6. Tính chia hết; trường có thứ tự.

Các phép toán số học sơ cấp, và đặc biệt là phép tính phân thức, hẳn đã dẫn tới nhiều sự kiểm chứng thực nghiệm về tính chia hết của các số nguyên. Nhưng dường như cả người Babylon (tuy rất thành thạo về Đại số), lẫn người Ai Cập (mặc cho những phép tính nhào lộn của họ với phân thức) đều không biết những quy tắc tổng quát chi phối các tính chất ấy, và ở đây sáng kiến lại thuộc về người Hy Lạp. Công trình số học của họ, mà một sự trình bày bậc thầy được thấy trong các Quyển VII và IX của Euclid [107], không hề phải nhường vị trí hàng đầu cho bất cứ khám phá đẹp nhất nào của họ trong các ngành khác của toán học. Sự tồn tại của U.C.L.N. của hai số nguyên đã được chứng minh ngay từ đầu Quyển VII bằng thủ tục được biết dưới tên gọi "thuật toán Euclid";$^1$ nó làm nền tảng cho mọi phát triển tiếp theo (các tính chất của số nguyên tố, sự tồn tại và cách tính B.C.N.N., v.v.); và đỉnh cao của cấu trúc được tạo thành bởi hai định lý đáng chú ý chứng minh sự tồn tại của vô hạn số nguyên tố (Quyển IX, mệnh đề 20) và cho một thủ tục xây dựng các số hoàn hảo chẵn xuất phát từ một số số nguyên tố nhất định (thủ tục này thực ra cho tất cả các số hoàn hảo chẵn, như Euler đã chứng minh). Chỉ có sự tồn tại và tính duy nhất của phân tích thành thừa số nguyên tố là không được chứng minh dưới một dạng tổng quát; tuy vậy Euclid vẫn chứng minh tường minh rằng mọi số nguyên đều chia hết cho một số nguyên tố (Quyển VII, mệnh đề 31), cũng như hai mệnh đề sau đây (Quyển IX, các mệnh đề 13 và 14):

"Nếu, bắt đầu từ một phần tử khả nghịch, có bao nhiêu số tùy ý nằm trong một cấp số nhân có công bội hằng [tức là hình học], và nếu số đứng sau phần tử khả nghịch là số nguyên tố, thì số lớn nhất sẽ không chia hết cho số nào khác ngoài những số xuất hiện trong cấp số ấy" (nói cách khác, một lũy thừa $p^n$ của một số nguyên tố không thể chia được ngoài các lũy thừa của $p$ với số mũ $\leq n$).

"Nếu một số là số nhỏ nhất chia hết cho các số nguyên tố [đã cho], thì nó sẽ không chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào khác ngoài những số

$^1$ Nếu $a_1$ và $a_2$ là hai số nguyên, sao cho $a_1 \geq a_2$, thì $a_n$ được xác định bằng quy nạp (với $n \geq 3$) là thặng dư của phép chia Euclid của $a_{n-2}$ cho $a_{n-1}$; nếu $m$ là chỉ số nhỏ nhất sao cho $a_m = 0, a_{m-1}$ là U.C.L.N. của $a_1$ và $a_2$. Ở đây ta có sự chuyển sang miền số nguyên của phương pháp trừ liên tiếp (đôi khi cũng được gọi là $\alpha\nu\theta\nu\phi\alpha\rho\varepsilon\sigma\iota\zeta$) để tìm đơn vị đo chung của hai đại lượng. Điều này chắc chắn bắt nguồn từ các nhà Pythagore, và dường như đã là cơ sở của một lý thuyết tiền-Eudoxus về các số vô tỉ.

ban đầu [được cho là] ước của nó" (nói cách khác, một tích của các số nguyên tố phân biệt $p_1 \ldots p_k$ không có thừa số nguyên tố nào khác ngoài $p_1, \ldots, p_k$).

Vì vậy dường như nếu Euclid không phát biểu định lý tổng quát, thì đó chỉ là do một thuật ngữ và ký hiệu chỉ thích hợp cho các lũy thừa tùy ý của một số nguyên.$^2$

Mặc dù một nghiên cứu cẩn thận làm cho giả thiết rằng trong văn bản của Euclid có nhiều lớp kế tiếp nhau, mỗi lớp tương ứng với một giai đoạn trong sự phát triển của Số học, trở nên có khả năng đúng,$^3$ dường như sự tiến hóa này đã hoàn toàn hoàn tất giữa đầu thế kỷ V và giữa thế kỷ IV, và người ta chỉ có thể khâm phục sự sắc sảo và sự vững chắc của logic được biểu hiện ở đó: phải đợi hai thiên niên kỷ người ta mới lại được chứng kiến những tiến bộ tương tự trong Số học.

Chính những bài toán gọi là "bất định" hay "Diophantus" là nguồn gốc của những phát triển tiếp theo của Lý thuyết số. Thuật ngữ "phương trình Diophantus", theo cách dùng ngày nay, về mặt lịch sử không hoàn toàn xác đáng; nói chung người ta hiểu theo đó những phương trình đại số (hay hệ phương trình) với hệ số nguyên, mà người ta chỉ tìm các nghiệm nguyên: một bài toán thông thường là không thể nếu các phương trình là "xác định", nghĩa là chỉ có một số hữu hạn nghiệm (thực hoặc phức), nhưng trái lại thường cho phép có nghiệm khi số ẩn nhiều hơn số phương trình. Tuy nhiên, nếu Diophantus dường như rõ ràng là người đầu tiên xét đến các bài toán "bất định", thì ông chỉ trong những trường hợp ngoại lệ mới tìm các nghiệm nguyên, và phần lớn chỉ bằng lòng với việc tìm được một nghiệm duy nhất trong các số hữu tỉ [91 a]. Đó là một kiểu bài toán mà ông hầu như luôn có thể giải bằng những phép tính đại số, trong đó bản chất số học của các ẩn không xuất hiện;$^4$ vì vậy lý thuyết chia hết

$^2$ Để ủng hộ giả thiết này, còn có thể nhận thấy rằng chứng minh của định lý về các số hoàn hảo về cơ bản chỉ là một trường hợp riêng khác của định lý về phân tích duy nhất thành các thừa số nguyên tố. Hơn nữa, mọi chứng cứ đều đồng quy để cho thấy rằng từ thời kỳ ấy, việc phân tích một số thành các thừa số nguyên tố một cách tường minh đã được biết đến và dùng thường xuyên; nhưng một chứng minh đầy đủ của định lý phân tích thì chỉ được thấy trước hết trong chứng minh do Gauss cho ở đầu Disquisitiones ([124 a], v. I, p. 15).

$^3$ Xem [317 d]. Một ví dụ về dấu vết của một phiên bản sớm hơn được cung cấp bởi các mệnh đề 21 đến 34 của Quyển IX, bàn về những tính chất sơ cấp nhất của tính chia hết cho 2, và chắc chắn quay về một thời kỳ mà lý thuyết tổng quát về số nguyên tố còn chưa phát triển. Ngoài ra, người ta biết rằng các phạm trù Chẵn và Lẻ đã đóng một vai trò lớn trong những suy biện triết học-thần thoại của các nhà Pythagore đầu tiên, mà ở họ người ta có lý do tự nhiên để quy mảnh văn bản này trở về (xem [17 b]).

$^4$ Nếu Diophantus, trong các bài toán bất định, luôn luôn quay trở lại các bài toán với một ẩn duy nhất, bằng một lựa chọn số cho các ẩn khác làm cho phương trình cuối cùng của ông có thể giải được, thì hoàn toàn có vẻ rằng phương pháp này phần lớn là do ký hiệu của ông, vốn không cho phép ông tính với nhiều ẩn cùng một lúc; trong mọi trường hợp, trong suốt các phép tính, ông không đánh mất các phép thế số mà ông đã thực hiện, và sửa đổi chúng, nếu cần, nếu chúng không thích hợp, bằng cách viết ra một điều kiện tương thích cho các biến đã được thế, rồi trước hết giải bài toán phụ này. Nói cách khác, ông xử lý các số đã được thế này; số học chỉ giữ một vai trò hết sức kín đáo (từ số nguyên tố chỉ được nói ra đúng một lần ([91 a], Book V, bài toán 9, v. I, pp. 334-335), và khái niệm các số nguyên tố cùng nhau chỉ được nêu lên khi nói đến định lý khẳng định rằng thương của hai số nguyên tố cùng nhau không thể là một bình phương trừ khi mỗi số trong chúng là một bình phương).$^5$

Việc nghiên cứu các nghiệm nguyên của các phương trình bất định thực sự chỉ bắt đầu với các nhà toán học Trung Hoa và Ấn Độ ở thời Trung cổ cao. Có vẻ như những người thứ nhất đã được dẫn tới những suy xét kiểu này bởi các bài toán thực hành trong việc lập lịch (ở đó việc xác định các chu kỳ chung cho nhiều vòng tuần hoàn của các hiện tượng thiên văn cấu thành chính xác một bài toán "Diophantine" bậc nhất); dù sao đi nữa, người ta ghi công cho họ (không nghi ngờ gì, giữa thế kỷ IV và thế kỷ VII của kỷ nguyên chúng ta) một quy tắc để giải các đồng dư tuyến tính đồng thời. Còn đối với người Ấn Độ, mà toán học đã biết đến thời kỳ nở rộ trọn vẹn của mình từ thế kỷ V đến thế kỷ XIII, thì họ không những biết xử lý một cách có phương pháp (bằng việc áp dụng thuật toán Euclid) các hệ phương trình Diophantine tuyến tính với một số ẩn tùy ý,$^6$ mà họ còn là những người đầu tiên tiếp cận và giải các bài toán bậc hai, kể cả một số trường hợp riêng của "phương trình Fermat" $Nx^2 + 1 = y^2$ ([78], vol. II, pp. 87-307).

Ở đây chúng ta không cần theo đuổi lịch sử của lý thuyết các phương trình Diophantine bậc > 1, lý thuyết mà, tiếp nối các công trình của Fermat, Euler, Lagrange và Gauss, đã đi tới trong thế kỷ XIX lý thuyết các số nguyên đại số (xem pp. 93 ff.). Như chúng tôi đã nhận xét (xem p. 58), việc nghiên cứu các hệ tuyến tính, dường như từ đó về sau không còn nêu ra những bài toán đáng quan tâm nữa, đã phần nào bị bỏ quên trong thời kỳ này: đặc biệt, người ta không tìm các điều kiện cần tổng quát để một hệ tùy ý có nghiệm, cũng không tìm mô tả của tập hợp nghiệm. Tuy nhiên, vào khoảng giữa thế kỷ XIX, Hermite được dẫn tới việc sử dụng, liên hệ với các nghiên cứu của ông trong Số học, một số bổ đề về các phương trình Diophantine tuyến tính, và đặc biệt là một "dạng rút gọn" của một phép thế tuyến tính với các hệ số nguyên ([159], v. I, pp. 164 and 265); sau hết, sau khi Heger đã cho vào năm 1858 điều kiện cần đối với một hệ có hạng bằng số phương trình, H. J. Smith, vào năm 1861, xác định các nhân tử bất biến của một ma trận với các phần tử nguyên trong một "dạng chính tắc" ([287], v. I, pp. 367-409).

Nhưng trong khoảng đó khái niệm nhóm Abel dần dần trở nên chính xác hơn, sau khi được Gauss đưa vào (xem p. 60), và đồng thời cũng như vậy là

$^5$ Tuy nhiên, nhiều dấu hiệu khác nhau cho thấy ở Diophantus có một tri thức tiến bộ hơn về số học: chẳng hạn ông biết rằng phương trình $x^2 + y^2 = n$ không có nghiệm hữu tỉ nếu $n$ là một số nguyên có dạng $4k + 3$ (Quyển V, bài toán 9 và Quyển VI, bài toán 14 ([91 a], q. I, tr. 332-335 và tr. 425; xem thêm [153 f], tr. 105-110)). $^6$ Các bài toán thiên văn cũng nằm trong số những bài toán đã khiến người Ấn Độ quan tâm đến kiểu phương trình này (xem [78], q. II, tr. 100, 117 và 135).

tầm quan trọng mà khái niệm này đảm nhận trong sự phát triển về sau của Lý thuyết Số. Trong sự nghiên cứu đặc biệt sâu sắc, được trình bày trong Disquisitiones, về nhóm Abel hữu hạn các lớp dạng toàn phương có một biệt thức cho trước, Gauss nhanh chóng nhận ra rằng một số nhóm trong đó không phải là cyclic: "trong trường hợp này", ông nói, "một cơ sở [nghĩa là một phần tử sinh] là không đủ, phải lấy hai, hoặc nhiều hơn, mà bằng phép nhân và hợp thành,$^7$ sẽ có thể tạo ra tất cả các lớp" ([124 a], v. I, pp. 374-375). Không chắc rằng, với những lời này, Gauss muốn mô tả sự phân tích của một nhóm thành tích trực tiếp của các nhóm cyclic; tuy nhiên, ngay trong cùng trang ấy của Disquisitiones, ông chứng minh rằng tồn tại một phần tử trong nhóm có cấp bằng BCNN của các cấp của mọi phần tử khác — nói cách khác, ông thu được sự tồn tại của nhân tử bất biến lớn nhất của nhóm ([124 a], v. I, p. 373) —; và mặt khác, khái niệm tích trực tiếp đã được ông biết đến, vì trong một bản thảo có từ năm 1801 nhưng không được công bố khi ông còn sống, ông phác ra một chứng minh tổng quát về sự phân tích của một nhóm Abel hữu hạn thành tích trực tiếp của các $p$-nhóm$^8$ ([124 a], v. II, p. 266). Dù sao, vào năm 1868, Schering, người biên tập các công trình của Gauss, được gợi ý bởi các kết quả ấy (và đặc biệt bởi bản thảo mà ông vừa tìm lại được này) đã chứng minh (vẫn đối với nhóm các lớp dạng toàn phương) định lý phân tích tổng quát ([272], v. I, pp. 135-148) bằng một phương pháp mà Kronecker, hai năm sau, trình bày lại dưới dạng trừu tượng ([186 a], v. I, pp. 273-282), và về bản chất chính là phương pháp còn được dùng đến ngày nay. Còn đối với các nhóm Abel không xoắn, như chúng tôi đã nói rồi (x. pp. 64 ff.), lý thuyết các hàm elliptic và các tích phân Abel, do Gauss, Abel và Jacobi phát triển, đã dần dần dẫn tới việc ghi nhận cấu trúc của chúng; ví dụ đầu tiên và nổi tiếng nhất về sự phân tích của một nhóm vô hạn thành tổng trực tiếp của các nhóm monogenic được Dirichlet đưa ra năm 1846 trong hồi ký của ông về các đơn vị của một trường số đại số ([92], v. I, pp. 619-644). Nhưng mãi đến năm 1879 mối liên hệ giữa lý thuyết các nhóm Abel kiểu hữu hạn và định lý của Smith mới được Frobenius và Stickelberger nhận ra và sử dụng tường minh ([120], )

Vào khoảng cùng thời gian ấy, lý thuyết về sự tương tự đối với các ma trận (với các hệ số thực hoặc phức) đang được hoàn tất. Khái niệm trị riêng của một phép thế tuyến tính xuất hiện tường minh trong lý thuyết các hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng, được Lagrange áp dụng ([191], v. I, p. 520) vào lý thuyết các chuyển động nhỏ, rồi bởi Lagrange ([191], v. VI, pp. 655-666) và Laplace ([193], v. VIII, pp. 325-366) vào các bất đẳng thức "thế kỷ" của các hành tinh. Nó hàm ẩn trong nhiều bài toán khác được khảo sát vào khoảng giữa thế kỷ XVIII, chẳng hạn việc xác định các trục của một conic hoặc một quadric (được Euler thực hiện trước tiên ([108 a], (1), v. IX, p. 384)), hoặc sự nghiên cứu (cũng do Euler phát triển ([108 a], (2), v. III, pp. 200-201)) về các chính

$^7$ Gauss ký hiệu luật hợp thành của các lớp theo lối cộng tính; bởi "phép nhân", do đó, ông muốn nói tích của một lớp với một số nguyên.

$^8$ Abel cũng chứng minh nhân tiện tính chất này trong hồi ký của ông về các phương trình Abel ([1], v. I, pp. 494-497]).

các trục quán tính của một vật rắn (được De Segner phát hiện năm 1755); ngày nay ta biết rằng chính bà cũng là người đã tham gia (dưới một dạng kín đáo hơn nhiều) vào những khởi đầu của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, và đặc biệt vào phương trình dây rung. Nhưng (không nói đến trường hợp sau này) nguồn gốc chung giữa các bài toán khác nhau ấy hầu như không được nhận ra trước Cauchy ([56 a], (2), v. V, p. 248 and v. IX, p. 174). Hơn nữa, vì phần lớn trong số đó đưa vào các ma trận đối xứng, nên lúc đầu chủ yếu người ta nghiên cứu các giá trị riêng của các ma trận sau này; ở đây hãy chú ý rằng ngay từ năm 1826, Cauchy đã chứng minh tính bất biến qua phép tương tự của các giá trị riêng của những ma trận ấy, và chứng minh rằng chúng là thực đối với một ma trận đối xứng cấp 3 ([56 a], (2), v. V, p. 248), một kết quả mà ba năm sau ông tổng quát hóa cho các ma trận đối xứng thực tùy ý ([56 a], (2), v. IX, p. 174).9 Khái niệm tổng quát về phép xạ ảnh, do Möbius đưa vào năm 1827 ([223], v. I, p. 217), nhanh chóng dẫn tới bài toán phân loại các phép biến hình ấy (trước hết trong không gian 2 và 3 chiều), mà đó không gì khác hơn là bài toán về sự tương tự của các ma trận tương ứng; nhưng trong một thời gian dài, câu hỏi này chỉ được xử lý bằng những phương pháp "tổng hợp" đang thịnh hành vào giữa thế kỷ XIX, và sự tiến triển của nó (dẫu sao cũng khá chậm) dường như không có ảnh hưởng nào đến lý thuyết các giá trị riêng. Không như vậy đối với một bài toán khác của hình học, việc phân loại các chùm cônic hay toàn phương, mà theo quan điểm hiện đại, quy về việc nghiên cứu các ước sơ cấp của ma trận $U + \lambda V$ trong đó $U$ và $V$ là hai ma trận đối xứng; chính theo hướng ấy mà Sylvester, vào năm 1851, đã tiếp cận bài toán này, khảo sát cẩn thận (với mục đích tìm các "dạng chính tắc" cho chùm đang xét) điều xảy ra với các phần phụ của ma trận $U + \lambda V$ khi thay vào $\lambda$ một giá trị làm triệt tiêu định thức của nó ([304], v. I, pp. 219-240). Khía cạnh thuần túy đại số của lý thuyết các giá trị riêng cũng tiến triển đồng thời; do đó một số tác giả (trong đó có chính Sylvester) đã chứng minh vào khoảng năm 1850 rằng các giá trị riêng của $U^n$ là các lũy thừa bậc $n$ của các giá trị riêng của $U$, trong khi năm 1858 Cayley, trong hồi ký mà ông thiết lập phép tính ma trận ([58], v. II, pp. 475-496), phát biểu "định lý Cayley-Hamilton" cho một ma trận vuông cấp tùy ý,10 chỉ bằng lòng chứng minh nó bằng phép tính trực tiếp đối với các ma trận cấp 2 và 3. Cuối cùng, vào năm 1868, Weierstrass, lấy lại phương pháp của Sylvester, thu được các "dạng chính tắc" cho một "chùm" $U + \lambda V$, trong đó lần này $U$ và $V$ là các ma trận vuông không nhất thiết đối xứng, chỉ với điều kiện rằng $\det(U + \gamma V)$

9 Một thử nghiệm chứng minh kết quả này, trong trường hợp riêng các bất đẳng thức "thế kỷ" của các hành tinh, đã được Laplace thực hiện từ năm 1784 ([193], v. IX, pp. 49-92). Về phương trình bậc 3 cho các trục của một toàn phương thực, Euler đã phát biểu mà không chứng minh tính chất thực của các nghiệm của nó, và một thử nghiệm chứng minh của Lagrange, năm 1773 ([191], v. III, pp. 579-616) là không đầy đủ; điểm này đã được Hachette và Poisson chứng minh một cách chặt chẽ lần đầu tiên vào năm 1801 [140]. 10 Hamilton trước đó vài năm đã ngẫu nhiên chứng minh định lý này cho các ma trận cấp 3 ([145 a], pp. 566-567).

không đồng nhất bằng không; từ đó ông suy ra định nghĩa các ước sơ cấp của một ma trận vuông tùy ý (với các hệ số phức), và chứng minh rằng chúng đặc trưng cho ma trận sau này tới phép tương tự ([329 a], v. II, pp. 19-44); ngoài ra các kết quả này lại còn được Jordan tìm lại một phần (và hiển nhiên là độc lập) hai năm sau$^{11}$ ([174 a], pp. 114-125). Ở đây nữa, chính Frobenius là người, vào năm 1879, chỉ ra rằng định lý của Weierstrass có thể được suy ra dễ dàng từ lý thuyết của Smith, mở rộng cho các đa thức ([119], v. I, pp. 482-544, )

Chúng ta vừa mới ám chỉ đến lý thuyết chia hết của các đa thức một biến; vấn đề phép chia các đa thức đương nhiên đã phải được phát biểu ngay từ buổi đầu của đại số, như phép nghịch đảo của phép nhân (phép này đã được Diophantus biết đến, ít nhất đối với các đa thức bậc nhỏ); nhưng có thể hiểu rằng hầu như không thể tiếp cận bài toán ấy một cách tổng quát trước khi một ký hiệu mạch lạc cho các lũy thừa khác nhau của biến được thiết lập. Thật vậy, khó tìm thấy trước giữa thế kỷ XVI những ví dụ về quá trình chia "Euclid" của các đa thức, theo cách chúng ta biết;$^{12}$ và S. Stévin (người về thực chất sử dụng ký hiệu số mũ) dường như là người đầu tiên nảy ra ý tưởng suy ra từ đó sự mở rộng của "thuật toán Euclid" để xác định Ư.C.L.N. của hai đa thức ([295], v. I, pp. 54-56). Có tính đến điều đó, khái niệm chia hết vẫn chỉ riêng có đối với các số nguyên hữu tỉ cho đến giữa thế kỷ XVII. Chính Euler, vào năm 1770, đã mở ra một chương mới của Số học khi mở rộng, không phải không táo bạo, khái niệm chia hết sang các số nguyên trong một mở rộng bậc hai: tìm cách xác định các ước của một số có dạng $x^2 + cy^2$ ($x, y, c$ các số nguyên hữu tỉ), ông viết $x + y\sqrt{-c} = (p + q\sqrt{-c})(r + s\sqrt{-c})$ ($p, q, r, s$ các số nguyên hữu tỉ) và lấy chuẩn của hai vế, ông không ngần ngại khẳng định rằng bằng cách ấy ông thu được mọi ước của $x^2 + cy^2$ dưới dạng $p^2 + cq^2$ ([108 a], (1), v. I, p. 422). Nói cách khác, Euler lập luận như thể vành $\mathbf{Z}[\sqrt{-c}]$ là chính; ít lâu sau đó, ông dùng một lập luận tương tự để áp dụng phương pháp "giáng vô hạn" cho phương trình $x^3 + y^3 = z^3$ (nó quy về việc viết rằng $p^2 + 3q^2$ là một lập phương, điều mà ông làm bằng cách đặt $p + q\sqrt{-3} = (r + s\sqrt{-3})^3$). Nhưng từ năm 1773, Lagrange chứng minh ([191], v. III, pp. 695-795) rằng các ước của những số có dạng $x^2 + cy^2$ không phải lúc nào cũng có dạng này, đó là ví dụ đầu tiên về khó khăn cơ bản sẽ xuất hiện với sự sáng tỏ lớn hơn nhiều trong các nghiên cứu, được Gauss rồi các người kế tục ông tiếp tục, về tính chia hết trong các trường căn bậc đơn vị;$^{13}$ không thể nào

$^{11}$ Jordan không nhắc đến tính bất biến của dạng chính tắc mà ông thu được. Mặt khác, điều thú vị là nhận thấy rằng ông xét vấn đề này không phải đối với các ma trận có hệ số phức, mà đối với các ma trận trên một trường hữu hạn. Mặt khác nữa, hãy chú ý rằng ngay từ năm 1862, Grassmann đã đưa ra một phương pháp để đưa một ma trận (có hệ số phức) về dạng tam giác, và đã nhắc đến một cách tường minh mối liên hệ giữa phép đưa về này và sự phân loại các phép xạ ảnh ([134], v. I₂, pp. 249-254). $^{12}$ Xem chẳng hạn [33]. $^{13}$ Trong chốc lát Gauss dường như đã hy vọng rằng vành các số nguyên trong trường các căn bậc $n$ của đơn vị là một vành iđêan chính; trong một bản thảo không được công bố khi sinh thời của ông nói chung để mở rộng trực tiếp cho các trường này các tính chất cốt yếu về chia hết của các số nguyên hữu tỉ, sự tồn tại của Ư.C.L.N. và tính duy nhất của sự phân tích thành các thừa số nguyên tố. Ở đây không phải là chỗ để mô tả chi tiết cách Kummer đối với trường các căn bậc đơn vị [188 b],$^{14}$ rồi Dedekind và Kronecker đối với các trường số đại số tùy ý, đã thành công trong việc vượt qua chướng ngại ghê gớm này bằng việc tạo ra lý thuyết iđêan, một trong những bước tiến quyết định nhất của đại số hiện đại (xem tr. 93 tt.). Nhưng Dedekind, luôn luôn quan tâm đến các nền tảng của các lý thuyết toán học khác nhau, không thỏa mãn với thành công đó; và, khi phân tích cơ chế của các quan hệ chia hết, ông đã đặt cơ sở cho lý thuyết hiện đại về các nhóm có thứ tự, trong một hồi ký (không làm xôn xao những người đương thời của ông, và bị quên lãng trong 30 năm) mà chắc chắn là một trong những công trình đầu tiên xét theo niên đại về đại số tiên đề ([79, v. II, pp. 103-147]).

Từ giữa thế kỷ XVIII, việc tìm kiếm một chứng minh của "định lý cơ bản của đại số" là bài toán thời thượng (xem p. 74). Ở đây chúng ta không cần nhắc lại cố gắng của d'Alembert, người đã mở đầu chuỗi các chứng minh dùng phép tính vi phân (xem p. 161). Nhưng, vào năm 1749, Euler tấn công bài toán theo một cách khác ([108 a], (1), v. VI, pp. 78-147): với mọi đa thức $f$ có các hệ số thực, ông tìm cách chứng minh sự tồn tại của một phân tích $f = f_1 f_2$ thành hai đa thức (không phải hằng số) có các hệ số thực, điều này sẽ cho ông một chứng minh của "định lý cơ bản" bằng quy nạp theo bậc của $f$. Thậm chí cũng đủ, như ông nhận xét, là dừng lại ở nhân tử đầu tiên có bậc lẻ, và hệ quả là mọi khó khăn đều quy về việc xét trường hợp bậc $n$ của $f$ là chẵn. Khi đó Euler chỉ giới hạn ở việc nghiên cứu trường hợp trong đó các nhân tử cần tìm đều có bậc $n/2$, và ông chỉ ra rằng, bằng một phép tính khử được tiến hành một cách thích hợp, các hệ số chưa biết của $f_1$ và $f_2$ có thể được biểu diễn hữu tỉ theo một nghiệm của một phương trình có các hệ số thực mà các hạng cực biên có dấu đối nhau và do hệ quả đó có ít nhất một nghiệm thực. Nhưng chứng minh của Euler chỉ là một phác thảo, trong đó một số điểm cốt yếu bị bỏ qua trong im lặng; và mãi đến năm 1772 Lagrange mới thành công trong việc giải quyết các khó khăn do chứng minh này nêu lên ([191], v. III, pp. 479-516) bằng một giải tích rất dài và rất tỉ mỉ, ở đó ông tỏ ra có khả năng suốt đời ([124 a], v. II, pp. 387-397), người ta thấy ông chứng minh sự tồn tại của một thủ tục chia Euclid trong trường các căn bậc ba của đơn vị, và đưa ra một vài chỉ dẫn về một thủ tục tương tự trong trường các căn bậc 5; ông dùng các kết quả ấy để chứng minh bằng một lập luận "hạ vô hạn" đúng đắn hơn lập luận của Euler sự bất khả của phương trình $x^3 + y^3 = z^3$ trong trường các căn bậc ba của đơn vị, chỉ ra rằng phương pháp ấy có thể mở rộng cho phương trình $x^5 + y^5 = z^5$, nhưng dừng lại ở phương trình $x^7 + y^7 = z^7$ khi ghi nhận rằng khi đó không thể bác bỏ a priori trường hợp $x, y, z$ không chia được cho 7.

$^{14}$ Ngay từ công trình đầu tiên của mình về "các số iđêan", Kummer đã tường minh nêu ra khả năng áp dụng phương pháp của mình không chỉ cho các trường các căn của đơn vị, mà còn cho các trường bậc hai, và nhờ đó tìm lại các kết quả của Gauss về các dạng toàn phương nhị phân ([188 b], pp. 324-325).

một sự điêu luyện đáng chú ý trong việc sử dụng các phương pháp "Galois" (nói như vậy) do chính ông mới tạo ra (xem pp. 75 ff.).

Tuy vậy Lagrange, cũng như Euler và mọi người cùng thời với ông, không ngần ngại lập luận một cách hình thức trong một "trường các nghiệm" của một đa thức (nghĩa là, theo ngôn ngữ của ông, xét các "nghiệm ảo" của đa thức ấy); Toán học thời ông chưa cung cấp bất kỳ sự biện minh nào cho kiểu lập luận này. Vì thế Gauss, vốn cố ý thù địch, ngay từ buổi đầu, với chủ nghĩa hình thức cuồng nhiệt của thế kỷ XVIII, đã kịch liệt đứng lên, trong luận án của mình, chống lại sự lạm dụng này ([124 a], v. III, p. 3). Nhưng ông đã không là chính mình nếu ông không cảm thấy rằng ở đây đó là trường hợp của một lập luận có cách trình bày khuyết điểm nhưng về bản chất là đúng. Vì vậy vài năm sau, người ta thấy ông ([124 a], v. III, p. 33; xem thêm [124 b]) quay lại một biến thể đơn giản hơn của lập luận của Euler, đã được de Foncenex gợi ra từ năm 1759 (nhưng người sau này đã không thể đưa nó đến một kết thúc thỏa đáng), và suy ra từ đó một chứng minh mới của "định lý cơ bản", trong đó ông cẩn thận tránh mọi việc dùng các nghiệm "ảo": các nghiệm sau này được thay thế bằng những phép thêm vào và chuyên biệt hóa khéo léo của các bất định.

Như vậy vai trò của Tôpô trong "định lý cơ bản" được rút về định lý duy nhất theo đó một đa thức có các hệ số thực không thể thay đổi dấu trong một khoảng mà không trở thành không (định lý Bolzano cho các đa thức). Định lý này cũng là cơ sở của mọi tiêu chuẩn phân ly các nghiệm thực của một đa thức (có các hệ số thực), những tiêu chuẩn tạo thành một trong những đề tài ưa thích của Đại số trong thế kỷ XIX.$^{15}$

Trong quá trình nghiên cứu này, người ta không thể không nhận thấy rằng chính cấu trúc thứ tự của $\mathbf{R}$, còn hơn cả tôpô của nó, mới đóng vai trò cốt yếu ở đây;$^{16}$ chẳng hạn, định lý Bolzano cho các đa thức vẫn còn đúng đối với trường tất cả các số thực đại số. Sự vận động của các ý tưởng này đã tìm thấy mục đích của nó trong lý thuyết trừu tượng về các trường có thứ tự, do E. Artin và O. Schreier tạo ra ([7 b] và [8 a and b]); một trong những kết quả đáng chú ý hơn của lý thuyết ấy hẳn là việc phát hiện ra rằng sự tồn tại của một quan hệ thứ tự trên một trường gắn liền với những tính chất thuần túy đại số của trường đó.

$^{15}$ Về các vấn đề này, chẳng hạn người đọc có thể tham khảo [284] hoặc [317 a], pp. 223-235.

$^{16}$ Xu hướng gán cho cấu trúc thứ tự của các số thực một vị trí trội hơn cũng nổi bật trong định nghĩa các số thực bằng thủ tục các "lát cắt" của Dedekind, về cơ bản là một thủ tục áp dụng được cho mọi tập hợp có thứ tự.