứng rất thú vị của ông với Frobenius ([79], v. II, pp. 414-442), Dedekind, vào năm 1896, đã thu hút sự chú ý của ông đến tính chất này, mối liên hệ của nó với lý thuyết các đặc trưng của các nhóm Abel [327 c] và một số kết quả tương tự trên các nhóm không giao hoán riêng biệt mà ông đã thu được vào năm 1886. Vài tháng sau, Frobenius đã giải quyết hoàn toàn bài toán phân tích "Gruppendeterminant". thành các nhân tử bất khả quy ([119], v. III, pp. 38-77), nhờ sự tổng quát hóa tài tình của ông về khái niệm đặc trưng ([119], v. III, pp. 1-37), mà ta không nên nói đến ở đây. Nhưng cần lưu ý rằng trong sự phát triển sau này của lý thuyết này,$^{10}$ Frobenius luôn ý thức được mối liên hệ của nó với lý thuyết các đại số (mà Dedekind ngoài ra chưa bao giờ ngừng nhấn mạnh trong các bức thư của mình); và sau khi đã đưa vào cho các nhóm khái niệm biểu diễn bất khả quy và biểu diễn hoàn toàn khả quy ([119], v. III, pp. 82-103), và chỉ ra rằng biểu diễn chính quy chứa tất cả các biểu diễn bất khả quy, chính bằng các phương pháp tương tự mà ông đề nghị, vào năm 1903, xem xét lại lý thuyết của Molien-Cartan ([119], v. III, pp. 284-329). Với Burnside [44 a] và I. Schur [279 c], khía cạnh "siêu phức" của lý thuyết không xuất hiện một cách tường minh; nhưng chính với họ mà các tính chất cơ bản của các biểu diễn bất khả quy, bổ đề Schur và định lý Burnside được làm sáng tỏ. Cuối cùng, cần lưu ý đối với mục đích của chúng ta rằng chính trong lý thuyết này lần đầu tiên xuất hiện hai trường hợp riêng của định lý giao hoán: trong luận án của I. Schur [279 a], người liên kết (chính xác bằng sự giao hoán trong vành các tự đồng cấu của một không gian tenxơ) các biểu diễn của nhóm tuyến tính và các biểu diễn của nhóm đối xứng, và trong công trình của ông năm 1905 [279 c], nơi ông chỉ ra rằng các ma trận khả hoán với

$^9$ Hãy lưu ý rằng trong "Grundlagen der Geometrie", Hilbert đã đưa ra một ví dụ về một trường không giao hoán có hạng vô hạn trên tâm của nó ([163 c], pp. 107-109). $^{10}$ Một phần các kết quả của Frobenius đã được T. Molien thu được độc lập vào năm 1897 [224 b].

tất cả các ma trận của một biểu diễn bất khả quy trên trường $\mathbf{C}$ là các bội vô hướng của $I$ (một kết quả cũng suy ra từ định lý Burnside).

Cần phải gỡ rối một cách rõ ràng cái nền tảng chung của các lý thuyết này: đó là công trình của trường phái Đức xoay quanh E. Noether và E. Artin, trong giai đoạn 1921-1933, thời kỳ chứng kiến sự ra đời của đại số hiện đại. Ngay từ năm 1903, trong một hồi ký về phép tích phân đại số của các phương trình vi phân tuyến tính ([251 a], v. III, pp. 140-149), H. Poincaré đã định nghĩa, trong một đại số, các iđêan trái và các iđêan phải cùng khái niệm iđêan tối thiểu; ông cũng nhận xét rằng trong một đại số nửa đơn, mọi iđêan trái là tổng trực tiếp của các giao của nó với các thành phần đơn, và rằng trong đại số các ma trận cấp $n$, các iđêan tối thiểu có chiều $n$; nhưng công trình của ông đã không được các nhà đại số chú ý.$^{11}$ Năm 1907, Wedderburn định nghĩa lại các iđêan trái và phải của một đại số và chứng minh một số tính chất (đặc biệt là căn là iđêan trái lũy linh lớn nhất ([328 b], pp. 113-114)). Nhưng phải chờ đến năm 1927 các khái niệm này mới được sử dụng một cách cốt yếu trong lý thuyết đại số.$^{12}$ Đưa về dạng tổng quát các phương pháp chứng minh đã xuất hiện trước đó rải rác ở nhiều nơi,$^{13}$ W. Krull năm 1925 [187 a] và E. Noether năm 1926 [236 b] đưa vào và sử dụng một cách hệ thống các điều kiện cực đại và cực tiểu; điều kiện thứ nhất được dùng để mở rộng định lý Remak về phân tích một nhóm hữu hạn thành tích trực tiếp của các nhóm không phân tích được cho các nhóm Abel có toán tử (mà ông định nghĩa vào dịp này), trong khi điều kiện thứ hai đưa các điều kiện này vào việc đặc trưng các vành Dedekind. Năm 1927, E. Artin [7 c], áp dụng cùng ý tưởng đó cho các vành không giao hoán, chỉ ra rằng, bằng cách nghiên cứu có hệ thống các iđêan tối thiểu, các định lý của Wedderburn có thể được mở rộng cho mọi vành mà các iđêan trái của chúng thỏa mãn cả hai điều kiện cực đại và cực tiểu.$^{14}$

Mặt khác, Krull, năm 1926 [187 b], thiết lập mối liên hệ giữa khái niệm nhóm Abel có toán tử và khái niệm các biểu diễn tuyến tính của nhóm; một quan điểm được tổng quát hóa cho các đại số và được E. Noether phát triển chi tiết trong một công trình nền tảng năm 1929 [236 c], công trình này, nhờ tầm quan trọng của các ý tưởng được đưa vào và sự sáng rõ của cách trình bày, xứng đáng đứng

$^{11}$ Cũng cần chú ý rằng, trong hồi ký này, Poincaré nhận xét rằng tập hợp các toán tử, trong một đại số nhóm, triệt tiêu một vectơ của một không gian biểu diễn tuyến tính của nhóm, tạo thành một iđêan trái; ông chỉ ra rằng nhận xét này có thể được áp dụng vào lý thuyết các biểu diễn tuyến tính ([251 a], v. III, p. 149), nhưng chưa bao giờ phát triển ý tưởng này.

$^{12}$ Điều đáng chú ý là, trong khoảng thời gian đó, khái niệm iđêan trái hoặc phải xuất hiện không phải trong việc nghiên cứu các đại số, mà trong một công trình của E. Noether và W. Schmeidler [238], dành cho các vành toán tử vi phân.

$^{13}$ Điều kiện cực đại (dưới dạng “điều kiện dây chuyền tăng”) bắt nguồn từ Dedekind, người đã đưa nó vào một cách tường minh ([79], v. III, p. 90) trong việc nghiên cứu các iđêan của một trường số đại số; một trong những ví dụ đầu tiên của một lập luận sử dụng một “dây chuyền giảm” chắc hẳn là lập luận được tìm thấy trong hồi ký của Wedderburn năm 1907 ([328 b], p. 90) liên quan đến các iđêan hai phía.

$^{14}$ Năm 1929, E. Noether chứng minh rằng đối với các vành không có căn, các định lý này được áp dụng chỉ cần giả thiết điều kiện tối tiểu đúng ([236 c], p. 663); C. Hopkins đã chứng minh năm 1939 rằng riêng điều kiện này buộc căn phải lũy linh [167].

cạnh hồi ký của Steinitz về các trường giao hoán như một trong những trụ cột của đại số tuyến tính hiện đại.$^{15}$

Cuối cùng, trong một chuỗi các công trình bắt đầu từ năm 1927 ([237], [34 a], [236 d]), E. Noether và R. Brauer (được A. Albert và H. Hasse tham gia từ năm 1929-31) tiếp tục nghiên cứu các trường trái tại điểm mà Wedderburn và Dickson đã bỏ lại. Nếu phần quan trọng nhất trong các kết quả của họ nằm ở một nghiên cứu sâu về các nhóm Brauer (đặc biệt trên trường các số đại số) và do đó vượt ra ngoài khuôn khổ của chú ý này, thì trong mọi trường hợp cần chỉ ra rằng chính trong quá trình công trình này mà các định lý giao hoán được phát biểu một cách chính xác, cũng như khái niệm một trường trung hòa một đại số đơn và các quan hệ của nó với các trường con giao hoán cực đại; cuối cùng, năm 1927, Skolem đặc trưng các tự đẳng cấu của các vành đơn [286 b], một định lý được E. Noether [236 b] và R. Brauer [34 a] tìm lại vài năm sau.

Như vậy, vào năm 1934, lý thuyết sơ cấp của các vành đơn và nửa đơn hầu như đã đạt đến dạng cuối cùng của nó (để trình bày trạng thái của lý thuyết ở giai đoạn này, xem [87]); kể từ đó, nó đã phát triển theo hai hướng khác nhau mà chúng tôi chỉ giới hạn ở việc nhắc đến ngắn gọn. Một mặt, lý thuyết về “tập hợp nhân tử” của R. Brauer và E. Noether gần đây đã nhận được một động lực mới, sau khi được đưa vào Đại số đồng luân hiện đại.$^{16}$ Mặt khác, đã có nhiều nỗ lực, với mức độ thành công khác nhau, nhằm mở rộng — ít nhất là một phần — các kết quả của lý thuyết cổ điển cho các vành không có điều kiện tối tiểu$^{17}$ hoặc cho các vành không có đơn vị. Nhưng cho đến nay các mở rộng này hầu như không có ảnh hưởng nào đến các ngành toán học khác; để biết thêm chi tiết về các công trình này, chúng tôi dẫn đến bài trình bày gần đây của N. Jacobson [172 b].

$^{15}$ Chính ở đó, trong số những thứ khác, lần đầu tiên xuất hiện dưới dạng tổng quát của chúng các khái niệm đồng cấu của một nhóm có toán tử, vành đối, song môđun, cũng như các “định lý đẳng cấu” nổi tiếng (vốn đã xuất hiện đối với các nhóm giao hoán trong [236 b]). Các trường hợp riêng hoặc các hệ quả của những định lý sau này, như điều dễ hiểu, đã xuất hiện từ lâu trước đó, chẳng hạn (đối với định lý đẳng cấu thứ hai) với Hölder liên quan đến các nhóm hữu hạn [165], với Dedekind liên quan đến các nhóm Abel ([79], v. III, pp. 76-77), với Wedderburn liên quan đến các iđêan hai phía ([328 b], pp. 82-83); còn đối với định lý đẳng cấu thứ nhất, nó chẳng hạn đã được de Ségurier phát biểu một cách tường minh năm 1904 ([86], p. 65).

$^{16}$ Chúng ta không nên trình bày ở đây lịch sử của lý thuyết này và các quan hệ của nó với khái niệm mở rộng của một nhóm bởi một nhóm khác; nhưng thích hợp để chú ý rằng các "tập hợp nhân tử" đầu tiên đã xuất hiện chính xác trong mối liên hệ với một bài toán về các mở rộng nhóm, trong hồi ký năm 1904 nơi I. Schur đã đặt nền móng cho lý thuyết về các "biểu diễn xạ ảnh" của các nhóm [279 b].

$^{17}$ Từ năm 1928, Krull đã mở rộng cho các môđun nửa đơn tùy ý các định lý tổng quát về các môđun nửa đơn có độ dài hữu hạn ([187 c], pp. 63-66).