7. Đại số giao hoán. Lý thuyết số đại số.

Đại số giao hoán "trừu tượng" là một sáng tạo gần đây, nhưng sự phát triển của nó không thể được hiểu nếu không liên hệ với sự phát triển của lý thuyết số đại số và hình học đại số, những thứ đã sinh ra nó.

Có thể phỏng đoán với một mức độ không quá khó tin rằng "chứng minh" nổi tiếng mà Fermat tuyên bố đã có về tính bất khả của phương trình $x^p + y^p = z^p$ với $p$ là một số nguyên tố lẻ và $x, y, z$ là các số nguyên $\neq 0$, dựa trên sự phân tích

trong vành $\mathbf{Z}[\zeta]$ (trong đó $\zeta \neq 1$ là một nghiệm bậc $p$ của đơn vị), và trên một lập luận về tính chia hết trong vành này, giả sử nó là chính. Trong mọi trường hợp, người ta thấy rằng một lập luận tương tự được Lagrange phác thảo ([191], v. II, p. 531); chính bằng các lập luận loại này, với những biến thể khác nhau (đặc biệt là các thay đổi của các biến nhằm hạ thấp bậc của phương trình) mà Euler ([108 a], v. I, p. 488)$^1$ và Gauss ([124 a], v. II, p.387) chứng minh định lý Fermat cho $p = 3$, Gauss (loc. cit. và Dirichlet ([92], v. I, p. 42) cho $p = 5$, và Dirichlet chứng minh tính bất khả của phương trình $x^{14} + y^{14} = z^{14}$ ([92], v. I, p. 190). Cuối cùng, trong nghiên cứu đầu tiên của mình về lý thuyết số, Kummer đã tin rằng ông đã thu được theo cách này một chứng minh tổng quát, và chắc chắn chính sai lầm này (được Dirichlet chỉ ra cho ông) đã dẫn ông đến những nghiên cứu về số học của các trường cyclotomic, từ đó cuối cùng ông đã thành công trong việc suy ra một phiên bản đúng của chứng minh của mình cho các số nguyên tố $p < 100$ [188 d].

Từ một góc độ khác, hồi ký nổi tiếng của Gauss năm 1831 về các thặng dư bậc bốn, với các kết quả được suy ra từ một nghiên cứu chi tiết về tính chia hết trong vành $\mathbf{Z}[i]$ của "các số nguyên Gaussian" ([124 a], v. II, p. 109), đã cho thấy lợi ích mà các bài toán cổ điển của lý thuyết số có thể có được nhờ sự mở rộng khái niệm tính chia hết sang các số đại số;$^2$ vì vậy không có gì đáng ngạc nhiên khi giữa năm 1830 và 1850 lý thuyết này là đối tượng nghiên cứu của nhiều

$^1$ Trong chứng minh của mình, Euler tiến hành như thể $\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$ là một vành iđêan chính, điều này không đúng; tuy nhiên lập luận của ông có thể được làm cho đúng bằng cách xét phần tử dẫn của $\mathbf{Z}[\rho]$ ($\rho$ là một nghiệm bậc ba của đơn vị) trên $\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$ (cf. [288], p. 190).

$^2$ Nghiên cứu của Gauss về phép chia đường lemniscate và các hàm elliptic liên kết với đường cong này, chưa được công bố trong thời gian ông còn sống, nhưng có niên đại khoảng năm 1800, hẳn đã khiến ông ngay từ thời điểm đó suy nghĩ về các tính chất số học

các nhà toán học Đức, trước hết là Jacobi, Dirichlet và Eisenstein, rồi, muộn hơn một chút, Kummer và học trò kiêm bạn của ông là Kronecker. Ở đây chúng ta không nên nói về lý thuyết các phần tử đơn vị, vốn quá hạn chế đối với lý thuyết số, nơi mà tiến bộ rất nhanh, Eisenstein thu được cấu trúc của các nhóm phần tử đơn vị cho các trường bậc ba, Kronecker cho các trường cyclotomic, ngay trước khi Dirichlet, vào năm 1846 ([92], v. I, p. 640) chứng minh định lý tổng quát, mà Hermite gần như đã tự mình đạt tới ([159], v. I, p. 159). Câu hỏi khó hơn nhiều dường như là vấn đề (trung tâm của toàn bộ lý thuyết) về sự phân tích thành các nhân tử nguyên tố. Vì Lagrange đã đưa ra các ví dụ về các số có dạng $x^2 + Dy^2$ ($x, y, D$ là các số nguyên) có các ước không có dạng $m^2 + Dn^2$ ([191], v. II, p. 465), về cơ bản người ta đã biết rằng nói chung không nên mong đợi các vành $\mathbf{Z}[\sqrt{-D}]$ là các vành iđêan chính, và sự thận trọng lớn đã thay thế tính táo bạo của Euler; khi Dirichlet, chẳng hạn, chứng minh rằng quan hệ $p^2 - 5q^2 = r^5$ ($p, q, r$ là các số nguyên) tương đương với $p + q\sqrt{5} = (x + y\sqrt{5})^5$ với $x, y$ là các số nguyên, ông chỉ giới hạn ở việc chỉ ra trong một chú ý rằng "có những định lý tương tự cho nhiều số nguyên tố khác [ngoài 5]" ([92], v. I, p. 31). Với hồi ký của Gauss năm 1831 và công trình của Eisenstein về các thặng dư bậc ba [102 a], người ta thực sự đã có một số nghiên cứu tiên tiến về số học của các vành iđêan chính $\mathbf{Z}[i]$ và $\mathbf{Z}[\rho]$ ($\rho = (-1 + i\sqrt{3})/2$, một nghiệm bậc ba của đơn vị) hoàn toàn tương tự với lý thuyết các số nguyên hữu tỉ, và với các ví dụ này ít nhất, mối liên hệ chặt chẽ giữa số học trong các trường bậc hai và lý thuyết các dạng toàn phương nhị thức được Gauss phát triển đã rất rõ ràng; nhưng đối với trường hợp tổng quát, còn thiếu một "từ điển" cho phép xử lý một trường bậc hai bằng sự chuyển dịch đơn giản của lý thuyết Gauss.$^3$

Thực tế, không phải đối với các trường bậc hai, mà đúng hơn là đối với các trường cyclotomic (và vì những lý do chỉ trở nên rõ ràng mãi về sau (cf. p. 98)) mà điều bí ẩn đầu tiên được giải quyết. Từ năm 1837, Kummer, ban đầu là một nhà giải tích, chuyển sang số học của các trường cyclotomic, lĩnh vực này sẽ không ngừng chiếm gần như toàn bộ thời gian của ông trong 25 năm. Giống như những người tiền nhiệm, ông nghiên cứu tính chia hết trong các vành $\mathbf{Z}[\zeta]$, trong đó $\zeta$ là một nghiệm bậc $p$ của đơn vị $\neq 1$ ($p$ là một số nguyên tố lẻ); ông sớm nhận thấy rằng ở đó cũng xuất hiện các vành không phải là các vành iđêan chính, cản trở mọi tiến bộ trong việc mở rộng các quy luật của số học [188 a], và chỉ đến năm 1845, sau 8 năm nỗ lực, ánh sáng cuối cùng mới xuất hiện, nhờ định nghĩa của ông về "các số iđêan" [188 c and d].

Điều Kummer thực hiện, theo ngôn ngữ hiện đại, quy về việc định nghĩa các định giá trên một trường $\mathbf{Q}[\zeta]$: chúng tương ứng song ánh với các "số iđêan nguyên tố" của ông, "số mũ" mà với nó một nhân tử như vậy xuất hiện trong "sự phân tích" của một số $x \in \mathbf{Z}[\zeta]$ không gì khác hơn là giá trị của $x$ trong

$^3$ của vành $\mathbf{Z}[i]$, phép chia cho các số của vành này đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết; xem Jacobi nói gì về điểm này ([171], v. VI, p. 275) cũng như các tính toán liên quan đến những câu hỏi này được tìm thấy trong các bài viết của Gauss ([124 a], v. II, p. 411; cũng xem [124 a], v. X_2, pp. 33 ff.).

giá trị hóa tương ứng. Vì các phần tử liên hợp của $x$ cũng thuộc về $\mathbf{Z}[\zeta]$, và tích của chúng $N(x)$ (‘‘chuẩn’’ của $x^4$) là một số nguyên hữu tỉ, các ‘‘nhân tử iđêan nguyên tố’’ cần được định nghĩa cũng phải là các ‘‘nhân tử’’ của các số nguyên tố hữu tỉ, và để đưa ra định nghĩa của nó, người ta có thể chỉ nói rằng chúng là các ‘‘ước iđêan nguyên tố’’ của một số nguyên tố $q \in \mathbf{Z}$. Với $q = p$, Kummer đã chứng minh đáng kể [188 a] rằng iđêan chính $(1 - \zeta)$ là nguyên tố và rằng lũy thừa $(p - 1)$ của nó là iđêan chính $(p)$; do đó trường hợp này không đặt ra vấn đề mới nào. Với $q \neq p$, ý tưởng dường như đã dẫn dắt Kummer là thay thế phương trình cyclotomic $\Phi_p(z) = 0$ bằng đồng dư thức $\Phi_p(u) \equiv 0 \pmod{q}$, nói cách khác là phân tích đa thức cyclotomic $\Phi_p(X)$ trên trường $\mathbf{F}_q$, và gắn với mỗi nhân tử bất khả quy của đa thức này một ‘‘nhân tử iđêan nguyên tố’’. Một trường hợp đơn giản (được nêu tường minh trong Chú ý [188 b], nơi Kummer công bố các kết quả của mình không có chứng minh) là trường hợp $q \equiv 1 \pmod{p}$; nếu $q = mp + 1$ và nếu $\gamma \in \mathbf{F}_q$ là một nghiệm nguyên thủy bậc $(q - 1)$ của 1, ta có, trong $\mathbf{F}_q[X]$,

vì $\gamma^{pm} = 1$. Khi đó gắn với mỗi nhân tử $X - \gamma^{km}$ một ‘‘nhân tử iđêan nguyên tố’’ $q_k$ của $q$, Kummer nói rằng một phần tử $x \in \mathbf{Z}[\zeta]$, mà $P$ là đa thức tối tiểu trên $\mathbf{Q}$ của nó, chia được cho $q_k$ nếu trong $\mathbf{F}_q$ ta có $P(\gamma^{km}) = 0$; tóm lại, theo ngôn ngữ hiện đại, ông viết vành thương $\mathbf{Z}[\zeta]/q \mathbf{Z}[\zeta]$ thành một tích trực tiếp của các trường đẳng cấu với $\mathbf{F}_q$. Với $q \not\equiv 1 \pmod{p}$, các nhân tử bất khả quy của $\Phi_p(X)$ trong $\mathbf{F}_q[X]$ không còn có bậc thứ nhất nữa, và do đó cần phải thay thế cho $X$ trong $P(X)$ các nghiệm ‘‘ảo Galois’’ của các nhân tử của $\Phi_p$ trong $\mathbf{F}_q[X]$. Kummer tránh khó khăn này bằng cách chuyển qua, như ngày nay ta sẽ nói, đến trường phân tích $K$ của $q$: nếu $f$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $q^f \equiv 1 \pmod{p}$, và nếu đặt $p - 1 = ef$, $K$ không gì khác ngoài trường con của $\mathbf{Q}(\zeta)$ được xây dựng từ các bất biến của nhóm con cấp $f$ của nhóm Galois (xyclic cấp $p - 1$) của $\mathbf{Q}(\zeta)$ trên $\mathbf{Q}$; nói cách khác nó là trường con duy nhất của $\mathbf{Q}(\zeta)$ có bậc $e$ trên $\mathbf{Q}$; điều này đã được biết rất rõ từ Disquisitiones của Gauss, vì nó được sinh bởi các ‘‘chu kỳ’’

4 Khái niệm chuẩn của một số đại số có từ Lagrange: nếu $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các nghiệm của một đa thức bậc $n$, ông thậm chí còn xét "dạng chuẩn" $N(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}) = \prod_{i=1}^n (x_0 + \alpha_i x_1 + \ldots + \alpha_i^{n-1} x_{n-1})$ theo các biến $x_i$, mà không nghi ngờ gì đã được gợi ý cho ông bởi nghiên cứu của ông về nghiệm của các phương trình và các "giải thức Lagrange" ([191], v. VII, p. 170). Cần nhận thấy rằng chính tính chất nhân của chuẩn đã dẫn Lagrange đến đồng nhất thức của ông về các dạng toàn phương nhị thức, từ đó Gauss đã rút ra "sự hợp thành" của các dạng này ([124 a], v. II, p. 522). Mặt khác, khi lý thuyết các số đại số bắt đầu phát triển khoảng năm 1830, rất thường xuyên các bài toán được đặt ra dưới dạng nghiệm của các phương trình $N(x_0, \ldots, x_{n-1}) = \lambda$ (đặc biệt với $\lambda = 1$ để tìm các phần tử đơn vị) hoặc dưới dạng nghiên cứu các "dạng chuẩn" (còn gọi là "các dạng phân tích được"); và ngay cả trong các công trình gần đây, các tính chất của những phương trình Diophantus đặc biệt này cũng được sử dụng một cách có hiệu quả, đáng chú ý trong lý thuyết các số $p$-adic (Skolem, Chabauty).

Chúng ta sẽ không đề cập đến lịch sử công trình tiếp theo của Kummer về các trường cyclotomic, trong chừng mực liên quan đến việc xác định số lớp và việc áp dụng chứng minh định lý Fermat trong các trường hợp khác nhau. Chúng ta chỉ hãy nêu cách thức mà vào năm 1859, ông mở rộng phương pháp của mình để thu được (ít nhất là một phần) các "số iđêan nguyên tố" trong một "trường Kummer" $\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$, trong đó $\mu$ là một nghiệm của đa thức bất khả quy $P(X) = X^p - \alpha$, với $\alpha \in \mathbf{Z}[\zeta]$ [188 e]. Điều thú vị là Kummer nhìn bài toán này chính xác như việc xét $\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$ như một mở rộng cyclic của trường $\mathbf{Q}(\zeta)$ được lấy làm "trường cơ sở":$^6$ ông bắt đầu với một "số iđêan nguyên tố" $q$ của $\mathbf{Z}[\zeta]$, mà ông giả sử không chia hết cho $p$ cũng không chia hết cho $\alpha$, và lần này, ông khảo sát (theo các thuật ngữ hiện đại)

$^5$ Ở đó ông chỉ lấy lại một lập luận từ luận án của Kronecker, liên quan đến các lớp nghiệm của các phương trình có dạng $N(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}) = a$ ([188 a], v. II, p. 25). Mặt khác Kummer thường ám chỉ đến các kết quả mà Dirichlet đã thu được về các phương trình loại này (đối với một trường tùy ý của các số đại số); nhưng các kết quả này chưa được công bố, cũng không được tìm thấy trong các giấy tờ của Dirichlet.

$^6$ Trong hồi ký của ông về các dạng bậc hai với các hệ số trong vành các số nguyên Gaussian ([92], v. I, pp. 533-618), Dirichlet đã, ở nhiều chỗ khác nhau, được dẫn đến việc xét

7. ĐẠI SỐ GIAO HOÁN. LÝ THUYẾT SỐ ĐẠI SỐ.

đa thức $\overline{P}(X) = X^p - \overline{\alpha}$ trong trường dư $k$ của định giá của $\mathbf{Q}(\zeta)$ tương ứng với $q$ ($\overline{\alpha}$ là ảnh chính tắc của $\alpha$ trong $k$). Vì $\mathbf{Q}(\zeta)$ là trường của các căn bậc $p$ của đơn vị, $\overline{P}$ hoặc là bất khả quy trên $k$, hoặc là một tích của các nhân tử bậc nhất. Trong trường hợp thứ nhất, Kummer nói rằng $q$ vẫn là nguyên tố trong $\mathbf{Z}[\zeta, \mu]$; trong trường hợp thứ hai, ông đưa vào các phần tử $w_i (1 \leq i \leq p)$ của $\mathbf{Z}[\zeta]$ mà các ảnh của chúng trong $k$ là các nghiệm của $\overline{P}$, và ông liên kết với mỗi chỉ số $i$ một iđêan nhân tử nguyên tố $\tau_i$ của $q$; tiếp theo đặt $W_i(X) = \prod_{j \neq i} (X - w_j)$, ông nói rằng, đối với một đa thức $f$ có các hệ số trong $\mathbf{Z}[\zeta]$, $f(\mu)$ chứa nhân tử iđêan $\tau_i$ $m$ lần nếu có

nhưng

Tóm lại, bằng cách này ông thu được các định giá của $\mathbf{Q}(\zeta, \mu)$ không phân nhánh trên $\mathbf{Q}$, điều này đủ cho các áp dụng mà ông dự định.

Kummer đã may mắn gặp được, trong nghiên cứu của ông về các trường đặc biệt mà nghiên cứu của ông về định lý Fermat ban đầu đã dẫn đến, một số hoàn cảnh ngẫu nhiên làm cho việc nghiên cứu trở nên khả thi hơn nhiều. Việc mở rộng các kết quả của Kummer sang trường hợp tổng quát đã đặt ra những khó khăn lớn và phải mất nhiều năm nỗ lực.

Sau Kronecker và Dedekind, những người giữ vai trò chủ chốt trong đó, lịch sử của lý thuyết các số đại số, trong 40 năm tiếp theo sau sự phát hiện của Kummer, không phải không gợi nhớ (nhưng may mắn thay không có cùng tính chất gay gắt) đến sự cạnh tranh giữa Newton và Leibniz 180 năm trước đó, về việc phát minh ra phép tính vi phân vô cùng bé. Là học trò và ngay sau đó là đồng nghiệp của Kummer tại Berlin, Kronecker (mà luận án của ông, như chúng ta đã thấy, đã hữu ích cho Kummer tại một điểm cốt yếu trong lý thuyết của ông) rất quan tâm đến các "số iđêan" nhằm áp dụng chúng vào các nghiên cứu riêng của mình; và chúng ta khâm phục trực giác đáng kinh ngạc của ông khi thấy ông, ngay từ năm 1853 ([186 a], v. IV, p. 10), phát biểu định lý tổng quát về cấu trúc của các mở rộng Abel của $\mathbf{Q}$ và, điều có lẽ còn đáng chú ý hơn nữa, tạo ra, trong những năm tiếp theo, lý thuyết phép nhân phức và phát hiện những mầm đầu tiên của lý thuyết các trường lớp ([186 a], v. IV, pp. 177-183 và 207-217). Một bức thư của Kronecker gửi Dirichlet; vào năm 1857 ([186 a], v. V, pp. 418-421), cho thấy ông đã vào thời điểm đó sở hữu một sự tổng quát hóa lý thuyết của Kummer, điều này hơn nữa còn được chính Kummer xác nhận trong một trong

chuẩn tương đối của trường $\mathbf{Q}(\sqrt{D}, i)$ trên một trường con bậc hai $\mathbf{Q}[\sqrt{D}]$. Tương tự, Eisenstein, khi nghiên cứu các căn bậc 8 của đơn vị, xét trường mà chúng sinh ra như một mở rộng bậc hai của $\mathbf{Q}(i)$ và sử dụng chuẩn tương đối với trường con này ([102 b], p. 253). Nhưng công trình của Kummer là ví dụ đầu tiên về một nghiên cứu số học sâu sắc của một "trường tương đối".

các công trình của chính ông ([188 e], p. 57), và Kronecker sẽ thường xuyên tham chiếu đến lý thuyết này trong các hồi ký của ông giữa năm 1860 và 1880.7

Nhưng mặc dù vào thời điểm này không một nhà toán học nào của trường phái số học Đức không biết đến công trình này của Kronecker, dường như người sau chỉ truyền đạt các nguyên lý của các phương pháp của mình cho một vòng tròn hạn chế gồm các bạn bè và học trò, và khi cuối cùng ông quyết định công bố chúng, trong hồi ký của ông năm 1881 về biệt thức ([186 a], v. II, pp. 193-236), và đặc biệt trong công trình "Festschrift" lớn năm 1882 của ông ([186 a], v. II, pp. 237-287), Dedekind không thể ngăn mình bày tỏ sự ngạc nhiên ([79], v. III, p. 427), vì đã hình dung những thủ tục hoàn toàn khác từ những tiếng vang mà ông đã nghe được ([79], v. III, p. 287). Ngoài ra Kronecker còn lâu mới có được ở cùng mức độ những năng lực đáng chú ý về trình bày và tính sáng sủa của Dedekind, và do đó không có gì đáng ngạc nhiên khi phần lớn chính các phương pháp của người sau, đã được công bố từ năm 1871, đã tạo thành khuôn khổ của lý thuyết số đại số; thú vị như nó vốn có, phương pháp "phép nối các bất định" của Kronecker, xét về Lý thuyết số, trong mắt chúng ta không còn là gì khác ngoài một biến thể của phương pháp của Dedekind, và chủ yếu theo một hướng khác, hướng tới Hình học Đại số, mà các ý tưởng của Kronecker đã có được toàn bộ tầm quan trọng của chúng đối với lịch sử của Đại số giao hoán, như chúng ta sẽ thấy sau này.

Vì những lý do chỉ có thể xuất hiện rõ ràng mãi về sau, bước mở đầu đầu tiên cho mọi nỗ lực xây dựng một lý thuyết tổng quát tất nhiên là sự làm sáng tỏ khái niệm số nguyên đại số. Điều này đã đạt được vào khoảng 1845-1850, mặc dù khá khó xác định chính xác thời điểm nó xuất hiện; dường như có khả năng rằng chính ý tưởng về một hệ ổn định đối với phép cộng và phép nhân (hay, chính xác hơn, điều mà ngày nay chúng ta gọi là một $\mathbf{Z}$-đại số có hạng hữu hạn) đã dẫn đến, một cách ít nhiều có ý thức, định nghĩa tổng quát về các số nguyên đại số: định nghĩa này là tất yếu khi người ta buộc một $\mathbf{Z}$-đại số kiểu $\mathbf{Z}[\theta]$ phải có hạng hữu hạn, theo sự tương tự với vành $\mathbf{Z}[\zeta]$ sinh bởi một nghiệm của đơn vị, vốn nằm ở tâm của những mối quan tâm của các nhà số học thời đó. Vì vậy, khi, một cách độc lập, Dirichlet ([92], v. I, p. 640), Hermite ([159], v. I, pp. 115 and 146) và Eisenstein ([102 c], p. 236) đưa vào khái niệm số nguyên đại số, họ dường như không xem rằng nó bao gồm một ý tưởng mới cũng như không tin rằng việc nghiên cứu chi tiết nó là hữu ích; chỉ Eisenstein chứng minh về cơ bản (loc. cit.) rằng tổng và tích của hai số nguyên đại số là các số nguyên đại số, hơn nữa không khẳng định rằng kết quả này là nguyên gốc.

Một điểm được che giấu tốt hơn nhiều là việc xác định các vành mà trong đó người ta có thể hy vọng tổng quát hóa lý thuyết của Kummer. Người sau này, trong chú ý đầu tiên của mình [188 b], không ngần ngại khẳng định rằng ông có thể tìm thấy bằng các phương pháp của mình lý thuyết các dạng toàn phương nhị phân của Gauss bằng cách xét các vành $\mathbf{Z}[\sqrt{D}]$ ($D$ là một số nguyên); ông chưa bao giờ phát triển ý tưởng này, nhưng chắc chắn dường như rằng cả ông lẫn bất kỳ ai trước Dedekind đều không thể thấy rằng

7 Về sự tiến hóa của các ý tưởng của ông về chủ đề này, xem phần mở đầu rất thú vị cho hồi ký của ông năm 1881 về biệt thức ([186 a], v. II, p. 195).

sự phân tích duy nhất thành các nhân tử “iđêan” nguyên tố là không thể thực hiện được trong các vành có dạng $\mathbf{Z}[\sqrt{D}]$ khi $D \equiv 1 \pmod{4}$ (mặc dù ví dụ về các nghiệm bậc ba của đơn vị cho thấy rằng vành $\mathbf{Z}[\rho]$ được xét từ thời Gauss là phân biệt với $\mathbf{Z}[\sqrt{-3}]$).$^8$

Trước Dedekind và Kronecker, các vành duy nhất được nghiên cứu vẫn là các vành kiểu $\mathbf{Z}[\theta]$ hoặc đôi khi một số vành riêng biệt kiểu $\mathbf{Z}[\theta, \theta']$.$^9$

Đối với Kronecker, có thể rằng ý tưởng xét vành của tất cả các số nguyên của một mở rộng đại số lần đầu tiên được gợi ý cho ông bởi việc nghiên cứu các trường hàm đại số, nơi vành này xuất hiện một cách tự nhiên như là tập hợp các hàm “hữu hạn tại một khoảng cách hữu hạn”: trong mọi trường hợp, trong hồi ký năm 1881 của ông về biệt thức (được viết và công bố với Viện Hàn lâm Berlin ngay từ năm 1862), ông nhấn mạnh sự đặc trưng này của các “số nguyên” trong các trường này ([186 a], v. II, pp. 193-236). Dedekind không đưa ra chỉ dẫn nào về nguồn gốc các ý tưởng riêng của ông về điểm này, nhưng từ những công bố đầu tiên của ông về các trường số năm 1871, vành của tất cả các số nguyên của một trường như vậy đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết của ông; cũng chính Dedekind là người làm sáng tỏ quan hệ giữa một vành như vậy và các vành con của nó có cùng trường phân thức, bằng việc đưa vào khái niệm conductor ([79], v. I, pp. 105-157).

Nhưng đó không phải là khó khăn duy nhất. Để khái quát hóa các ý tưởng của Kummer, trước hết cần tránh đi qua trường phân tích, vốn dĩ không thể có bất kỳ tương tự nào trong trường hợp một trường không Abel. Sự vòng vèo này dù sao thoạt nhìn có vẻ rất đáng ngạc nhiên và giả tạo, vì nếu bắt đầu từ đa thức bất khả quy $\Phi_p(X)$ của $\mathbf{Z}[X]$, người ta tự hỏi tại sao Kummer không theo đuổi đến tận cùng những hệ quả lôgic của các ý tưởng của mình, và điều gì đã ngăn cản ông sử dụng lý thuyết về “các số ảo Galois”, vốn rất được biết đến vào thời đó. Trở ngại hiện ra rõ ràng hơn dưới ánh sáng của một nỗ lực khái quát hóa không thành công đã được thực hiện từ năm 1865 bởi Selling, một học trò của Dedekind: cho một đa thức bất khả quy $P \in \mathbf{Z}[X]$, Selling phân tích đa thức tương ứng $\overline{P}(X)$ thành các nhân tử bất khả quy trong $\mathbf{F}_q[X]$; do đó các nghiệm của đa thức này thuộc về một mở rộng hữu hạn $\mathbf{F}_r$ của $\mathbf{F}_q$; nhưng Selling, để định nghĩa theo cùng cách như Kummer số mũ của một “nhân tử iđêan nguyên tố” của $q$ trong một số nguyên của trường các nghiệm của $P(X)$, không ngần ngại nói trong trường $\mathbf{F}_r$ về các đồng dư modulo một lũy thừa của $q$ ([282], p. 26); và một lát sau, khi ông cố gắng giải quyết vấn đề phân nhánh, ông “ghép thêm” vào $\mathbf{F}_r$ “các nghiệm ảo” của một phương trình dạng $x^h = q$ ([282], p. 34). Rõ ràng là những bước táo bạo này (vốn sẽ được biện minh bằng cách thay thế trường hữu hạn $\mathbf{F}_q$ bởi trường $q$-adic) vào thời điểm đó không thể dẫn đến điều gì

$^8$ Mặc dù Kronecker hẳn đã được dẫn dắt đến việc nghiên cứu số học của các vành $\mathbf{Z}[\sqrt{-D}]$ ($D > 0$) bởi công trình của ông về phép nhân phức, ông đã không công bố gì về chủ đề này, và sự đặc trưng của các số nguyên của một trường bậc hai tùy ý $\mathbf{Q}(\sqrt{D})$ lần đầu tiên được đưa ra một cách tường minh bởi Dedekind vào năm 1871 ([79], v. I, pp. 105-106).

$^9$ Ở trên ta đã thấy ví dụ về vành $\mathbf{Z}[\zeta, \mu]$ được đưa vào bởi Kummer [188 e]. Trước đó Eisenstein đã được dẫn dắt đến việc xét một vành con được sinh bởi hai phần tử của vành các số nguyên trong một trường gồm các căn bậc 21 của đơn vị [102 b].

ngoài điều vô nghĩa. May mắn thay Dedekind vừa mới vào năm 1857 ([79], v. I, pp. 40-66), dưới tên gọi “lý thuyết các đồng dư cao cấp”, đã tiếp nhận dưới một dạng khác lý thuyết về các trường hữu hạn:$^{10}$ ông giải thích các phần tử của những trường sau như là các “số dư” của các đa thức trong $\mathbf{Z}[X]$ theo một “môđun kép” gồm các tổ hợp tuyến tính, với các hệ số trong $\mathbf{Z}[X]$, của một số nguyên tố $p$ và một đa thức bất khả quy đơn vị $P \in \mathbf{Z}[X]$ (điều này chắc chắn đối với ông, cũng như đối với Kronecker, là ở những bước đầu của ý tưởng tổng quát về môđun mà họ sẽ độc lập đi đến một thời gian ngắn sau đó). Theo chính lời chứng của ông ([79], v. I, p. 218), có vẻ như Dedekind đã bắt đầu tấn công bài toán về các “nhân tử iđêan” của $p$ trong một trường $\mathbf{Q}(\xi)$, trong đó $P \in \mathbf{Z}[X]$ là đa thức tối tiểu của $\xi$, theo cách sau (ít nhất trong trường hợp “không phân nhánh”), nghĩa là khi trong $\mathbf{F}_p[X]$ đa thức $\overline{P}$ tương ứng với $P$ không có các nghiệm bội): ta viết, trong $\mathbf{Z}[X]$,

trong đó các $\overline{P}_i$ là bất khả quy và phân biệt trong $\mathbf{F}_p[X]$; có thể giả sử rằng $G$ không chia được (trong $\mathbf{Z}[X]$) bởi bất kỳ $P_i$ nào và với mọi $i$, ta đặt $W_i = \prod_{j \neq i} P_j$; khi đó, nếu $f \in \mathbf{Z}[X]$, ta sẽ nói rằng $f(\xi)$ chứa “nhân tố iđêan” $p_i$ của $p$ tương ứng với $P_i$ $k$ lần nếu ta có

và

Mối liên hệ với phương pháp được Kummer sử dụng cho các “trường Kummer” hiện ra rõ ràng ở đây, và người ta cũng có thể, bằng cách này, dễ dàng quay trở lại định nghĩa ban đầu của Kummer đối với các trường cyclotomic (xem chẳng hạn công trình của Zolotareff [343], người mà ban đầu độc lập với Dedekind, đã phát triển các ý tưởng này một thời gian ngắn sau đó).

Tuy nhiên cả Dedekind, lẫn Kronecker, người dường như cũng đã thực hiện những nỗ lực tương tự, đều không tiếp tục đi xa hơn trên con đường này, cả hai đều dừng lại trước những khó khăn do sự phân nhánh đặt ra ([79], v. I, p. 218 và [186 a], v. II, p. 325).$^{11}$ Nếu vành các số nguyên $A$ của một trường số $K$ được xét như là thừa nhận một cơ sở (trên $\mathbf{Z}$) gồm các lũy thừa của cùng một số nguyên $\theta$, thì không khó để khái quát hóa phương pháp trước đó cho các số nguyên tố phân nhánh trong $\mathbf{Z}[\theta]$ (như Zolotareff chỉ ra (loc. cit.)). Nhưng có những trường $K$ trong đó không tồn tại cơ sở kiểu này trong vành $A$; và Dedekind thậm chí còn đi đến việc phát hiện rằng có những trường hợp trong đó một số số nguyên tố $p$ (các “nhân tử đặc biệt của biệt thức” của trường $K$) là những số sao cho, bất kể

$^{10}$ Người ta biết rằng một số kết quả của lý thuyết đó, được Galois công bố đầu tiên, đã được Gauss thu được (bằng ngôn ngữ của các đồng dư) vào khoảng năm 1800; sau cái chết của Gauss, Dedekind đã tự đặt cho mình nhiệm vụ công bố một phần công trình của ông và đặc biệt đã tìm lại trong các giấy tờ Gauss để lại bản hồi ký về các trường hữu hạn ([124 a] v. II, pp. 212-240). $^{11}$ Zolotareff vượt qua khó khăn bằng một sự hoàn thiện phương pháp của mình, phương pháp dường như từ nay không còn có một mối quan tâm nào khác ngoài tính giai thoại [343].

với $\theta \in A$, việc áp dụng phương pháp trước đó cho đa thức tối tiểu của $\theta$ trên $\mathbf{Q}$ sẽ dẫn đến việc gán cho $p$ các nhân tử iđêan bội, trong khi thực tế $p$ không phân nhánh trong $A$;$^{12}$ ông thừa nhận đã bị dừng lại trong một thời gian dài bởi khó khăn không dự kiến này, trước khi thành công trong việc vượt qua nó bằng cách xây dựng toàn bộ lý thuyết các môđun và iđêan, được trình bày một cách bậc thầy (và đã hoàn toàn hiện đại, trái ngược với phong cách dài dòng của những người cùng thời với ông) trong tác phẩm có lẽ là kiệt tác của ông, "phần bù XI" nổi tiếng của cuốn sách về lý thuyết số của Dirichlet ([79], v. III, pp. 1-222). Công trình này sẽ có ba phiên bản liên tiếp, nhưng ngay từ phiên bản đầu tiên (được công bố dưới tên "phần bù X" của lần xuất bản thứ hai cuốn sách của Dirichlet năm 1871) những phần cốt yếu của phương pháp đã có sẵn, và gần như trong một bước duy nhất lý thuyết các số đại số chuyển từ những phác thảo và những thử nghiệm ban đầu sang một ngành đã hoàn toàn trưởng thành và đã sở hữu các công cụ cốt yếu của mình: ngay từ đầu, vành của tất cả các số nguyên của một trường số được đặt ở tâm của lý thuyết; Dedekind chứng minh sự tồn tại của một cơ sở của vành này trên $\mathbf{Z}$, và suy ra từ đó định nghĩa của biệt thức của một trường, như là bình phương của định thức gồm các phần tử của một cơ sở của vành các số nguyên và các phần tử liên hợp của chúng; tuy nhiên, trong phần bù XI ông chỉ đưa ra một đặc trưng của các số nguyên tố phân nhánh (như các nhân tử nguyên tố của biệt thức) cho các trường bậc hai ([79] v. III, p. 202), trong khi ông đã biết định lý tổng quát từ năm 1871.$^{13}$ Kết quả trung tâm của công trình là định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của phân tích các iđêan thành các nhân tử nguyên tố, mà để có nó Dedekind bắt đầu bằng cách phát triển một lý thuyết sơ cấp về "các môđun"; thực tế, trong phần bù XI, ông dành tên gọi này cho các môđun con $\mathbf{Z}$ của một trường số, nhưng quan niệm mà ông xây dựng về nó và các kết quả mà ông chứng minh đã được trình bày theo một cách ngay lập tức áp dụng được cho các môđun tổng quát nhất;$^{14}$ ta phải chú ý trong số những điều khác, từ năm 1871, việc đưa vào khái niệm "thương Noether", khái niệm giữ một vai trò quan trọng (cũng như "điều kiện dây chuyền tăng") trong chứng minh đầu tiên của sự phân tích nhân tử duy nhất. Trong hai lần xuất bản tiếp theo, Dedekind còn đưa ra hai chứng minh khác của định lý này, mà ông coi một cách chính đáng là viên đá góc của lý thuyết này. Cần ghi nhận ở đây rằng chính trong chứng minh thứ ba các iđêan phân thức xuất hiện (đã được Kummer đưa vào từ năm 1859 cho các trường cyclotomic) và sự kiện rằng chúng tạo thành một nhóm; ta sẽ trở lại sau với chứng minh thứ hai (p. 107).

$^{12}$ Kronecker nói rằng ông đã gặp cùng hiện tượng đó trong một trường con của trường các căn bậc 13 của đơn vị, tuy nhiên ông không đi sâu hơn vào điều này ([186 a], v. II, p. 384). Ví dụ về nhân tử đặc biệt của biệt thức do Dedekind đưa ra được xử lý chi tiết trong [150 d], p. 333; một ít lâu sau, Hasse đưa ra một ví dụ về một trường $K$ trong đó không có nhân tử đặc biệt của biệt thức, nhưng trong đó không tồn tại $\theta \in A$ sao cho $A = \mathbf{Z}[\theta]$ ([150 d], p. 335). $^{13}$ Ông chỉ công bố chứng minh của định lý này trong hồi ký năm 1882 của ông về phần tử phân biệt ([79], v. I, pp. 351-396). $^{14}$ Trong hồi ký năm 1882 của ông về các đường cong đại số (cùng với H. Weber) [80], ông sử dụng theo cùng cách lý thuyết các môđun trên vành $\mathbf{C}[X]$.

Tất cả các kết quả này (cho đến ngôn ngữ được sử dụng) chắc chắn đã được Kronecker biết đến vào khoảng năm 1860 như những trường hợp riêng của các khái niệm tổng quát hơn của ông mà ta sẽ nói đến sau (trong khi Dedekind thừa nhận đã không vượt qua được những khó khăn cuối cùng của lý thuyết cho đến năm 1869-1870 ([79], v. I, p. 351));$^{15}$ đối với các trường số, ta phải đặc biệt nhấn mạnh rằng, từ thời điểm này, Kronecker biết rằng toàn bộ lý thuyết có thể áp dụng mà không có bất kỳ thay đổi cốt yếu nào khi ta rời khỏi một "trường cơ sở" $k$ vốn là một trường số (khác với $\mathbf{Q}$), một quan điểm mà lý thuyết phép nhân phức tự nhiên dẫn đến; ông cũng đã nhận ra, đối với một số trường $k$, sự tồn tại của các mở rộng đại số $K \neq k$ không phân nhánh trên $k$ ([186 a], v. II, p. 269), điều không thể xảy ra đối với $k = \mathbf{Q}$ (như suy ra từ kết quả của Hermite và Minkowski đối với biệt thức). Dedekind sẽ không bao giờ phát triển quan điểm cuối cùng này (mặc dù ông chỉ ra khả năng của nó trong hồi ký năm 1882 về phần tử phân biệt), và trình bày có hệ thống đầu tiên của lý thuyết "các trường tương đối" là do Hilbert ([163 a], v. I, pp. 63-363).

Cuối cùng, năm 1882 ([79], v. I, pp. 359-396), Dedekind hoàn thiện lý thuyết bằng cách đưa vào phần tử phân biệt, điều này cho ông một định nghĩa mới về biệt thức và cho phép ông xác định các số mũ của các nhân tử iđêan nguyên tố trong phân tích của biệt thức đó. Cũng vào khoảng thời gian này ông bắt đầu quan tâm đến các điểm riêng biệt được đưa ra bởi các mở rộng Galois, đưa vào các khái niệm nhóm phân tích và nhóm quán tính (trong một hồi ký ([79], v. II, pp. 43-48) chỉ được công bố năm 1894), và thậm chí (trong các công trình chưa được công bố trong suốt cuộc đời ông ([79], v. II, pp. 410-411)) một phác thảo về các nhóm phân nhánh, mà Hilbert (độc lập với Dedekind) sẽ phát triển ít lâu sau ([163 a], v. I, pp. 13-23 and 63-363).

Vào khoảng năm 1895, Lý thuyết số đại số đã hoàn thành giai đoạn phát triển thứ nhất của nó; các công cụ được rèn nên trong thời kỳ hình thành này sẽ cho phép nó gần như ngay lập tức xử lý giai đoạn tiếp theo, lý thuyết tổng quát về các trường lớp (hay, điều tương đương, lý thuyết về các mở rộng Abel của các trường số) được tiếp tục cho đến ngày nay và chúng ta không cần mô tả ở đây. Theo quan điểm của Đại số giao hoán, có thể nói rằng đồng thời lý thuyết về các vành Dedekind trên thực tế đã được hoàn tất, ngoại trừ việc đặc trưng tiên đề của chúng, cũng như cấu trúc của các môđun kiểu hữu hạn trên các vành này (mà, trong trường hợp các trường số, chỉ được Steinitz làm sáng tỏ về thực chất vào năm 1912 [294 b]).$^{16}$

Sự tiến triển tiếp theo của Đại số giao hoán sẽ nảy sinh trên hết từ những vấn đề hoàn toàn khác, xuất phát từ Hình học đại số (môn này,

$^{15}$ Tuy nhiên Kronecker đã không thành công, bằng các phương pháp của mình, trong việc thu được đặc trưng đầy đủ của các iđêan phân nhánh trong trường hợp các trường số. Mặt khác, ông có đặc trưng này đối với trường các hàm đại số của một biến, và cũng chứng minh rằng trong trường hợp này không có "nhân tử ngoại lệ" của biệt thức ([186 a], v. II, pp. 193-236).

$^{16}$ Việc nghiên cứu các môđun trên một trường các số nguyên đại số đã được Dedekind bắt đầu ([79], v. II, pp. 59-85).

ngoài ra còn ảnh hưởng một cách trực tiếp đến Lý thuyết số, ngay cả trước những phát triển "trừu tượng" của thời đại đương đại).

Chúng ta sẽ không trình bày lịch sử chi tiết của Hình học đại số ở đây, môn học mà cho đến cái chết của Riemann hầu như không chạm đến chủ đề của chúng ta. Chỉ cần nhớ rằng mục tiêu chủ yếu của nó là nghiên cứu các đường cong đại số trong mặt phẳng xạ ảnh phức, thường được tiếp cận nhất bằng các phương pháp của hình học xạ ảnh (có hoặc không sử dụng tọa độ). Song song với đó, cùng với Abel, Jacobi, Weierstrass và Riemann, lý thuyết về các "hàm đại số" của một biến phức và các tích phân của chúng đã phát triển; mối liên hệ giữa lý thuyết này và hình học của các đường cong đại số phẳng hiển nhiên nằm trong suy nghĩ của họ, và khi đó người ta đã biết cách "áp dụng Giải tích vào Hình học"; nhưng các phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các hàm đại số chủ yếu có bản chất "siêu việt", ngay cả trước Riemann;$^{17}$ đặc điểm này càng được nhấn mạnh hơn trong công trình của người sau, với việc đưa vào các "mặt Riemann" và các hàm giải tích tùy ý được xác định trên một mặt như vậy. Gần như ngay lập tức sau cái chết của Riemann, Roch và đặc biệt là Clebsch, đã nhận ra khả năng rút ra từ những kết quả sâu sắc thu được bằng các phương pháp siêu việt của Riemann nhiều ứng dụng đáng chú ý đối với hình học xạ ảnh của các đường cong, điều này tự nhiên sẽ khuyến khích các nhà hình học đương thời đưa ra những chứng minh thuần túy "hình học" cho các kết quả này; chương trình này, được Clebsch và Gordan theo đuổi chưa đầy đủ, đã được Brill và M. Noether hoàn thành vài năm sau [37], bằng việc nghiên cứu các hệ các điểm biến trên một đường cong đã cho và các đường cong phụ ("adjoin") đi qua các hệ điểm như vậy. Nhưng ngay cả đối với những người đương thời, các phương pháp siêu việt của Riemann (và đáng chú ý là việc ông sử dụng các khái niệm tôpô và "nguyên lý Dirichlet") dường như dựa trên những nền tảng không chắc chắn; và mặc dù Brill và Noether cẩn thận hơn phần lớn các nhà hình học "tổng hợp" đương thời (xem sau p. 106), các lập luận hình học-giải tích của họ không tránh khỏi mọi lời chỉ trích. Chính yếu là nhằm cung cấp cho lý thuyết các đường cong đại số phẳng một cơ sở vững chắc mà Dedekind và Weber công bố năm 1882 hồi ký lớn của họ về chủ đề này [80]: "Các nghiên cứu được công bố ở đây", họ nói, "có mục tiêu là nêu ra các nền tảng của lý thuyết về các hàm đại số của một biến, một trong những sáng tạo chính của Riemann, theo một cách đồng thời đơn giản, nghiêm ngặt và hoàn toàn tổng quát. Trong những nghiên cứu sau này về chủ đề này,

$^{17}$ Tuy nhiên cần lưu ý rằng Weierstrass; trong nghiên cứu của ông về các hàm Abel (bắt đầu từ năm 1857 nhưng chỉ được trình bày trong các bài giảng của ông vào khoảng năm 1865 và chỉ được xuất bản trong Tuyển tập công trình của ông ([329 a], v. IV)), đưa ra, trái với Riemann, một định nghĩa đại số thuần túy về giống của một đường cong như là số nguyên nhỏ nhất $p$ sao cho có các hàm hữu tỉ trên đường cong có cực tại $p+1$ điểm đã cho tùy ý. Điều thú vị cần chỉ ra là, khi tìm cách thu được các phần tử thay thế cho ông các hàm chỉ có một cực duy nhất trên đường cong, Weierstrass, trước khi cuối cùng sử dụng các hàm siêu việt cho mục đích này, đã, như Kronecker làm chứng ([186 a], v. II, p. 197), khuyến khích người sau mở rộng sang các hàm đại số của một biến những kết quả mà ông vừa thu được vào thời điểm đó liên quan đến các trường số (các "nhân tử iđêan nguyên tố" thực sự đóng vai trò mà Weierstrass mong muốn).

các giả thiết hạn chế về các điểm kỳ dị của các hàm đang được xét thường được đặt ra, và các trường hợp ngoại lệ giả định hoặc được nhắc đến qua loa như những trường hợp giới hạn, hoặc hoàn toàn bị bỏ qua. Cũng theo cách ấy, người ta giả định một số định lý cơ bản về tính liên tục hoặc tính giải tích, mà "bằng chứng" dựa vào những trực giác hình học thuộc nhiều loại khác nhau" ([80], p. 181).18 Ý tưởng cốt yếu trong công trình của họ là sao chép lý thuyết các hàm đại số của một biến sang lý thuyết các số đại số như nó vừa được Dedekind phát triển; để làm điều này, trước hết họ phải tự đặt mình vào quan điểm "afin" (đối lập với những người cùng thời với họ, những người luôn coi các đường cong đại số như được nhúng trong không gian xạ ảnh phức): do đó họ bắt đầu từ một mở rộng đại số hữu hạn $K$ của trường $\mathbf{C}(X)$ các phân thức hữu tỉ, và từ vành $A$ gồm các "hàm đại số nguyên" trong $K$, tức là từ các phần tử của trường này là số nguyên trên vành $\mathbf{C}[X]$ các đa thức; kết quả cơ bản của họ, thu được mà không sử dụng bất kỳ xem xét tôpô nào,19 là $A$ là một vành Dedekind, trong đó áp dụng mutatis mutandis (và thậm chí, như Dedekind và Weber nhận xét mà chưa thấy rõ lý do ([79], v. I, p. 268), theo một cách đơn giản hơn) tất cả các kết quả của "phần bù XI". Sau đó, họ chứng minh rằng các định lý của họ thực ra là bất biến song hữu tỉ (nói cách khác, chỉ phụ thuộc vào trường $K$) và đặc biệt không phụ thuộc vào lựa chọn "đường thẳng ở vô cực" được thực hiện lúc đầu. Điều chắc chắn còn thú vị hơn đối với chúng ta là, khi muốn định nghĩa các điểm của "mặt Riemann" tương ứng với $K$ (và đặc biệt là các "điểm ở vô cực", vốn không thể tương ứng với các iđêan của $A$), họ được dẫn đến việc đưa vào khái niệm một "vị trí" của trường $K$: họ gặp phải tình huống mà Gelfand sẽ gặp lại vào năm 1940 khi xây dựng lý thuyết các đại số chuẩn, cụ thể là một tập hợp $K$ các phần tử không được cho trước như các hàm, nhưng dù vậy người ta vẫn muốn có thể xem chúng như vậy; và, để thu được tập hợp xác định của các hàm giả định này, lần đầu tiên họ có ý tưởng (mà Gelfand sẽ sử dụng lại, và ý tưởng này đã trở nên tẻ nhạt vì được sử dụng ở mọi nơi trong toán học hiện đại) gắn với một điểm $x$ của một tập hợp $E$ và với một tập hợp $\mathscr{F}$ các ánh xạ của $E$ vào một tập hợp $G$ ánh xạ

18 Người ta biết rằng, bất chấp những nỗ lực của Dedekind, Weber và Kronecker, sự nới lỏng trong khái niệm về điều tạo thành một chứng minh đúng, vốn đã có thể nhận thấy trong trường phái Hình học Đức những năm 1870-1880, chỉ ngày càng trở nên tệ hơn trong công trình của các nhà hình học Pháp và đặc biệt là các nhà toán học Ý thuộc hai thế hệ tiếp theo, những người, theo các nhà hình học Đức, và khi phát triển các phương pháp của họ, đã tấn công lý thuyết các mặt đại số: một "vụ bê bối" bị các nhà đại số lên án nhiều lần (đặc biệt từ năm 1920), nhưng cũng không phải là không được biện minh ở một mức độ nào đó bởi những thành công rực rỡ thu được từ các phương pháp "không nghiêm ngặt" này, trái ngược với thực tế rằng, cho đến khoảng năm 1940, những người kế tục chính thống của Dedekind tỏ ra không có khả năng phát biểu đủ linh hoạt và mạnh mẽ các khái niệm đại số cho phép họ đưa ra những chứng minh đúng đắn cho các kết quả này. 19 Họ nhấn mạnh rằng, nhờ sự kiện này, tất cả các kết quả này vẫn đúng khi thay thế trường $\mathbf{C}$ bằng trường của tất cả các số đại số ([79], v. I, p. 240).

$f \mapsto f(x)$ của $\mathscr{F}$ vào $G$, nói cách khác là xét, trong biểu thức $f(x)$, $f$ như một biến và $x$ như một phần tử cố định, trái với truyền thống cổ điển. Cuối cùng, bắt đầu từ khái niệm vị trí, họ không gặp khó khăn gì trong việc định nghĩa các "ước dương" ("Polygone" theo thuật ngữ của họ), những thứ làm tinh chỉnh khái niệm iđêan của $A$ và tương ứng với các "hệ điểm" của Brill và Noether; nhưng, mặc dù họ viết các ước chính và các ước vi phân dưới dạng các "thương" của các ước dương, họ không đưa ra định nghĩa tổng quát về các ước, và chỉ đến năm 1902 Hensel và Landsberg mới đưa vào, tương tự với các iđêan phân thức, khái niệm này, một khái niệm luôn gây khó khăn cho những người nắm giữ các phương pháp thuần túy "hình học" (bị buộc, trái với ý muốn của mình, phải định nghĩa chúng dưới tên gọi "các hệ ảo", nhưng bị cản trở vì không thể cho chúng một cách hiểu "cụ thể").

Năm 1882 cũng chứng kiến sự xuất hiện của hồi ký lớn của Kronecker được chờ đợi trong hơn 20 năm ([186 a], v. II, pp. 237-387). Tham vọng hơn nhiều so với công trình của Dedekind-Weber, đáng tiếc nó cũng mơ hồ và tối nghĩa hơn nhiều. Chủ đề trung tâm của ông là (theo ngôn ngữ hiện đại) việc nghiên cứu các iđêan của một đại số nguyên hữu hạn trên một trong các vành đa thức $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ hoặc $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$; Kronecker tự giới hạn $a$ priori vào những iđêan trong các iđêan này có kiểu hữu hạn (sự kiện rằng tất cả chúng đều thuộc loại này chỉ được chứng minh sau đó (đối với các iđêan của $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ vài năm bởi Hilbert trong quá trình ông nghiên cứu các bất biến ([163 a], v. II, pp. 199-257)). Đối với $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ hoặc $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$, người ta tự nhiên được dẫn đến việc gắn với mỗi iđêan của một trong các vành này "đa tạp đại số" gồm các không điểm chung của tất cả các phần tử của iđêan; và các nghiên cứu hình học trong 2 hoặc 3 chiều được thực hiện trong suốt thế kỷ XIX sẽ trực giác dẫn đến ý tưởng rằng mọi đa tạp là hợp của các đa tạp "bất khả quy", có số lượng hữu hạn, mà các "chiều" của chúng không nhất thiết giống nhau. Dường như chứng minh của sự kiện này là mục tiêu mà Kronecker tự đặt ra, mặc dù ông không phát biểu nó một cách tường minh ở bất cứ đâu, và không nơi nào trong hồi ký của ông có thể tìm thấy bất kỳ định nghĩa nào về "đa tạp bất khả quy" cũng như về "chiều". Thực tế ông chỉ giới hạn ở việc chỉ ra một cách vắn tắt rằng một phương pháp khử tổng quát$^{20}$ cho, bắt đầu từ một hệ các phần tử sinh của iđêan đang xét, một số hữu hạn các đa tạp đại số, với mỗi đa tạp trong số đó, trong một hệ tọa độ thích hợp, một số lượng nhất định các

$^{20}$ Bằng một sự thay đổi tuyến tính của tọa độ, có thể giả sử rằng các phần tử sinh $F_i$ ($1 \leq r \leq r$) của iđêan là các đa thức mà số hạng có bậc cao nhất theo $X_1$ có dạng $c_i X_1^{m_i}$, trong đó $c_i$ là một hằng $\neq 0$. Cũng có thể giả sử rằng các $F_i$ không có nhân tử chung. Khi đó xét đối với $2r$ biến bất định $u_i, v_i$ ($1 \leq i \leq r$) các đa thức $\sum_{i=1}^r u_i F_i$ và $\sum_{i=1}^r v_i F_I$ như các đa thức theo $X_i$; ta tính kết quả Sylvester của chúng, là một đa thức theo các $u_i$ và $v_i$, với các hệ số trong $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ (tương ứng $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$); bằng cách triệt tiêu các hệ số này, thu được một hệ phương trình mà các nghiệm $(x_2, \ldots, x_n)$ chính xác là các phép chiếu của các nghiệm $(x_1, \ldots, x_n)$ của hệ phương trình $F_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0$ ($1 \leq i \leq r$). Khi đó có thể tiếp tục việc áp dụng phương pháp bằng quy nạp theo $n$.

các tọa độ là tùy ý và các tọa độ còn lại là các "hàm đại số". Nhưng, nếu thật sự là sự phân tích thành các đa tạp bất khả quy mà Kronecker nhắm tới, thì phải thừa nhận rằng ông chỉ thành công trong trường hợp sơ cấp của một iđêan chính, trong đó ông chứng minh một cách cơ bản, bằng cách mở rộng một bổ đề cổ điển của Gauss về $\mathbf{Z}[X]$ ([124 a], v. I, p. 34), rằng các vành $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ và $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$ là các miền phân tích duy nhất; và, trong trường hợp tổng quát, thậm chí có thể đặt câu hỏi liệu vào thời điểm đó Kronecker đã có khái niệm về iđêan nguyên tố hay chưa (cái mà ông gọi là "Primmodulsystem" là một iđêan không phân tích được thành tích của hai iđêan khác ([186 a], v. II, p. 336); điều này càng đáng ngạc nhiên hơn vì định nghĩa do Dedekind đưa ra từ năm 1871 hoàn toàn tổng quát). Tuy nhiên, ít lâu sau đó, Kronecker đã sửa chữa sự sơ suất này.

Tuy nhiên cần nói rằng phương pháp khử của Kronecker, khi được áp dụng thích hợp, dẫn chính xác đến sự phân tích một đa tạp đại số thành các thành phần bất khả quy của nó: đó là điều được E. Lasker thiết lập rõ ràng ở đầu hồi ký lớn năm 1905 của ông về các iđêan của đa thức [194]; ông định nghĩa đúng khái niệm đa tạp bất khả quy (trong $\mathbf{C}^n$) như một đa tạp đại số $V$ sao cho tích của hai đa thức không thể bằng không trên toàn bộ đa tạp $V$ trừ khi một trong hai đa thức bằng không trên nó, và cũng có một định nghĩa về chiều độc lập với các trục được chọn. Trong các nhận xét lịch sử thú vị mà ông đưa vào công trình này, mặt khác Lasker chỉ ra rằng ông liên hệ không chỉ với khuynh hướng đại số thuần túy của Kronecker và Dedekind, mà còn với các vấn đề được đặt ra bởi các phương pháp hình học của trường phái Clebsch và M. Noether, và đặc biệt với định lý nổi tiếng do người sau chứng minh năm 1873 [239]. Về cơ bản, nó gồm, như chúng ta nói ngày nay, việc xác định iđêan $a$ của các đa thức của $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ triệt tiêu trên các điểm của một tập hợp đã cho $M$ trong $\mathbf{C}^n$; thông thường nhất $M$ là "đa tạp đại số" của các không điểm chung của một số hữu hạn các đa thức $f_i$, và trong một thời gian dài dường như người ta đã giả thiết (tất nhiên không có chứng minh) rằng, ít nhất đối với $n = 2$ hoặc $n = 3$, iđêan $a$ đơn giản là được sinh bởi các $f_i$; M. Noether đã chỉ ra rằng ngay đối với $n = 2$ và đối với hai đa thức $f_1, f_2$, điều này nói chung là không đúng, và ông đã đưa ra các điều kiện đủ để $a$ được sinh bởi $f_1$ và $f_2$. Mười năm sau, Netto chứng minh rằng, không có bất kỳ giả thiết nào về $f_1$ và $f_2$, một lũy thừa của $a$ trong mọi trường hợp được chứa trong iđêan sinh bởi $f_1$ và $f_2$ [231], một định lý mà Hilbert tổng quát hóa năm 1893 trong "định lý không điểm" nổi tiếng của ông ([163 a], v. II, pp. 287-344). Không còn nghi ngờ gì rằng, được truyền cảm hứng bởi kết quả này Lasker, trong hồi ký của mình, đưa-

21 Đó là số các tọa độ tùy ý mà ông gọi là chiều ("Stufe"). 22 Xem các nhận xét của M. Noether ở phần đầu hồi ký của ông [239]. Điều đáng chú ý về điểm này là, theo Lasker, Cayley, vào khoảng năm 1860, đã phỏng đoán rằng đối với mọi đường cong đại số trái trong $\mathbf{C}^3$, có một số hữu hạn các đa thức sinh iđêan của các đa thức của $\mathbf{C}[X, Y, Z]$ triệt tiêu trên đường cong (nói cách khác, một trường hợp riêng của định lý hữu hạn của Hilbert ([163 a], v. II, pp. 199-257)).

đưa ra khái niệm tổng quát về iđêan nguyên sơ$^{23}$ trong các vành $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_n]$ và $\mathbf{Z}[X_1, \ldots, X_n]$ (sau khi đã đưa ra trong các vành này định nghĩa về các iđêan nguyên tố, bằng cách chép lại định nghĩa của Dedekind), và chứng minh$^{24}$ sự tồn tại của một phân tích nguyên sơ cho mọi iđêan trong các vành này.$^{25}$ Ông dường như không quan tâm đến các vấn đề về tính duy nhất của phân tích này; chính Macaulay, ít lâu sau [211], đã đưa ra sự phân biệt giữa các iđêan nguyên sơ "nhúng" và "không nhúng" và chỉ ra rằng các iđêan sau được xác định một cách duy nhất, nhưng các iđêan trước thì không. Cuối cùng cần lưu ý rằng Lasker cũng mở rộng các kết quả của mình tới vành các chuỗi nguyên hội tụ trong lân cận của một điểm, dựa vào "định lý chuẩn bị" của Weierstrass. Phần này của hồi ký của ông chắc chắn là nơi đầu tiên mà vành này đã được xét từ quan điểm đại số thuần túy, và các phương pháp mà Lasker phát triển cho mục đích này đã ảnh hưởng mạnh đến Krull khi vào năm 1938 ông tạo ra lý thuyết tổng quát về các vành địa phương (cf. [187 h], pp. 204 và passim).

Sự vận động của các ý tưởng sẽ kết thúc bằng Đại số giao hoán hiện đại bắt đầu hình thành vào khoảng năm 1910. Nếu khái niệm tổng quát về một trường đã có được ngay từ đầu thế kỷ XX, thì ngược lại công trình đầu tiên trong đó khái niệm tổng quát về một vành được định nghĩa chắc chắn là công trình của Fraenkel năm 1914 [113 a]. Vào thời điểm đó, đã có những ví dụ về các vành, không chỉ là các vành nguyên của Lý thuyết số và của Đại số

$^{23}$ Các ví dụ về những iđêan nguyên sơ không phải là lũy thừa của các iđêan nguyên tố đã được Dedekind gặp trong các "order", tức là các vành của các số đại số có một trường số cho trước làm trường phân thức ([79], v. III, p. 306). Kronecker cũng đưa ra như một ví dụ về một iđêan "không phân tích được" thành tích của hai iđêan khác không tầm thường, iđêan của $\mathbf{Z}[X]$ sinh bởi $p^2$ và $X^2 + p$, trong đó $p$ là một số nguyên tố (một iđêan nguyên sơ đối với iđêan nguyên tố sinh bởi $X$ và $p$ ([186 a], v. II, p. 341)). $^{24}$Lasker tiến hành bằng quy nạp theo chiều cực đại $h$ của các thành phần bất khả quy của đa tạp $V$ các điểm không của iđêan $a$ đang xét. Theo thuật ngữ hiện đại, trước hết ông xét các iđêan nguyên tố $p_i$ ( $1 \leq i \leq r$) chứa $a$ tương ứng với các thành phần bất khả quy có chiều cực đại $h$ của $V$. Với mỗi $p_i$, ông liên hệ iđêan bão hòa $q_i$ của $a$ đối với $p_i$; sau đó ông xét thương Noether $b_i = a : q_i$ của $q_i$ trong $a$, lấy trong $\sum_i b_i$ một phần tử $c$ không thuộc bất kỳ iđêan nào trong các $p_i$ và chỉ ra một mặt rằng $a$ là giao của các $q_i$ và của $a + (c) = a'$, mặt khác rằng đa tạp $V'$ các điểm không của $a'$ chỉ có các thành phần bất khả quy có chiều $\leq h - 1$, điều này cho phép ông kết luận bằng quy nạp. $^{25}$Điều đáng chú ý là chứng minh thứ hai của Dedekind cho định lý phân tích duy nhất tiến hành bằng cách thiết lập trước tiên sự tồn tại của một phân tích nguyên sơ rút gọn duy nhất; và trong một phần không được công bố trong phụ trương XI, Dedekind nhận xét một cách tường minh rằng phần này của chứng minh có giá trị không chỉ đối với vành $A$ của tất cả các số nguyên trong trường số $K$, mà còn đối với tất cả các "order" của $K$ ([79], v. III, p. 303). Chỉ sau đó, sau khi đã chứng minh một cách tường minh rằng $A$ là "đóng nguyên hoàn toàn" (theo thuật ngữ), ông mới chỉ ra bằng cách sử dụng sự kiện này rằng các iđêan nguyên sơ của phân tích trước đó thực sự là các lũy thừa của các iđêan nguyên tố ([79], v. III, p. 307).

Hình học, mà còn các vành của chuỗi (hình thức hoặc hội tụ), và cuối cùng là các đại số (giao hoán hoặc không) trên một trường cơ sở. Tuy nhiên, đối với cả lý thuyết về các vành lẫn lý thuyết về các trường, vai trò xúc tác dường như đã được đóng bởi lý thuyết về các số $p$-adic của Hensel, mà Fraenkel cũng như Steinitz [294 a] đặc biệt nhắc đến như điểm xuất phát cho các nghiên cứu của họ.

Ấn phẩm đầu tiên của Hensel về chủ đề này có từ năm 1897; trong đó ông xuất phát từ phép tương tự được Dedekind và Weber làm sáng tỏ giữa các điểm của một mặt Riemann của một trường các hàm đại số $K$ và các iđêan nguyên tố của một trường số $k$; ông đề xuất chuyển vào Lý thuyết số các "khai triển Puiseux" (cổ điển từ giữa thế kỷ XIX) mà, trong lân cận của một điểm tùy ý của một mặt Riemann của $K$, cho phép ta biểu diễn mọi phần tử $x \in K$ dưới dạng một chuỗi hội tụ các lũy thừa của "phần tử chuẩn hoá" tại điểm đang xét (một chuỗi chỉ có một số hữu hạn số hạng với số mũ âm). Hensel chứng minh theo cùng một hướng rằng nếu $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của $k$ nằm trên một số nguyên tố $p$, ta có thể gắn với mỗi $x \in k$ một "chuỗi $p$-adic" có dạng $\sum_i \alpha_i p^i$ (hoặc $\sum_i \alpha_i p^{i/e}$ khi $\mathfrak{p}$ phân nhánh trên $p$) trong đó các $\alpha_i$ được lấy từ một hệ các đại diện đã cho của trường thương của iđêan $\mathfrak{p}$; nhưng tính độc đáo lớn của ông là đã có ý tưởng xét những "khai triển" như vậy ngay cả khi chúng không tương ứng với bất kỳ phần tử nào của $k$, bằng phép tương tự với các khai triển thành chuỗi nguyên của các hàm siêu việt trên một mặt Riemann [157 a].

Trong toàn bộ sự nghiệp tiếp theo của mình, Hensel sẽ dành tâm sức để mài giũa và hoàn thiện từng chút một phép tính mới của ông; và nếu cách tiếp cận của ông có thể đối với chúng ta dường như do dự hoặc nặng nề, thì không được quên rằng ít nhất vào lúc ban đầu ông vẫn chưa có sẵn bất kỳ công cụ tôpô hay đại số nào của toán học hiện đại có thể làm thuận lợi cho công việc của ông. Trong các ấn phẩm đầu tiên của mình, ông hầu như không bao giờ nói đến các khái niệm tôpô, và tóm lại, đối với ông, vành các số $p$-adic ($\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố của vành các số nguyên $A$ của một trường số $k$), theo thuật ngữ hiện đại, là giới hạn xạ ảnh của các vành $A/p^n$ khi $n$ tiến tới vô hạn, với một ý nghĩa thuần túy đại số; và để thiết lập các tính chất của vành này và trường phân thức của nó, ông phải ở mỗi bước sử dụng một cách ít nhiều khó khăn các lập luận $ad\ hoc$ (ví dụ để chứng minh rằng các số $p$-adic tạo thành một miền nguyên). Ý tưởng đưa vào các khái niệm tôpô trong một trường $p$-adic hầu như không xuất hiện ở Hensel trước năm 1905 [157 d]; và chỉ vào năm 1907, sau khi đã hoàn thành việc viết cuốn sách trong đó ông trình bày lại lý thuyết về các số đại số theo các ý tưởng của mình [157 f], ông mới đạt tới định nghĩa và các tính chất cốt yếu của các giá trị tuyệt đối $p$-adic [157 e], bắt đầu từ đó ông sẽ có thể phát triển, bằng cách sao chép lý thuyết của Cauchy, một "giải tích $p$-adic" đầy đủ mà ông biết cách áp dụng một cách hữu hiệu trong Lý thuyết số (đặc biệt với việc sử dụng hàm mũ và lôgarit $p$-adic), và tầm quan trọng của nó từ đó đến nay không ngừng tăng lên.

Hensel đã thấy rõ, ngay từ đầu, những sự đơn giản hóa mà lý thuyết của ông đem lại cho các mệnh đề cổ điển, bằng cách cho phép "địa phương hoá" các vấn đề và làm việc trong một trường mà ở đó không chỉ các tính chất chia hết là tầm thường, mà còn ở đó, nhờ một bổ đề cơ bản mà ông đã đưa ra ngay từ năm 1902 [157 c], việc nghiên cứu các đa thức mà đa thức "thu gọn" theo môđun $p$ không có nghiệm bội được quy về việc nghiên cứu các đa thức trên một trường hữu hạn. Ông đã đưa ra từ năm 1897 [157 b] những ví dụ nổi bật về các sự đơn giản hóa này, đặc biệt trong các câu hỏi liên quan đến biệt thức (đặc biệt, một chứng minh ngắn gọn cho tiêu chuẩn do ông đưa ra vài năm trước đó về sự tồn tại của các "ước số ngoại thường"). Nhưng trong một thời gian dài dường như các số $p$-adic đã gây ra một sự ngờ vực lớn ở các nhà toán học đương thời; một thái độ chắc chắn phổ biến đối với những ý tưởng quá "trừu tượng", nhưng sự nhiệt tình hơi quá mức của tác giả của chúng (rất thường thấy trong toán học ở những người nhiệt thành với các lý thuyết mới) cũng không phải là không phần nào biện minh cho điều đó. Thực vậy, không bằng lòng với việc áp dụng hữu hiệu lý thuyết của mình vào các số đại số, Hensel, bị gây ấn tượng như tất cả những người cùng thời bởi các chứng minh về tính siêu việt của $e$ và $\pi$, và có lẽ bị đánh lừa bởi tính chất "siêu việt" đồng thời được gán cho các số và các hàm, đã đi đến chỗ nghĩ rằng tồn tại một mối liên hệ giữa các số $p$-adic của ông và các số siêu việt thực, và ông đã từng tin trong một thời gian rằng ông có thể từ đó thu được một chứng minh đơn giản về tính siêu việt của $e$ và thậm chí của $e^e$ ([157 d], p. 556).26

Ngay sau năm 1910, tình hình thay đổi, với sự trỗi dậy của thế hệ tiếp theo, chịu ảnh hưởng bởi các ý tưởng của Fréchet và F. Riesz về tôpô, bởi các ý tưởng của Steinitz về đại số, và ngay từ đầu đã bị chinh phục bởi “sự trừu tượng”; thế hệ này sẽ biết cách làm cho công trình của Hensel trở nên có thể tiếp thu được và đặt nó vào đúng vị trí. Từ năm 1913, Kürschak [190] định nghĩa một cách tổng quát khái niệm giá trị, nhận ra tầm quan trọng của các giá trị Archimede (trong đó giá trị $p$-adic đã cho một ví dụ), chứng minh (bằng cách sao chép chứng minh trong trường hợp các số thực) sự tồn tại của phép đầy đủ hóa của một trường đối với một giá trị, và trên hết chứng minh một cách tổng quát khả năng mở rộng một giá trị tới một mở rộng đại số của một trường đã cho. Nhưng ông đã không thấy rằng đặc trưng không Archimede của một giá trị đã được ẩn trong trường nguyên tố; điểm đó được Ostrowski thiết lập, người cũng là người xác định tất cả các giá trị trên trường $\mathbf{Q}$, và định lý cơ bản đặc trưng các trường được trang bị một giá trị không Archimede như các trường con của $\mathbf{C}$ [242]. Trong những năm từ 1920 đến 1935, lý thuyết sẽ tự hoàn thiện bằng một nghiên cứu chi tiết hơn về các giá trị không nhất thiết rời rạc, bao gồm trong số đó việc khảo sát những hoàn cảnh khác nhau nảy sinh khi đi tới một mở rộng đại số hoặc siêu việt (Ostrowski, Deuring, F. K. Schmidt); mặt khác, vào năm 1931, Krull đưa vào và nghiên cứu khái niệm tổng quát về giá trị

26 Nghiên cứu bằng mọi giá này nhằm có một sự song song ngặt giữa các chuỗi $p$-adic và các chuỗi Taylor cũng thúc đẩy Hensel tự đặt ra cho mình những vấn đề kỳ lạ: chẳng hạn ông chứng minh rằng mọi số nguyên $p$-adic có thể được viết dưới dạng một chuỗi $\sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ trong đó các $a_k$ là các số hữu tỉ được chọn sao cho chuỗi hội tụ không chỉ trong $\mathbf{Q}_p$ mà còn trong $\mathbf{R}$ (không nghi ngờ gì là do nhớ tới các chuỗi Taylor hội tụ đồng thời tại nhiều điểm?) [157 e và f].

[187 f] khái niệm này sẽ được Zariski và trường phái đại số Hình học của ông sử dụng rất nhiều trong những năm tiếp theo.27 Chúng ta cũng phải nhắc đến ở đây, mặc dù nằm ngoài phạm vi của chúng ta, những nghiên cứu sâu hơn về cấu trúc của các trường giá trị đầy đủ và các vành địa phương đầy đủ, xuất phát từ cùng thời kỳ đó (Hasse-Schmidt, Witt, Teichmüller, I. Cohen).

Công trình của Fraenkel được nhắc đến ở trên (p. 107) chỉ xét một loại vành rất đặc biệt (các vành Artin chỉ có một iđêan nguyên tố duy nhất, iđêan này đồng thời được giả sử là chính). Nếu loại trừ công trình của Steinitz về các trường [294 a], những công trình quan trọng đầu tiên về việc nghiên cứu các vành giao hoán tổng quát là hai hồi ký lớn của E. Noether về lý thuyết các iđêan: công trình năm 1921 [236 a], dành cho phân tích nguyên sơ, tiếp nhận lại ở mức tổng quát nhất và hoàn thiện trên nhiều điểm các kết quả của Lasker và Macaulay; và công trình năm 1927 đặc trưng các vành Dedekind bằng tiên đề [236 b]. Cũng như Steinitz đã chỉ ra điều đó đối với các trường, trong các hồi ký này người ta thấy rằng một số ít các ý tưởng trừu tượng, như khái niệm iđêan bất khả quy, các điều kiện chuỗi và ý tưởng về một vành nguyên đóng (hai khái niệm sau, như ta đã thấy, đã được Dedekind đưa ra trước đó) tự chúng có thể dẫn tới các kết quả tổng quát dường như gắn bó không thể tách rời với các kết quả của tính toán thuần túy trong những trường hợp mà chúng đã được biết trước.

Cùng với các hồi ký này của E. Noether, kết hợp với các công trình hơi muộn hơn của Artin-van der Waerden về các iđêan ước ([317 a], v. II, tr. 105-109) và của Krull liên kết các iđêan này với các giá trị cốt yếu [187 f], như vậy đã hoàn tất nghiên cứu dài về phân tích các iđêan bắt đầu từ một thế kỷ trước,28 đồng thời với việc khai sinh Đại số Giao hoán hiện đại.

Vô số nghiên cứu sau đó về Đại số Giao hoán được nhóm lại dễ dàng nhất theo một số khuynh hướng chỉ đạo lớn:

A) Các vành địa phương và tôpô. Mặc dù được chứa dưới dạng mầm trong toàn bộ các công trình trước đó về Lý thuyết Số và Hình học Đại số, ý tưởng tổng quát về địa phương hóa tự giải phóng rất chậm. Khái niệm tổng quát về một vành phân thức chỉ được định nghĩa vào năm 1926 bởi H. Grell, một học trò của E. Noether, và chỉ đối với các miền nguyên [137]; sự mở rộng của nó tới các vành tổng quát hơn chỉ được đưa ra vào năm 1944 bởi C. Chevalley cho các vành Noether và vào năm 1948 bởi Uzkov trong trường hợp tổng quát. Cho đến khoảng năm 1940, Krull và trường phái của ông hầu như là những người duy nhất sử dụng trong các lập luận tổng quát việc xét các vành địa phương $A_p$ của một miền nguyên;

27 Một ví dụ về một giá trị có chiều cao 2 đã được H. Jung [175] đưa vào một cách tình cờ từ năm 1925. 28 Sau định nghĩa các iđêan ước, một số lượng khá nhiều các nghiên cứu (Prüfer, Krull, Lorenzen, v.v.) đã được tiến hành về các iđêan ổn định đối với các phép toán khác $a \mapsto a'$ thỏa mãn các điều kiện tiên đề tương tự như các tính chất của phép toán $a \mapsto A : (A : a)$ sinh ra các iđêan ước; các kết quả thu được theo cách này cho đến nay vẫn chưa tìm thấy ứng dụng nào trong Hình học Đại số hoặc trong Lý thuyết Số.

các vành này chỉ bắt đầu xuất hiện một cách tường minh trong Hình học Đại số với các công trình của Chevalley và Zariski bắt đầu từ năm 1940.$^{29}$

Việc nghiên cứu tổng quát về bản thân các vành địa phương chỉ bắt đầu vào năm 1938 với hồi ký lớn của Krull [187 h]. Những kết quả quan trọng nhất của công trình này liên quan đến lý thuyết chiều và các vành chính quy, mà chúng ta không nên bàn ở đây; nhưng cũng chính trong đó lần đầu tiên xuất hiện phép đầy đủ hóa của một vành địa phương Noether tùy ý, cũng như một dạng còn chưa hoàn thiện của vành phân bậc liên kết với một vành địa phương;$^{30}$ dạng sau này chỉ được định nghĩa vào khoảng năm 1948 bởi P. Samuel [270] và một cách độc lập bởi nghiên cứu về Tôpô đại số của Leray và H. Cartan. Trong công trình đã được trích dẫn trước đây, Krull hầu như không sử dụng ngôn ngữ tôpô; nhưng từ năm 1928 [187 e], ông đã chứng minh rằng, trong một vành Noether $A$, giao của các lũy thừa của một iđêan đơn $a$ là tập hợp các $x \in A$ sao cho $x(1-a) = 0$ với một $a \in a$; từ đó dễ dàng suy ra rằng đối với mọi iđêan $m$ của $A$, tôpô $m$-adic trên $A$ cảm sinh trên một iđêan $a$ tôpô $m$-adic của $a$; trong hồi ký năm 1938 của mình, Krull hoàn thiện kết quả này bằng cách chứng minh rằng trong một vành địa phương Noether, mọi iđêan đều đóng. Những định lý này ngay sau đó được Chevalley mở rộng cho các vành Noether nửa địa phương, rồi bởi Zariski cho các vành mang tên ông [340 b]; cũng chính Chevalley là người đưa vào khái niệm "compact tuyến tính" trong các vành tôpô, cũng như xác định cấu trúc của các vành đầy đủ nửa địa phương [62 c].

B) Chuyển từ địa phương sang toàn cục. Từ thời Weierstrass, đã tồn tại thói quen gắn một hàm giải tích của một biến (và đặc biệt là một hàm đại số) với tập hợp các "khai triển" của nó tại tất cả các điểm của mặt Riemann nơi nó được xác định. Trong phần mở đầu cuốn sách của ông về Số học ([157 f], p. V), Hensel cũng gắn theo cùng cách với mỗi phần tử của một trường số đại số $k$ tập hợp các phần tử tương ứng với nó trong các phép đầy đủ hóa của $k$ đối với mọi định giá$^{31}$ trên $k$. Có thể nói rằng chính quan điểm này, trong Đại số giao hoán hiện đại, đã thay thế công thức phân tích một iđêan thành một tích các iđêan nguyên tố (mở rộng theo một

$^{29}$ Trong công trình của Hensel và các học trò của ông về Số học, các vành địa phương $A_p$ bị bỏ qua một cách có hệ thống để ưu tiên các phép đầy đủ hóa của chúng, không nghi ngờ gì vì khả năng áp dụng bổ đề Hensel cho các phép đầy đủ hóa này.

$^{30}$ Nếu $m$ là iđêan cực đại của vành địa phương Noether $A$ đang xét, $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq r}$ là một hệ sinh cực tiểu của $m$, Krull định nghĩa đối với mọi $x \neq 0$ trong $A$ các "dạng ban đầu" của $x$ theo cách sau: nếu $j$ là số nguyên lớn nhất sao cho $x \in m^j$, các dạng ban đầu của $x$ là tất cả các đa thức thuần nhất bậc $j$, $P(X_1, \ldots, X_r)$, với các hệ số trong trường thương $k = A/m$, sao cho $x \equiv P(\alpha_1, \ldots, \alpha_r) \pmod{m^{j+1}}$. Đối với mỗi iđêan $a$ của $A$ ông thiết lập sự tương ứng với iđêan phân bậc của $k[X_1, \ldots, X_r]$ sinh bởi các dạng ban đầu của tất cả các phần tử của $a$ ("Leitdeal"); hai khái niệm này thay thế đối với ông cho vành phân bậc liên kết.

$^{31}$ Hensel lấy, làm các định giá không Archimede trên một trường $K$ có bậc $n$ trên $\mathbf{Q}$, các hàm $x \mapsto |x^{(i)}|$ (trong đó các $x^{(i)}$ với $1 \leq i \leq n$ là các liên hợp của $x$) hiện đang được sử dụng từ thời Dirichlet; Ostrowski sẽ chỉ ra một thời gian ngắn sau đó rằng về cơ bản các hàm này là các định giá không Archimede duy nhất trên $K$.

nghĩa nào đó quan điểm ban đầu của Kummer). Nhận xét của Hensel ngầm đưa đến việc nhúng $k$ vào tích của tất cả các phép đầy đủ hóa của nó; đó là điều được Chevalley thực hiện một cách tường minh vào năm 1936 với lý thuyết "idèle" của ông [62 b], lý thuyết này hoàn thiện các ý tưởng tương tự trước đó của Prüfer và von Neumann (những ý tưởng sau này chỉ giới hạn ở việc nhúng $k$ vào tích các phép đầy đủ hóa $p$-adic của nó).$^{32}$ Mặc dù điều này hơi nằm ngoài phạm vi của chúng ta, điều quan trọng là phải nhắc đến ở đây rằng, nhờ một tôpô thích hợp trên nhóm idèle, tất cả các kỹ thuật của các nhóm compact địa phương (kể cả độ đo Haar) do đó có thể được áp dụng vào Số học theo một cách rất hiệu dụng.

Trong một thiết lập tổng quát hơn, định lý của Krull [187 f], đặc trưng một vành nguyên đóng như là giao của các vành định giá (điều này quay trở lại việc nhúng vành đang xét vào tích các vành định giá) thường làm đơn giản việc nghiên cứu các vành này, mặc dù phương pháp này thực sự chỉ có thể xử lý được đối với các định giá cốt yếu của các vành Krull. Các Ví dụ (khá sơ cấp) về phương pháp "chuyển từ địa phương sang toàn cục" gồm việc chứng minh một tính chất của một miền nguyên $A$ bằng cách quy nó về việc kiểm tra tính chất đó đối với các "vành địa phương hóa" $A_p$ của $A$ tại tất cả các iđêan nguyên tố của nó, thường cũng được tìm thấy trong Krull [187 i]; gần đây hơn, Serre nhận thấy rằng phương pháp này đúng cho các vành giao hoán tùy ý $A$, rằng nó cũng áp dụng được cho các A-môđun và các đồng cấu của chúng, và rằng thường chỉ cần "địa phương hóa" tại các iđêan cực đại của $A$: một quan điểm gắn chặt với các ý tưởng về "phổ" và về các bó được định nghĩa trên các phổ này (xem dưới đây, p. 115).

C) Số nguyên và bao đóng nguyên. Chúng ta đã thấy rằng khái niệm số nguyên đại số, ban đầu được đưa vào cho các trường số, đã được Kronecker và Dedekind mở rộng sang các trường hàm đại số, mặc dù trong trường hợp này nó có thể xuất hiện khá nhân tạo (không tương ứng với một khái niệm xạ ảnh). Hồi ký của E. Noether năm 1927, tiếp theo là công trình của Krull bắt đầu từ năm 1931, đã chỉ ra sự quan tâm mà các khái niệm này đem lại cho các vành tổng quát nhất.$^{34}$ Chính đặc biệt nhờ Krull mà chúng ta có các định lý nâng cho

$^{32}$ Do nhận xét này của Hensel, đã nảy sinh thói quen (do lạm dụng ngôn ngữ) gọi các định giá không Archimede của $K$ là các "vị trí tại vô hạn" của một trường số $K$, tương tự như quá trình mà Dedekind và Weber định nghĩa các "điểm tại vô hạn" của mặt Riemann của một đường cong afin (xem p. 104). $^{33}$ Khi người ta nói về "chuyển từ địa phương sang toàn cục", người ta thường đề cập đến những vấn đề khó khăn hơn nhiều, gắn liền với lý thuyết các trường lớp, và trong đó các ví dụ được biết đến nhiều nhất là những ví dụ được xử lý trong các hồi ký của Hasse [150 a và b] về các dạng toàn phương trên một trường số đại số $k$; ở đó ông chứng minh, cùng với những điều khác, rằng để một phương trình $f(x_1, \ldots, x_n) = a$ có một nghiệm trong $k^n$ ($f$ là một dạng toàn phương, $a \in k$), điều kiện cần và đủ là nó có một nghiệm trong mỗi trường hoàn thành của $k$. Theo lời chứng của Hasse, ý tưởng cho kiểu định lý này đã được gợi ý bởi thầy của ông là Hensel [150 c]. Việc mở rộng "nguyên lý Hasse" này sang các nhóm khác nhóm trực giao là một trong những mục tiêu của lý thuyết hiện đại về "adélise" của các nhóm đại số. $^{34}$ Krull và E. Noether tự giới hạn vào các miền nguyên, nhưng việc mở rộng các phương pháp của họ sang trường hợp tổng quát không khó; hồi ký thú vị nhất trong bối cảnh này là hồi ký trong đó I. Cohen và Seidenberg mở rộng các định lý của Krull, bằng cách chỉ ra chính xác các giới hạn hiệu lực của chúng [66]. Cần chú ý rằng các iđêan nguyên tố trong các đại số nguyên [187 g], cũng như sự mở rộng của lý thuyết các nhóm phân tích và quán tính của Dedekind-Hilbert [187 f]. Còn về E. Noether, chính bà là người đưa ra công thức tổng quát của bổ đề chuẩn hoá$^{35}$ (từ đó suy ra, cùng với những hệ quả khác, định lý về các không điểm của Hilbert), cũng như tiêu chuẩn tổng quát đầu tiên (chép lại các lập luận cổ điển của Kronecker và Dedekind) cho phép khẳng định rằng bao đóng nguyên của một miền nguyên là hữu hạn trên vành.

Cuối cùng, cần chỉ ra ở đây rằng một trong những lý do dẫn đến tầm quan trọng hiện đại của khái niệm vành đóng nguyên là nhờ các nghiên cứu của Zariski về các đa tạp đại số; thực vậy ông đã phát hiện rằng các đa tạp "chuẩn" (nghĩa là những đa tạp mà các vành địa phương của chúng đóng nguyên) nổi bật nhờ những tính chất đặc biệt dễ chịu, đáng chú ý là thực tế chúng không có "kỳ dị đối chiều 1"; và sau đó người ta nhận thấy rằng các hiện tượng tương tự cũng xảy ra đối với các "không gian giải tích". Ngoài ra "chuẩn hoá" (nghĩa là phép toán mà đối với các vành địa phương của một đa tạp, bao gồm việc lấy bao đóng nguyên của chúng) tự nó đã trở thành một công cụ mạnh trong kho vũ khí của Hình học Đại số hiện đại.

D) Nghiên cứu các môđun và ảnh hưởng của Đại số đồng điều. Một trong những đặc điểm phân biệt công trình của E. Noether và W. Krull trong Đại số là khuynh hướng "tuyến tính hoá", mở rộng hướng tương tự đã được Dedekind và Steinitz ghi dấu trong lý thuyết trường; nói cách khác, các iđêan trước hết được xem xét như là môđun, và do đó người ta được dẫn đến áp dụng cho chúng tất cả các cấu trúc của Đại số tuyến tính (thương, tích, và gần đây hơn là tích tenxơ và việc tạo thành các môđun đồng cấu) nói chung cho ra các môđun không còn là các iđêan nữa. Vì vậy khá nhanh chóng thấy rằng trong nhiều câu hỏi (dù là đối với các vành giao hoán hay không giao hoán), không có lợi cho chúng ta khi chỉ giới hạn vào việc nghiên cứu các iđêan của một vành $A$, mà trái lại cần phải phát biểu các định lý một cách tổng quát hơn cho các $A$-môđun (sau cùng có thể chịu một số điều kiện hữu hạn).

Sự can thiệp của Đại số đồng điều chỉ củng cố khuynh hướng trước đó, vì nhánh này của Đại số về bản chất quan tâm đến các câu hỏi có tính chất tuyến tính. Ở đây chúng ta không nên kể lại lịch sử của nó; nhưng điều thú vị là chỉ ra rằng một số khái niệm cơ bản của Đại số đồng điều (chẳng hạn khái niệm môđun xạ ảnh và hàm tử Tor) đã ra đời từ việc nghiên cứu tỉ mỉ ứng xử của các môđun trên một vành Dedekind đối với tích tenxơ, một nghiên cứu do H. Cartan tiến hành năm 1948.

Ngược lại, có thể dự đoán rằng các lớp môđun mới được Đại số đồng điều đưa vào một cách tự nhiên như là các "phần tử triệt tiêu phổ quát" của các hàm tử Ext (các môđun xạ ảnh và các môđun đơn ánh) và của các hàm tử Tor (các môđun phẳng) sẽ đem lại một ánh sáng mới cho Đại số giao hoán. Điều đó

E. Noether đã tường minh đề cập đến khả năng của những mở rộng như vậy trong hồi ký của bà năm 1927 ([236 b], p. 30). $^{35}$ Một trường hợp riêng đã được Hilbert phát biểu từ năm 1893 ([163 a], q. II, p. 290).

cho thấy rằng đặc biệt các môđun xạ ảnh và còn hơn nữa các môđun phẳng đã chứng tỏ là hữu ích: tầm quan trọng của những môđun sau này trước hết xuất phát từ nhận xét, lần đầu tiên được Serre đưa ra [283 b], rằng địa phương hoá và hoàn thành tự nhiên đưa vào các môđun phẳng, do đó "giải thích" một cách thỏa đáng hơn nhiều các tính chất của hai phép toán này vốn đã được biết trước đây và làm cho việc sử dụng chúng dễ dàng hơn nhiều. Cũng cần nói thêm rằng các ứng dụng của Đại số đồng điều còn lâu mới bị giới hạn ở đó, và nó đóng một vai trò ngày càng sâu sắc hơn trong Hình học Đại số.

E) Khái niệm phổ. Khái niệm mới nhất về mặt thời gian trong các khái niệm mới của Đại số giao hoán có một lịch sử phức tạp. Định lý phổ của Hilbert đã đưa vào các tập hợp có thứ tự của các phép chiếu trực giao của một không gian Hilbert, tạo thành một "đại số Boolean" (hay đúng hơn là một dàn Boolean),$^{36}$ tương ứng song ánh với một dàn Boolean của các lớp tập hợp con đo được (đối với một độ đo thích hợp) của $\mathbf{R}$. Không còn nghi ngờ gì nữa, chính công trình trước đó của ông về các toán tử trong các không gian Hilbert đã dẫn M. H. Stone, vào khoảng năm 1935, đến việc nghiên cứu một cách tổng quát các dàn Boolean, và đặc biệt tìm kiếm các "biểu diễn" của chúng bằng các tập hợp con của một tập hợp (hoặc các lớp của các tập hợp con theo một quan hệ tương đương nào đó). Ông nhận thấy rằng một dàn Boolean trở thành một vành giao hoán (ngoài ra thuộc một kiểu rất đặc biệt), khi phép nhân được định nghĩa bởi $xy = \inf(x, y)$ và phép cộng bởi $x + y = \sup(\inf(x, y'), \inf(x', y))$. Trong trường hợp riêng khi xét dàn Boolean $\mathfrak{P}(X)$ của tất cả các tập hợp con của một tập hợp hữu hạn $X$, người ta thấy ngay lập tức rằng các phần tử của $X$ tương ứng song ánh một cách tự nhiên với các iđêan cực đại của vành "Boolean" tương ứng; và Stone thu được chính xác định lý tổng quát của ông về sự biểu diễn của một dàn Boolean trên tập hợp các iđêan cực đại chứa nó [301 a].

Mặt khác, người ta đã biết rằng một ví dụ cổ điển của một dàn Boolean là tập hợp các tập con vừa mở vừa đóng trong một không gian tôpô. Trong một công trình thứ hai [301 b], Stone đã chỉ ra rằng trên thực tế mọi dàn Boolean cũng đẳng cấu với một dàn Boolean thuộc kiểu này. Vì thế, một cách tự nhiên, cần phải định nghĩa một tôpô trên tập hợp các iđêan cực đại của một vành "Boolean"; điều này được thực hiện rất đơn giản bằng cách lấy làm các tập đóng, với mỗi iđêan $a$, tập hợp các iđêan cực đại chứa $a$.

Ở đây chúng ta không nên nói đến ảnh hưởng của các ý tưởng này trong Giải tích hàm, nơi chúng đóng một vai trò quan trọng trong sự ra đời của lý thuyết các đại số chuẩn được phát triển bởi I. Gelfand và trường phái của ông. Nhưng vào năm 1945, Jacobson nhận thấy [172 c] rằng phương pháp định nghĩa một tôpô, do Stone nghĩ ra, trên thực tế có thể áp dụng cho mọi vành $A$ (giao hoán hoặc không) miễn là ta lấy làm tập hợp các iđêan không phải là tập hợp các iđêan cực đại, mà là tập hợp các iđêan "nguyên thủy" hai phía (tức là các iđêan hai phía $b$ sao cho $A/b$ là một vành nguyên thủy); đối với một vành giao hoán, dĩ nhiên ta thu được các iđêan cực đại. Về phần mình, Zariski vào năm 1944 [340 a], sử dụng một

$^{36}$ Một dàn Boolean là một dàn có thứ tự $E$, có một phần tử nhỏ nhất $\alpha$ và một phần tử lớn nhất $\omega$, trong đó mỗi luật sup và inf đều phân phối đối với luật kia và trong đó, với mỗi $a \in E$, tồn tại duy nhất một $a' \in E$ sao cho $\inf(a, a') = \alpha$ và $\sup(a, a') = \omega$.

phương pháp tương tự để định nghĩa một tôpô trên tập hợp các điểm của một trường hàm đại số. Tuy nhiên, các tôpô này vẫn chỉ là những sự tò mò đơn giản đối với phần lớn các nhà đại số, bởi vì nói chung chúng không phải là Hausdorff, và vì có một sự miễn cưỡng khá dễ hiểu khi làm việc với những đối tượng khó xử như vậy. Sự ngờ vực này chỉ tan biến khi A. Weil chỉ ra, vào năm 1952, rằng mọi đa tạp đại số có thể được trang bị một cách tự nhiên một tôpô thuộc kiểu trước đó và rằng tôpô này cho phép định nghĩa, tương tự hoàn hảo với trường hợp các đa tạp vi phân hoặc giải tích, khái niệm không gian phân thớ [330 e]; ngay sau đó Serre đã có ý tưởng mở rộng đến các đa tạp được trang bị tôpô như vậy lý thuyết các bó nhất quán, nhờ đó tôpô cung cấp trong trường hợp các đa tạp "trừu tượng" những dịch vụ giống như tôpô thông thường khi trường cơ sở là C, đặc biệt liên quan đến việc áp dụng các phương pháp của Tôpô đại số [283 a và b].

Từ đó trở đi, việc sử dụng ngôn ngữ hình học này trong toàn bộ Đại số giao hoán là tự nhiên. Người ta nhanh chóng nhận thấy rằng việc xét các iđêan cực đại thường không đủ để thu được các mệnh đề thuận tiện,$^{38}$ và rằng khái niệm thích hợp là tập hợp các iđêan nguyên tố của vành, được trang bị tôpô theo cùng một cách. Với việc đưa vào khái niệm phổ, hiện nay chúng ta có trong tay một từ điển cho phép biểu diễn mọi định lý của Đại số giao hoán bằng một ngôn ngữ hình học rất gần với ngôn ngữ của Hình học đại số trong thời kỳ Weil-Zariski; điều này ngoài ra đã ngay lập tức dẫn đến một sự mở rộng đáng kể khuôn khổ của phần sau, theo cách mà Đại số giao hoán hiện nay, từ quan điểm này, hầu như không còn hơn là phần sơ cấp nhất [138 a].

$^{37}$ Sự bất tiện của việc bị giới hạn vào "phổ cực đại" xuất phát từ sự kiện rằng nếu $\phi : A \to B$ là một đồng cấu của các vành và $n$ là một iđêan cực đại của $B$, $\phi^{-1}(n)$ không nhất thiết là một iđêan cực đại của $A$, trong khi đối với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $B$, $\phi^{-1}(p)$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Do đó, nói chung không thể gắn với $\phi$ một cách tự nhiên một ánh xạ từ tập hợp các iđêan cực đại của $B$ vào tập hợp các iđêan cực đại của $A$.

$^{38}$ Sự bất tiện của việc bị giới hạn vào "phổ cực đại" xuất phát từ sự kiện rằng nếu $\phi : A \to B$ là một đồng cấu của các vành và $n$ là một iđêan cực đại của $B$, $\phi^{-1}(n)$ không nhất thiết là một iđêan cực đại của $A$, trong khi đối với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $B$, $\phi^{-1}(p)$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Do đó, nói chung không thể gắn với $\phi$ một cách tự nhiên một ánh xạ từ tập hợp các iđêan cực đại của $B$ vào tập hợp các iđêan cực đại của $A$.