5. Đa thức và trường giao hoán.

Lý thuyết trường giao hoán - và lý thuyết đa thức, gắn bó chặt chẽ với nó - bắt nguồn trực tiếp từ điều đã từng cấu thành, cho đến giữa thế kỷ XIX, đối tượng chính của Đại số cổ điển: việc giải các phương trình đại số, và các bài toán phép dựng hình tương đương với việc đó.

Ngay khi người ta tìm cách giải một phương trình đại số bậc $> 1$, người ta vấp phải những khó khăn tính toán thuộc một kiểu hoàn toàn mới, vì việc xác định một ẩn số là điều không thể thực hiện bằng những phép tính "hữu tỉ" xuất phát từ các đại lượng đã cho. Khó khăn này hẳn đã được nhận thấy từ rất sớm: và phải kể vào một trong những đóng góp quan trọng nhất của người Babylon việc họ đã biết rút việc giải các phương trình bậc hai và bậc bốn kép về một phép toán đại số mới duy nhất, là khai căn bậc hai (điều này được chứng minh bởi rất nhiều phương trình số được giải theo cách ấy trong những văn bản đã truyền lại cho chúng ta ([232], pp. 183-193)). Về phương diện tính toán hình thức, thời Cổ đại sẽ không bao giờ đi xa hơn điểm này trong bài toán giải các phương trình đại số; quả vậy, người Hy Lạp thời kỳ cổ điển chỉ dừng ở chỗ tìm lại các công thức Babylon dưới dạng hình học, và việc dùng chúng dưới dạng đại số không được chứng thực trước Hero (100 sau J. C.) và Diophantus.

Chính theo một hướng hoàn toàn khác mà người Hy Lạp đã đạt được những tiến bộ có tính quyết định. Chúng ta có rất ít thông tin về cách người Babylon hình dung và tính các căn bậc hai của những số nguyên không phải là bình phương;$^1$ trong những văn bản hiếm hoi đã truyền lại cho chúng ta về vấn đề này, dường như họ bằng lòng với những phương pháp gần đúng khá thô sơ ([232], pp. 33-38). Trường phái Pythagore, vốn đã xác định một cách chặt chẽ khái niệm các đại lượng thông ước được, và gắn cho nó một tính chất gần như tôn giáo, không thể giữ quan điểm đó; và có thể chính sự thất bại của những cố gắng lặp đi lặp lại nhằm biểu diễn $\sqrt{2}$ như một số hữu tỉ cuối cùng đã dẫn họ tới việc chứng minh rằng số này là vô tỉ.$^2$

$^1$ Trong tất cả các ví dụ về phương trình bậc hai và bậc bốn kép trong các văn bản Babylon, các đại lượng đã cho luôn luôn được chọn sao cho các căn thức luôn luôn lấy trên các bình phương.

$^2$ Một tác giả gần đây đã nêu nhận xét khéo léo rằng phép dựng ngũ giác đều hình sao, vốn đã được người Pythagore biết đến (và là một trong những biểu tượng huyền bí của họ), dẫn ngay lập tức tới một chứng minh tính vô tỉ của $\sqrt{5}$, và đã nêu ra

Chúng tôi sẽ nói ở chỗ khác (xem p. 148) cách khám phá này, vốn đánh dấu một bước ngoặt lớn trong lịch sử Toán học, đã tác động sâu sắc đến khái niệm "số" ở người Hy Lạp, và đã dẫn họ tới chỗ tạo ra một đại số thuần tuý có tính chất hình học, để tìm trong đó một cách biểu diễn (hay có lẽ là một chứng minh "sự tồn tại" của) các tỉ số không thông ước được, mà họ từ chối coi là những số. Thông thường nhất, họ quy một bài toán đại số về giao của hai đường cong phẳng phụ trợ, được chọn một cách thích hợp, hoặc về một số phép xác định kế tiếp nhau những giao như vậy. Những truyền thống muộn, ít có thẩm quyền, quy việc đưa vào một sự phân loại đầu tiên các phép dựng này, vốn được dành cho một sự nghiệp lâu dài và rực rỡ, về Plato: có vẻ như vì những lý do triết học hơn là toán học, ông đã tách riêng các phép dựng gọi là "bằng thước và compa", nghĩa là những phép dựng trong đó không có đường cong phụ trợ nào ngoài các đường thẳng và đường tròn. Dù sao đi nữa, Euclid, trong bộ Elements [107] của ông, chỉ giới hạn ở việc khảo sát riêng những bài toán giải được theo cách này (tuy nhiên không đặc trưng chúng bằng một tên gọi riêng); một hoàn cảnh mà chắc hẳn đã góp phần không nhỏ vào việc ghim chặt sự chú ý của các nhà toán học trong những thế kỷ sau vào những bài toán ấy. Nhưng ngày nay chúng ta biết rằng các phương trình đại số có thể giải được "bằng thước và compa" thuộc một kiểu rất đặc biệt; đặc biệt, một phương trình bất khả quy bậc 3 (trên trường hữu tỉ) không thể giải được theo cách này, và người Hy Lạp đã gặp từ rất sớm những bài toán bậc 3 vẫn còn nổi tiếng, như bài toán nhân đôi khối lập phương (giải $x^3 = 2$) và bài toán chia ba một góc; còn bài toán cầu phương hình tròn thì, trái lại, đặt họ trước một bài toán siêu việt. Chúng tôi nêu ra giả thiết (mà tiếc rằng không được một văn bản nào hậu thuẫn) rằng chính theo cách này mà người Pythagore đã đi đến việc phát hiện ra các số vô tỉ [323].

3 Gắn với nguyên lý này, việc phân loại các đường cong phẳng thành "quỹ tích phẳng" (đường thẳng và đường tròn), "quỹ tích khối" (các conic, thu được bằng tiết diện phẳng của một vật thể khối, hình nón) cũng được quy cho Plato, còn mọi đường cong khác thì được gom lại dưới tên "τόποι γραμμικοί". Thật lạ khi thấy ảnh hưởng của sự phân loại này tác động lên Descartes, người mà trong bộ Geometry của mình đã xếp vào cùng một "thể loại" các phương trình bậc $2n - 1$ và bậc $2n$, hẳn là vì những phương trình bậc 1 hoặc 2 được giải bằng giao của các "quỹ tích phẳng", còn những phương trình bậc 3 hoặc 4 thì bằng các giao của những "quỹ tích khối" ([85 a], v. VI, pp. 392-393).

4 Việc xác định các điểm giao của một đường thẳng và một đường tròn (hoặc của hai đường tròn) là tương đương với việc giải một phương trình bậc hai mà các hệ số là các hàm hữu tỉ theo các hệ số của các phương trình của đường thẳng và của đường tròn (hoặc của hai đường tròn) đang xét. Từ đó dễ dàng suy ra rằng các tọa độ của một điểm được dựng "bằng thước thẳng và compa" xuất phát từ các điểm đã cho đều nằm trong một mở rộng $L$ của trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ, thu được như sau: nếu $K$ là trường thu được bằng cách kề vào $\mathbf{Q}$ các tọa độ của các điểm đã cho, thì tồn tại một dãy tăng $(L_i)_{0 \leq i \leq n}$ các trường trung gian giữa $K$ và $L$, thỏa mãn các điều kiện $K = L_0, L = L_n, [L_i : L_{i-1}] = 2$ với $1 \leq i \leq n$. Bằng quy nạp theo $n$, suy ra rằng bậc trên $K$ của mở rộng Galois $N$ sinh bởi $L$ là một lũy thừa của 2; ngược lại, có thể chứng minh rằng, nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì tồn tại một dãy $(L_i)$ các trường trung gian giữa $K$ và $L$ có các tính chất trước đó, và từ đó suy ra rằng bài toán như đã phát biểu là giải được bằng thước thẳng và compa (xem [312], tr. 351-366).

chúng, để giải các bài toán ấy, bằng cách đưa vào nhiều đường cong đại số (các đường conic, cissoid của Diocles, conchoid của Nicomedes) hoặc siêu việt (quadratrix của Dinostratus, spiral của Archimedes); điều đó hẳn đã dẫn họ tới một sự nghiên cứu tự trị về các đường cong khác nhau ấy, nhờ đó chuẩn bị con đường cho những phát triển sau này trong Hình học giải tích, trong Hình học đại số và trong phép tính vi tích phân. Nhưng các phương pháp này không giúp đạt được tiến bộ nào trong việc giải các phương trình đại số,$^5$ và công trình duy nhất của thời Cổ đại có đóng góp xứng đáng cho vấn đề này và có ảnh hưởng lâu bền lên các nhà đại số thời Trung cổ và Phục hưng là Quyển X của Elements của Euclid [107]; trong Quyển này (mà một số sử gia muốn quy các kết quả chính về cho Theetetus), ông xét các biểu thức thu được bằng cách tổ hợp nhiều căn thức, như $\sqrt{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$ ($a$ và $b$ hữu tỉ), nêu các điều kiện để các biểu thức ấy là vô tỉ, xếp chúng thành nhiều loại (mà ông chỉ ra là phân biệt), và nghiên cứu các quan hệ đại số giữa các vô tỉ khác nhau ấy, chẳng hạn những quan hệ mà ngày nay ta sẽ viết là

toàn bộ được diễn đạt trong ngôn ngữ hình học quen thuộc của Elements, khiến cho sự trình bày đặc biệt nặng nề và vụng về.

Sau sự suy tàn của toán học Hy Lạp cổ điển, các quan niệm liên quan đến các phương trình đại số được biến đổi. Không còn nghi ngờ gì rằng, trong suốt toàn bộ thời kỳ cổ điển, người Hy Lạp đã có trong tay các phương pháp gần đúng vô hạn đối với căn bậc hai, mà đáng tiếc là chúng ta được biết rất ít.$^6$ Với người Ấn Độ, rồi người Ả Rập và những người mô phỏng phương Tây của họ thời Trung cổ, việc khai căn ở mọi cấp trở thành một phép toán có xu hướng được xem là cơ bản trên cùng cơ sở như các phép toán hữu tỉ của đại số, và được ký hiệu, cũng như các phép toán sau này, bằng những ký hiệu mà

$^5$ Do thiếu một phép tính đại số đủ dễ dùng, không tìm thấy ở người Hy Lạp dấu vết nào của một nỗ lực phân loại những bài toán mà họ không biết giải bằng thước thẳng và compa: người Ả Rập là những người đầu tiên quy nhiều bài toán kiểu đó (chẳng hạn phép dựng các đa giác đều 7 cạnh và 9 cạnh) về các phương trình bậc 3.

$^6$ Chẳng hạn, phương pháp của Archimedes để tính gần đúng số $\pi$ đòi hỏi phải biết một số căn bậc hai với độ gần đúng khá tốt, nhưng chúng ta không biết quy trình mà Archimedes đã dùng để thu được các giá trị ấy. Phương pháp gần đúng đối với $\sqrt{2}$, cung cấp khai triển của số này thành một "phân số liên tục", được biết đến (dưới một dạng hình học) từ một văn bản của Theon thành Smyrna (thế kỷ III sau Công nguyên), nhưng có lẽ quay trở lại tới những người Pythagoras đầu tiên. Còn về phương pháp gần đúng vô hạn đối với căn bậc hai vẫn còn dùng trong giảng dạy sơ cấp ngày nay, thì không thấy được chứng thực trước Theon thành Alexandria (thế kỷ IV sau Công nguyên), mặc dù chắc hẳn nó đã được Ptolemy biết đến. Cuối cùng, hãy chú ý rằng người ta gặp ở Hero (khoảng năm 100 sau Công nguyên) một phép tính gần đúng cho một căn bậc ba [103].

ngày càng dễ dùng hơn trong các phép tính.$^7$ Lý thuyết về phương trình bậc hai, được hoàn thiện trong suốt thời Trung cổ (số nghiệm, nghiệm âm, các trường hợp bất khả, nghiệm kép), và lý thuyết về các phương trình hai bậc bốn, cung cấp những mẫu mực cho các công thức giải phương trình "bằng căn thức", mà từ đó các nhà đại số sẽ trong nhiều thế kỷ cố gắng sao chép các công thức tương tự để giải các phương trình bậc cao hơn, trước hết là các phương trình bậc 3. Leonardo thành Pisa, người đưa khoa học Ả Rập vào phương Tây một cách chủ yếu ở thế kỷ XIII, dù sao cũng nhận ra rằng các vô tỉ được Euclid phân loại trong quyển X của ông không thể dùng vào mục đích ấy (một chứng minh mới cho sự bất khả, trong một lý thuyết vốn đã chứa quá nhiều điều đó), và ta đã thấy ông thử thực hiện những phép tính tương tự với các căn bậc ba, thu được các hệ thức như

tương tự với các công thức của Euclid cho căn bậc hai (mà ngoài ra người ta còn gặp những ví dụ trước đó ở người Ả Rập). Nhưng vẫn còn phải trải qua ba thế kỷ nỗ lực không kết quả trước khi Scipio del Ferro, vào đầu thế kỷ XVI, cuối cùng thành công, đối với phương trình $x^3 + ax = b$, trong việc thu được công thức nghiệm$^8$

Ở đây chúng tôi không thể mô tả mặt sinh động của khám phá gây chấn động này — những cuộc cãi vã mà nó đã khơi ra giữa Tartaglia một bên và Cardan cùng trường phái của ông bên kia — cũng như chân dung, thường là hấp dẫn, của các học giả đã là những nhân vật chính. Nhưng phải chú ý đến bước tiến quyết định tiếp theo đó đối với lý thuyết phương trình, trong tay Cardan và các học trò của ông. Cardan, người ít ác cảm hơn phần lớn những người cùng thời với việc dùng các số âm, do đó nhận thấy rằng các phương trình bậc ba có thể có ba nghiệm, và các phương trình hai bình phương bốn nghiệm ([50], v. IV, p. 259), và ông nhận xét rằng tổng của ba nghiệm của $x^3 + bx = ax^2 + c$ (một phương trình mà ông biết cách khử số hạng theo $x^2$) luôn luôn bằng $a$ (ibid.). Không nghi ngờ gì là được dẫn dắt bởi quan hệ này và trực giác có tính tổng quát của nó, ông có ý tưởng ban đầu về khái niệm bội số của một nghiệm; trên hết, ông trở nên mạnh dạn (không phải không có sự chuẩn bị kiểu hùng biện) để tính hình thức với các biểu thức chứa căn bậc hai của các số âm. Có lẽ ông đã đi tới điều đó do thực tế là các biểu thức như thế nảy sinh một cách tự nhiên trong

$^7$ Tính vô tỉ của $\sqrt[n]{a}$, khi $a$ là một số nguyên không phải là một lũy thừa bậc $n$ khớp, không được nhắc đến hay chứng minh trước Stifel (thế kỷ XVI); trong mọi trường hợp, chứng minh của người sau này ([298], p. 103) được sao chép từ chứng minh của Euclid cho $n = 2$, và khá ít có khả năng là sự tổng quát hóa dễ dàng này đã không được chú ý đến từ trước.

$^8$ Nếu đặt $x = y + z$ với điều kiện $yz = -a/3$ thì ta được $y^3 + z^3 = b$ và $y^3 z^3 = -(a/3)^3$, từ đó suy ra $y^3$ và $z^3$.

việc dùng công thức (1) khi $(\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{3})^3 < 0$ (một trường hợp — được gọi là “bất khả quy” — trong đó Cardan đã nhận ra sự tồn tại của ba nghiệm thực); đó là điều trong mọi trường hợp hiện ra rõ ràng ở học trò của ông là R. Bombelli, người mà, trong tác phẩm Algebra của mình ([28 a], p. 293), chứng minh quan hệ

và cẩn thận cho một cách tường minh các quy tắc tính số phức dưới một dạng rất gần với các trình bày hiện đại.$^9$

Cuối cùng, ngay từ năm 1545, một học trò khác của Cardan là L. Ferrari đã thành công trong việc giải phương trình tổng quát bậc 4, với sự giúp đỡ của một phương trình phụ bậc 3.$^{10}$

Sau một bước tiến nhanh như vậy, thời kỳ tiếp theo, cho đến giữa thế kỷ XVIII, hầu như không làm gì hơn ngoài việc phát triển những ý tưởng mới do trường phái Ý đưa vào. Nhờ bước tiến cốt yếu mà nó đem lại cho ký hiệu đại số, Viète có thể biểu diễn một cách tổng quát các quan hệ giữa các hệ số và các nghiệm của một phương trình đại số, ít nhất khi các nghiệm đều dương$^{11}$ ([319], p. 158). Táo bạo hơn, A. Girard [129] không ngần ngại khẳng định (dĩ nhiên không có chứng minh) rằng một phương trình bậc $n$ có đúng $n$ nghiệm, với điều kiện phải kể cả các “nghiệm không thể”, mỗi nghiệm với bậc bội số của nó, và rằng các nghiệm ấy thỏa mãn các quan hệ do Viète cho; ông cũng thu được, lần đầu tiên, một biểu thức cho các tổng lũy thừa của các nghiệm cho đến số mũ 4.

Nhưng tinh thần của thế kỷ XVII hướng về những phương hướng khác và chỉ như một hệ quả gián tiếp mà đại số có phần nào hưởng lợi từ những khám phá mới của Hình học giải tích và phép tính Vi tích phân. Như vậy, với phương pháp của Descartes để tìm các tiếp tuyến của các đường cong đại số (x. p. 178) gắn liền tiêu chuẩn về bội số của một nghiệm của một phương trình đại số, được phát biểu bởi học trò của ông là Hudde ([85 b], v. I, pp. 433 and 507-509). Chắc hẳn cũng phải quay trở lại ảnh hưởng của Descartes mà

$^9$ Bombelli ([28 a], pp. 169 and 190) xem các số phức như những “tổ hợp tuyến tính” với các hệ số dương, của bốn phần tử cơ sở: “piu” (+1), “meno” (-1), “piu de meno” (+i) và “meno de meno” (-i); đặc biệt ông phát biểu như một tiên đề rằng “piu” và “piu de meno” không thể cộng được, đây là lần xuất hiện đầu tiên của khái niệm độc lập tuyến tính.

$^{10}$ Sau khi đưa phương trình về dạng $x^4 = ax^2 + bx + c$, một số $z$ được xác định sao cho vế thứ hai của phương trình

$^{11}$ Viète, một người ngưỡng mộ say mê các nhà Cổ đại, kiêng một cách có hệ thống việc đưa các số âm vào trong các lập luận của mình; tuy vậy, không vì thế mà ông không có khả năng, trong một số trường hợp, diễn đạt bằng ngôn ngữ của mình các quan hệ giữa các hệ số và các nghiệm khi một vài nghiệm sau này là âm; chẳng hạn, nếu phương trình $x^3 + b = ax$ có hai nghiệm dương $x_1, x_2 (a > 0, b > 0)$, Viète chỉ ra rằng $x_1^2 + x_2^2 + x_1 x_2 = a$ và $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = b$ ([319], p. 106).

đối với sự phân biệt giữa các hàm đại số và các hàm siêu việt, song song với sự phân biệt mà ông đưa ra trong cuốn Géométrie của mình giữa các đường cong "hình học" và "cơ học" (x. các tr. 176 và 193.). Dù sao đi nữa, sự phân biệt này hoàn toàn rõ ràng ở J. Gregory, người vào năm 1667 thậm chí còn cố chứng minh rằng diện tích của một cung quạt tròn không thể là một hàm đại số của dây cung và bán kính ([136 a]; x. [155]). Cách nói "siêu việt" là của Leibniz, người suốt cả sự nghiệp của mình không ngừng quan tâm đến những vấn đề phân loại này, và người, vào khoảng năm 1682, phát hiện ra một chứng minh đơn giản cho kết quả mà Gregory tìm kiếm, bằng cách chứng minh rằng $\sin x$ không thể là một hàm đại số của $x$ ([198 a], v. V, tr. 97-98).12 Cùng với người bạn Tschirnhaus, hơn nữa ông là một trong số rất ít nhà toán học của thời mình còn quan tâm đến bài toán giải các phương trình đại số "bằng căn thức". Trong những bước đầu, ta thấy ông nghiên cứu "trường hợp bất khả quy" của phương trình bậc 3, và tự thuyết phục mình (thực ra không có chứng minh đầy đủ) rằng trong trường hợp này không thể loại bỏ các đại lượng ảo khỏi các công thức nghiệm ([198 d], tr. 547-564). Cũng vào khoảng thời gian ấy, ông cũng tấn công nhưng không thành công vào việc giải bằng căn thức phương trình bậc 5; và về sau, khi Tschirnhaus cho rằng mình đã giải được bài toán bằng cách làm triệt tiêu mọi hạng của phương trình trừ hai hạng biên nhờ một phép biến đổi dạng $y = P(x)$, trong đó $P$ là một đa thức bậc 4 được chọn thích hợp, Leibniz lập tức nhận ra rằng các phương trình xác định các hệ số của $P(x)$ có bậc $> 5$, và phán đoán rằng phương pháp ấy tất yếu sẽ thất bại ([198 d], tr. 402-403).

Có vẻ như chính những nhu cầu của Giải tích mới đã từng chút một làm sống lại sự quan tâm đến đại số. Việc lấy tích phân các hàm hữu tỉ, do Leibniz và Johann Bernoulli hoàn thành, và vấn đề các logarit ảo gắn chặt với nó, đã tạo dịp để đào sâu phép tính các số ảo, và để trả lời câu hỏi về phép phân tích một đa thức thành các nhân tử bậc nhất ("định lý cơ bản của đại số").13 Ngay từ đầu thế kỷ XVIII, việc giải phương trình nhị thức $x^n - 1 = 0$ đã được Cotes và de Moivre quy về

12 Định nghĩa mà Leibniz đưa ra cho "các đại lượng siêu việt" ([198 a], v. V, p. 228; xem thêm cùng chỗ ấy, p. 120) dường như áp dụng cho các hàm nhiều hơn là cho các số (theo ngôn ngữ hiện đại, điều ông làm quy về việc định nghĩa các phần tử siêu việt trên trường nhận được bằng cách nối vào trường số hữu tỉ các số đã cho của bài toán); tuy nhiên có khả năng là ông đã có một khái niệm khá rõ về các số siêu việt (mặc dù các số này dường như chưa được định nghĩa một cách chính xác trước cuối thế kỷ XVIII); trong mọi trường hợp, ông nhận xét một cách tường minh rằng một hàm siêu việt có thể nhận các giá trị hữu tỉ tại các giá trị hữu tỉ của biến, và do đó suy ra rằng chứng minh của ông về tính siêu việt của $\sin x$ không đủ để chứng minh rằng $\pi$ là vô tỉ ([198 a] v. V, tr. 97 và 124-126). 13 Người ta có thể thấy đầy đủ tình trạng sơ khai của phép tính các số phức vào thời này khi thấy Leibniz (dẫu vậy vẫn là một trong những người thành thạo nhất các kỹ thuật ấy trong số các nhà toán học cùng thời) phát biểu như thể không thể phân tích $x^4 + 1$ thành hai nhân tử thực bậc hai ([198 a], v. V, tr. 359-360).

việc chia đường tròn thành $n$ phần bằng nhau; do đó, để thu được biểu thức các nghiệm của nó "bằng căn thức", chỉ cần biết cách làm điều đó khi $n$ là một số nguyên tố lẻ, và de Moivre nhận xét rằng phép thế $y = x + \frac{1}{x}$ khi ấy quy bài toán về việc giải "bằng căn thức" một phương trình bậc $(n - 1)/2$. Còn về "định lý cơ bản", sau những thất bại lặp đi lặp lại trong việc tìm lời giải tổng quát "bằng căn thức" (kể cả nhiều thử nghiệm của Euler ([108 a], (1), v. VI, p. 1-19 và 170-196)), người ta bắt đầu tìm kiếm các chứng minh $a$ priori, không dùng các công thức tường minh của nghiệm. Không đi vào chi tiết các phương pháp được đề nghị (vốn sẽ dẫn tới các chứng minh của Lagrange và Gauss; x. p. 91 và 161), ở đây cần chú ý đến quan điểm mà từ đó bài toán được nhìn nhận vào giữa thế kỷ XVIII: người ta giả định (không có sự biện minh nào khác ngoài một cảm giác mơ hồ về tính tổng quát, hẳn xuất phát, như ở A. Girard, từ sự tồn tại của các hệ thức giữa các hệ số và các nghiệm) rằng một phương trình bậc $n$ luôn có $n$ nghiệm "iđêan", mà người ta có thể tính toán với chúng như với các số, mà không biết chúng có phải là các số hay không (thực hay phức); và điều cần chứng minh là (nếu cần thì dùng các phép tính trên các nghiệm iđêan) ít nhất một trong các nghiệm ấy là một số phức thông thường.$^{14}$

Dưới dạng khiếm khuyết này, người ta nhận ra ở đây phôi thai đầu tiên của ý tưởng tổng quát về một "phép nối hình thức", ý tưởng mà, bất chấp các phản đối của Gauss ([124 a], v. III, tr. 1), sẽ trở thành cơ sở của lý thuyết hiện đại về các trường giao hoán.

Với những hồi ký nền tảng của Lagrange ([191], v. III, pp. 205-421) và của Vandermonde [315], năm 1770 mở ra một thời kỳ mới và có tính quyết định trong lịch sử lý thuyết các phương trình đại số. Sau chủ nghĩa kinh nghiệm của những cố gắng ít nhiều may mắn nhằm tìm các công thức nghiệm, vốn cho đến lúc đó ngự trị không hề bị tranh cãi, sẽ là một sự giải tích có hệ thống các bài toán như được phát biểu và các phương pháp có thể thích nghi để giải chúng, một sự giải tích mà trong sáu mươi năm sẽ dẫn tới những kết quả chung cuộc của Galois. Lagrange và Vandermonde đều xuất phát từ tính nước đôi mà các xác định bội của các căn thức đưa vào trong các công thức nghiệm của những phương trình bậc $\leq 4$; sự kiện này đã thu hút sự chú ý của Euler ([108 a], (1), v. VI, pp. 1-19), người đã chỉ ra trong số những điều khác cách mà, trong công thức của del Ferro, phải phối hợp các xác định của những căn thức xuất hiện ở đó để thu được 3 nghiệm chứ không phải 9.$^{15}$ Lagrange nhận thấy rằng mỗi căn bậc ba trong công thức của del Ferro có thể được viết dưới dạng $\frac{1}{3}(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$, trong đó $\omega$ là một căn bậc ba của đơn vị, $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đang xét, lấy theo một thứ tự nào đó, và ông đưa ra nhận xét nền tảng rằng hàm $(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)$ của ba nghiệm chỉ có thể nhận hai giá trị phân biệt đối với mọi hoán vị của ba nghiệm, điều này giải thích tiên nghiệm sự thành công của các phương pháp giải phương trình này. Một sự giải tích tương tự

$^{14}$ Cần lưu ý rằng điều mà các nhà toán học thế kỷ XVIII gọi là "nghiệm ảo" thường chỉ là những nghiệm "iđêan" nói trên, và họ tìm cách chứng minh rằng những nghiệm này có dạng $a + b \sqrt{-1}$ (xem chẳng hạn [191], v. III, p. 479).

$^{15}$ Xem chú thích ở p. 72: phải có $yz = -a/3$.

về các phương pháp giải phương trình bậc 4 dẫn ông tới hàm $x_1 x_2 + x_3 x_4$ của bốn nghiệm, hàm này chỉ nhận ba giá trị phân biệt đối với mọi hoán vị của các nghiệm, và do đó là một nghiệm của một phương trình bậc ba với các hệ số là những hàm hữu tỉ của các hệ số của phương trình đã cho;$^{16}$ những sự kiện ấy, Lagrange nói, cấu thành "những nguyên lý chân thực, và, có thể nói, siêu hình học$^{17}$ của việc giải các phương trình bậc 3 và bậc 4" ([191], v. III, p. 357). Dựa vào những ví dụ đó, ông đề nghị nghiên cứu nói chung, đối với một phương trình bậc $n$, số $\nu$ các giá trị$^{18}$ mà một hàm hữu tỉ $V$ của $n$ nghiệm có thể nhận khi người ta hoán vị chúng một cách tùy ý; thực ra ông khai mở như vậy (với thuật ngữ còn gắn chặt với lý thuyết các phương trình này) lý thuyết các nhóm và lý thuyết các trường, trong đó ông đã thu được một số kết quả nền tảng bằng cách dùng chính những nguyên lý như những nguyên lý vẫn được dùng ngày nay. Chẳng hạn, ông chỉ ra rằng số $\nu$ là một ước của $n!$ bằng lập luận hiện nay được dùng để chứng minh rằng cấp của một nhóm con của một nhóm hữu hạn chia cấp của nhóm. Càng đáng chú ý hơn nữa là định lý trong đó ông chỉ ra rằng, nếu $V_1$ và $V_2$ là hai hàm hữu tỉ của các nghiệm sao cho $V_1$ và $V_2$ bất biến dưới cùng những hoán vị, thì mỗi hàm trong chúng là một hàm hữu tỉ của hàm kia và của các hệ số của phương trình (một trường hợp riêng của định lý Galois đặc trưng một mở rộng con của một mở rộng Galois như trường các bất biến của nhóm Galois của nó): "Bài toán này", ông nói, "đối với tôi dường như là một trong những bài toán quan trọng nhất trong lý thuyết các phương trình, và lời giải tổng quát mà chúng tôi sẽ đưa ra cho nó sẽ là phương tiện làm sáng tỏ thêm phần này của Đại số" ([191], v. III, p. 374).

Tất cả những nghiên cứu này, một cách tự nhiên, trong tư tưởng của Lagrange, là những bước chuẩn bị cho sự giải tích các phương pháp khả dĩ để giải các phương trình đại số bằng cách quy giảm liên tiếp về những phương trình bậc thấp hơn, một phương pháp như vậy gắn liền, như ông chỉ ra, với việc lập thành những hàm hữu tỉ của các nghiệm nhận ít hơn $n$ giá trị dưới các hoán vị của các nghiệm. Chắc hẳn được dẫn dắt bởi các kết quả của ông về phương trình bậc 3, ông đưa vào một cách tổng quát các "phân giải thức Lagrange" $y_k = \sum_{h=1}^n \omega_k^h x_h$, trong đó $\omega_k$ là một căn bậc $n$ của đơn vị ($1 \leq k \leq n$), chỉ ra rõ ràng làm thế nào việc biết $n$ số này dẫn đến việc biết các nghiệm $x_k$, và xét một cách tổng quát bậc của phương trình mà các $y_k$ thỏa mãn; ông chẳng hạn chỉ ra rằng, nếu $n$ là nguyên tố, thì các $y_k$ là

$^{16}$ Waring cũng đưa ra nhận xét này trong Meditationes algebraicae của ông, xuất bản đúng vào cùng năm 1770, nhưng ông còn xa mới rút ra được những hệ quả như Lagrange. $^{17}$ Với từ này, vốn trở lại rất thường xuyên dưới ngòi bút của các tác giả thế kỷ XVIII, ta có thể thấy một trực giác đầu tiên (còn hết sức mơ hồ) về quan niệm hiện đại của cấu trúc. $^{18}$ Lagrange đã phân biệt giữa các phân thức hữu tỉ khác nhau thu được từ $V$ bằng các hoán vị của các bất định $x_i (1 \leq i \leq n)$, và các giá trị khác nhau mà các phân thức này nhận khi các $x_i$ là các nghiệm của một phương trình đại số với các hệ số số học cho trước; nhưng trong trình bày của ông vẫn còn một sự mơ hồ nào đó về điểm này, và phải đến Galois thì sự phân biệt mới trở nên rõ ràng hơn nhiều.

nghiệm của một phương trình bậc $n - 1$, mà các hệ số là những hàm hữu tỉ của một nghiệm của một phương trình bậc $(n - 2)!$ với các hệ số được biểu thị một cách hữu tỉ theo các hệ số của phương trình đã cho. "Đó là, nếu tôi không lầm", ông kết luận, "những nguyên lý thực sự để giải các phương trình, và sự giải tích đúng đắn nhất để đi tới đó; như có thể thấy, mọi sự quy về một loại phép tính tổ hợp, nhờ đó người ta tìm được tiên nghiệm những kết quả phải được chờ đợi" ([191], v. III, p. 403).

Còn đối với hồi ký của Vandermonde, độc lập với hồi ký của Lagrange, thì nó gặp hồi ký sau này ở nhiều điểm, đặc biệt là về ý tưởng tìm các hàm hữu tỉ của các nghiệm nhận ít giá trị phân biệt nhất có thể dưới các phép hoán vị của các nghiệm,$^{19}$ và việc nghiên cứu các "resolvent của Lagrange" mà ông cũng đưa vào nhằm mục đích ấy. Công trình của ông còn xa mới có được sự rõ ràng và tính tổng quát như công trình của Lagrange; tuy nhiên, ở một điểm, nó đi rõ ràng xa hơn, khi áp dụng cùng những ý tưởng ấy cho phương trình phân chia đường tròn $x^n - 1 = 0$ với $n$ là một số nguyên tố lẻ. Trong khi Lagrange chỉ bằng lòng nhắc rằng phương trình này quy về một phương trình bậc $m = (n - 1)/2$, với các hệ số hữu tỉ, mà không tìm cách giải nó khi $n \geq 11$, thì Vandermonde khẳng định rằng các lũy thừa bậc $m$ của các resolvent của Lagrange của phương trình này là hữu tỉ, do các quan hệ giữa các nghiệm khác nhau của $x^n - 1 = 0$; nhưng ông chỉ giới hạn ở việc kiểm tra tính đúng đắn của mệnh đề này trong trường hợp $n = 11$, mà không biện minh nó theo một cách tổng quát.

Mãi 30 năm sau thì kết quả do Vandermonde công bố mới được C. F. Gauss chứng minh đầy đủ.$^{20}$ Những kết quả quyết định của ông về phương trình $x^n - 1 = 0$ ($n$ là một số nguyên tố lẻ) nằm trong chương trình chung của công trình nghiên cứu đáng ghi nhớ của ông về số học ([124 a], v. I, pp. 413 ff.), và minh họa theo một cách rất đặc biệt sự tinh thông của ông trong việc xử lý điều mà ngày nay ta gọi là lý thuyết các nhóm cyclic. Sau khi đã chứng minh rằng đa thức $\Phi_n(x) = (x^n - 1)/(x - 1)$ là bất khả quy đối với $n$ là một số nguyên tố lẻ,$^{21}$ ông nảy ra ý tưởng viết $n - 1$ nghiệm của nó dưới dạng $\zeta^{g^k} = \zeta_k (0 \leq k \leq n - 2)$, trong đó $g$ là một nghiệm nguyên thủy của đồng dư thức $z^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}$) (điều này, theo ngôn ngữ hiện đại, tương đương với việc làm lộ rõ sự kiện rằng nhóm $\Gamma$ của phương trình $\Phi_n(x) = 0$ là cyclic). Với mỗi ước $e$ của $n - 1$, ông thiết lập sự tương ứng với $f = (n - 1)/e$ "chu kỳ" $\eta_\nu = \xi_\nu + \xi_{\nu + f} + \xi_{\nu + 2f} + \ldots + \xi_{\nu + (e-1)f} (1 \leq \nu \leq f)$ và chứng minh

$^{19}$ Trong công trình nghiên cứu này (mà thật ra ông chỉ phát triển cho phương trình bậc 5) xuất hiện lần đầu tiên khái niệm tính không nguyên thủy ([315], pp. 390-391). Ngoài ra, dĩ nhiên người ta bị cám dỗ muốn đặt cạnh nhau các phương pháp của Lagrange và Vandermonde với công trình đương thời của họ về các định thức, vốn hẳn đã làm cho ý tưởng về phép hoán vị và tất cả những gì đi kèm với nó trở nên quen thuộc đối với họ

$^{20}$ Gauss không trích dẫn Vandermonde trong Disquisitiones của ông, nhưng có khả năng là ông đã đọc hồi ký của tác giả sau này (x. [124 a], v. X_2, Abh. 4., p. 58).

$^{21}$ Khái niệm đa thức bất khả quy (với các hệ số hữu tỉ) có từ thế kỷ XVII, và Newton cùng Leibniz đã nêu ra những thủ tục cho phép (ít nhất là về mặt lý thuyết) xác định các nhân tử bất khả quy của một đa thức với các hệ số hữu tỉ cho tường minh ([198 a], v. IV, pp. 329 and 355); nhưng chứng minh của Gauss là chứng minh đầu tiên về tính bất khả quy có thể áp dụng cho cả một tập hợp các đa thức có bậc lớn tùy ý.

về thực chất rằng các tổ hợp tuyến tính với các hệ số hữu tỉ của các $\eta_\nu$ lập thành một trường, được sinh bởi bất kỳ một trong $f$ chu kỳ $\eta_\nu$ nào và có bậc $f$ trên trường các số hữu tỉ (trường này tương ứng một cách tự nhiên với nhóm con của $\Gamma$ có cấp $e$). Ở đây chúng tôi không thể đi vào các chi tiết của phép giải tích của ông, cũng như các hệ quả số học quan trọng suy ra từ đó; chỉ xin lưu ý rằng, đặc biệt, nó đem lại cho ông định lý nổi tiếng về khả năng dựng "bằng thước và compa" các đa giác có số cạnh bằng một số nguyên tố dạng $2^{2^k} + 1$.$^{22}$ Còn đối với việc giải bằng căn thức phương trình $\Phi_n(x) = 0$, nó suy ra dễ dàng từ lý thuyết các chu kỳ, áp dụng cho lũy thừa bậc $f$ của một resolvent của Lagrange $\sum_{\nu=0}^{f-1} \omega^\nu \eta_\nu$ (trong đó $\omega^f = 1$).$^{23}$

Chính trực tiếp với Lagrange mà công trình nghiên cứu của đồng hương ông là Ruffini [265] được gắn kết, cùng thời với Disquisitiones; tiếp tục lại vấn đề tại đúng chỗ mà Lagrange đã bỏ dở, ông đặt ra làm mục tiêu việc chứng minh tính bất khả của lời giải "bằng căn thức" đối với phương trình "tổng quát"$^{24}$ bậc 5. Chứng minh của Ruffini, dài dòng và tối nghĩa, vẫn không hoàn chỉnh mặc dù đã được làm lại nhiều lần; nhưng nó đã rất gần với chứng minh (đúng về nguyên tắc) mà về sau Abel sẽ đạt được.$^{25}$ Mối quan tâm chủ yếu của nó đặc biệt nằm ở việc đưa vào các phép tính với các thế và những khái niệm đầu tiên của lý thuyết nhóm, mà Ruffini phát triển để chứng tỏ rằng không tồn tại một hàm của 5 nghiệm của phương trình nhận nhiều hơn 2 và ít hơn 5 giá trị khi các nghiệm bị hoán vị một cách tùy ý.

Chúng tôi đã nói rồi (xem p. 51) bằng cách nào phác thảo đầu tiên này của lý thuyết các nhóm hoán vị đã được Cauchy phát triển và hệ thống hóa vài năm sau đó. Nhưng, nếu các khái niệm cần thiết cho việc phát triển các ý tưởng của Lagrange nhờ đó mà dần dần được làm sáng tỏ về mặt các thế, thì vẫn còn cần phải phát biểu một cách rõ ràng không kém những nguyên lý đầu tiên của lý thuyết trường. Đó chính là điều còn thiếu đối với Ruffini, và chính điều đó mà Abel

$^{22}$ Gauss khẳng định một cách tường minh rằng ông có một chứng minh cho sự kiện trường hợp này là trường hợp duy nhất trong đó có thể xây dựng bằng thước thẳng và compa một đa giác có số cạnh là một số nguyên tố lẻ ([124 a], v. I, p. 462); nhưng chứng minh này không bao giờ được công bố và người ta không tìm thấy nó trong các bản thảo của ông. $^{23}$ Thực ra, nếu ta chỉ muốn chứng minh rằng phương trình giải được bằng căn thức, thì ta có thể chỉ cần lấy $e = 1$, và lập luận bằng quy nạp theo $n$. $^{24}$ Thực ra, các nhà toán học của thế kỷ XIX hiểu điều đó, về thực chất, là một phương trình mà các hệ số là các bất định trên trường hữu tỉ. Nhưng khái niệm hiện đại về bất định chỉ xuất hiện vào những năm cuối của thế kỷ XIX; trước đó, bởi "đa thức" hay "hàm hữu tỉ", người ta muốn nói một hàm của các biến phức. Một phương trình đại số "tổng quát" được quan niệm như một phương trình mà các hệ số là những biến phức độc lập, và mà các nghiệm là những "hàm đại số" của các biến ấy - khái niệm, nói đúng ra, hoàn toàn không có một ý nghĩa chính xác nào nếu ta cho từ "hàm" nghĩa hiện nay của nó. Dĩ nhiên, các lập luận về những "hàm đại số" ấy nói chung tự thân là đúng, như có thể kiểm chứng bằng cách chuyển chúng sang ngôn ngữ đại số hiện đại. $^{25}$ Các công trình của Ruffini đã được phân tích hết sức cẩn thận trong [43].

và Galois sẽ làm trong giai đoạn cuối cùng của bài toán nghiệm của các phương trình đại số.

Trong suốt cuộc đời ngắn ngủi của mình, Abel không ngừng bận tâm đến bài toán này. Khi còn gần như là một đứa trẻ, ông đã tin rằng mình đã thu được một công thức cho nghiệm bằng căn thức của phương trình tổng quát bậc 5. Về sau nhận ra sai lầm của mình, ông không nghỉ cho đến khi đã thành công trong việc chứng minh rằng một công thức như vậy không tồn tại ([1], v. I, p. 66). Nhưng ông không dừng lại ở đó. Trong khi người cùng thời với ông là Jacobi phát triển lý thuyết các hàm elliptic với tư cách một nhà giải tích, thì chính quan điểm đại số chi phối công trình của Abel về vấn đề này, xoay quanh lý thuyết các phương trình chia của các hàm elliptic ([1], v. I, pp. 265, 377 and passim). Từ đó ông thu được những kiểu phương trình mới giải được bằng căn thức bằng một phương pháp phỏng theo phương pháp của Gauss để giải các phương trình chia của đường tròn ([1], v. I, pp. 310 and 358);26 từ kết quả ấy ông vươn tới quan niệm về các phương trình Abel, mà trong một hồi ký nổi tiếng ông chứng minh là giải được bằng căn thức ([1], v. I, p. 478); nhân dịp đó ông định nghĩa một cách chính xác khái niệm đa thức bất khả quy trên một trường đã cho (trường sinh bởi các hệ số của phương trình mà ông đang nghiên cứu).27 Cuối cùng cái chết quật ngã ông vào năm 1829, đúng lúc ông bắt tay vào bài toán tổng quát về việc đặc trưng tất cả các phương trình giải được bằng căn thức, và vừa mới truyền đạt cho Crelle và Legendre những kết quả đã rất gần với các kết quả của Galois ([1], v. II, pp. 219-243, 269-270 and 279).

Chính cho ông mà ba năm sau được dành phần hoàn tất vẻ vang của toàn bộ cấu trúc [123]. Cũng như Abel, nhưng còn rõ ràng hơn nữa, ông bắt đầu bằng cách định nghĩa (ngoại trừ thuật ngữ) tính chất thuộc bởi một số của một trường sinh bởi những số đã cho, khái niệm phép nối, và các đa thức bất khả quy trên một trường đã cho. Cho một phương trình $F(x) = 0$, không có nghiệm bội, với các hệ số trong một trường đã cho $K$, ông lần lượt chỉ ra rằng “người ta luôn có thể xây dựng một hàm $V$ của các nghiệm sao cho không có giá trị nào thu được bằng cách hoán vị trong hàm này các nghiệm theo mọi cách có thể đều bằng nhau”, rằng hàm này “có tính chất là tất cả các nghiệm của phương trình đã cho đều có thể biểu diễn hữu tỉ như một hàm của $V$”, và rằng, $V, V', V''$, ... là các nghiệm của phương trình bất khả quy mà $V$ thỏa mãn, “nếu $a = f(V)$ là một nghiệm của

26 Gauss đã từng chỉ ra, trong Disquisitiones, khả năng tổng quát hóa các phương pháp của ông cho các phương trình chia của đường lemniscate ([124 a], v. I, p. 413), và đã phát triển, trong những ghi chép chỉ mới được công bố vào thời đại chúng ta, trường hợp riêng của phép chia cho 5 ([124 a], v. X, pp. 161-162 and 517). Cũng như đối với biết bao chỉ dẫn ngắn gọn và bí hiểm khác mà Gauss thích gieo trong các trước tác của mình, câu văn trong Disquisitiones đã tác động mạnh mẽ đến tâm trí những người cùng thời với ông; và ta biết rằng nó đã góp phần không nhỏ vào việc thúc đẩy Abel và Jacobi trong các nghiên cứu của họ về vấn đề này. 27 Ngay cả khái niệm trường (cũng như, nói chung hơn, khái niệm tập hợp) cũng ít nhiều còn xa lạ với tư duy toán học trước Cantor và Dedekind. Abel và Galois định nghĩa các phần tử của “trường cơ sở” của họ như là tất cả những phần tử nào có thể được biểu diễn hữu tỉ như một hàm của các đại lượng đã cho, mà không nghĩ đến việc xét một cách tường minh tập hợp mà các phần tử ấy tạo thành.

phương trình đã nêu, thì $f(V')$ cũng sẽ là một nghiệm của phương trình đã nêu" ([123], pp. 47-51); theo ngôn ngữ hiện đại, như vậy ông chứng minh rằng $V$, cũng như bất kỳ một liên hợp nào của nó trên $K$, đều sinh ra trường $N$ của các nghiệm của $F$. Sau đó ông định nghĩa nhóm $\Gamma$ của $F$ là tập hợp các phép hoán vị của các nghiệm $x_i$ thu được bằng cách thay $V$, trong biểu thức hữu tỉ của mỗi $x_i$ như một hàm của $V$, bởi bất kỳ một liên hợp nào của $V$; và ông lập tức thu được sự đặc trưng cơ bản của các phần tử của $K$ bởi tính chất bất biến dưới mọi phép hoán vị của $\Gamma$ ([123], p. 51). Tiếp theo ông chứng minh rằng, nếu $N$ chứa trường các nghiệm $L$ của một đa thức khác, thì nhóm của $N$ trên $L$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$ (một khái niệm mà ông đưa vào ở chỗ này) ([123], p. 175). Từ đó cuối cùng ông suy ra tiêu chuẩn giải được của một phương trình bằng căn thức, nhờ một lập luận mà đây là phần cốt yếu: giả sử trường cơ sở $K$ chứa mọi căn nguyên thủy của đơn vị, thì theo giả thiết phải tồn tại một dãy tăng $(K_i)_{0 \leq i \leq m}$ các trường trung gian giữa $K$ và $N$, với $K_0 = K, K_m = N$, trường $K_{i+1}$ thu được bằng cách thêm vào $K_i$ mọi nghiệm của một phương trình nhị thức $x^{n_i} - a_i = 0$ (với $a_i \in K_i$). Do đó tồn tại trong $\Gamma$ một dãy giảm $(\Gamma_i)$ các nhóm con sao cho $\Gamma_0 = \Gamma, \Gamma_m = e$ (phần tử trung hòa), $\Gamma_{i+1}$ là chuẩn tắc trong $\Gamma_i$ và nhóm thương $\Gamma_i / \Gamma_{i+1}$ là cyclic (trong trường hợp này người ta nói rằng nhóm $\Gamma$ là giải được). Ngược lại, nếu đúng như vậy, việc dùng một phân giải thức Lagrange cho thấy rằng $K_{i+1}$ thu được bằng cách thêm vào $K_i$ mọi nghiệm của một phương trình nhị thức, và do đó phương trình $F(x) = 0$ giải được bằng căn thức.$^{28}$ Khi đó sự bất khả của việc giải bằng căn thức phương trình "tổng quát" bậc $n > 4$ là một hệ quả của việc nhóm $\Gamma$ của phương trình này, đẳng cấu với nhóm đối xứng $S_n$, không giải được.

Bắt đầu từ giữa thế kỷ XIX, các nhà đại số học, như chúng tôi đã nhận xét (xem p. 53), mở rộng đáng kể phạm vi nghiên cứu của mình, vốn cho đến lúc đó hầu như hoàn toàn bị giới hạn vào việc nghiên cứu các phương trình. Dưới ánh sáng của những khám phá của Galois, có vẻ rằng bài toán giải "bằng căn thức" chỉ là một trường hợp riêng, khá giả tạo, của bài toán tổng quát về phân loại các vô tỉ. Chính bài toán sau này, trong suốt phần cuối của thế kỷ XIX, sẽ bị tấn công từ nhiều phía, và nhiều kết quả rời rạc sẽ dần dần tích lũy lại, chuẩn bị con đường cho sự tổng hợp của Steinitz.

$^{28}$ Nếu $K$ không chứa mọi căn nguyên thủy của đơn vị, và nếu $E$ là trường thu được bằng cách thêm vào $K$ tất cả các căn này, thì $E \cap N$ là một mở rộng Abel của $K$; từ đó suy ra dễ dàng (bằng cách dùng cấu trúc của các nhóm Abel hữu hạn) rằng, để nhóm của $N$ trên $K$ là giải được, điều kiện cần và đủ là nhóm của $E(N)$ trên $E$ cũng như vậy. Tính đến việc các căn nguyên thủy của đơn vị biểu diễn được "bằng căn thức", ta thấy rằng tiêu chuẩn của Galois là độc lập với mọi giả thiết về trường số $K$ (và nói chung đúng cho mọi trường có đặc số 0). Thực ra, Galois không đặt ra giả thiết đơn giản hóa nào về $K$, và lập luận bằng quy nạp theo cấp của các căn thức lần lượt được thêm vào $K$ ([123], pp. 60-61).

Trước hết, đối với các vô tỉ đại số, một nguyên lý cơ bản của sự phân loại đã được lý thuyết Galois cung cấp, quy việc nghiên cứu một phương trình đại số về việc nghiên cứu nhóm của nó. Thực ra, chủ yếu là lý thuyết các nhóm hoán vị, mà chúng ta không phải nói đến ở đây (xem p. 53), mới là đối tượng nghiên cứu chính của Đại số thuần túy vào thời đó. Những tiến bộ khác trong lý thuyết các trường đại số đến từ sự phát triển đồng thời của Lý thuyết Số và Hình học Đại số. Những tiến bộ này chủ yếu liên quan đến cách trình bày lý thuyết, và phần lớn là do Dedekind [79], người đưa vào các khái niệm trường và vành,$^{29}$ và (gắn với các nghiên cứu của ông về các hệ siêu phức) phát triển một cách có hệ thống khía cạnh tuyến tính của lý thuyết mở rộng ([79], v. III; pp. 33 ff.). Cũng chính ông là người xem nhóm Galois như được tạo thành từ các tự đẳng cấu của mở rộng đang xét, chứ không còn chỉ như một nhóm các phép hoán vị của các nghiệm của một phương trình nữa; và ông chứng minh (đối với trường số) định lý cơ bản về tính độc lập tuyến tính của các tự đẳng cấu ([79], v. III, p. 29) cũng như sự tồn tại của các cơ sở chuẩn tắc cho một mở rộng Galois ([79], v. II, p. 433). Cuối cùng, ông xét đến bài toán các mở rộng đại số bậc vô hạn, và nhận thấy rằng lý thuyết Galois không thể được áp dụng cho nó như nguyên trạng (một nhóm con tùy ý của một nhóm Galois không phải lúc nào cũng đồng nhất với nhóm của một mở rộng đối với một mở rộng con); và nhờ một trực giác táo bạo, ông đã bắt đầu nghĩ đến nhóm Galois như một nhóm tôpô$^{30}$— một ý tưởng chỉ kết trái với lý thuyết các mở rộng Galois bậc vô hạn, do Krull phát triển năm 1928 [187 d].

Song song với sự tiến hóa này, khái niệm về một phần tử siêu việt trên một trường trở nên chính xác. Sự tồn tại của các số siêu việt được Liouville chứng minh lần đầu tiên vào năm 1844, bằng một phép dựng tường minh, dựa trên lý thuyết các xấp xỉ điophantine [204 c]; Cantor, năm 1874, cho một chứng minh "không kiến tạo" khác bằng cách dùng những nhận xét đơn giản về lực lượng của các tập hợp [47]; cuối cùng, Hermite chứng minh năm 1873 tính siêu việt của $e$, và Lindemann năm 1882 tính siêu việt của $\pi$ bằng một phương pháp tương tự với phương pháp của Hermite, do đó đặt dấu ấn cuối cùng lên bài toán cổ về phép cầu phương hình tròn.$^{31}$

Về vai trò của các số siêu việt trong các phép tính đại số, Kronecker nhận xét vào năm 1882 rằng, nếu $x$ là siêu việt trên một trường $K$, thì trường $K(x)$ đẳng cấu với trường các phân thức hữu tỉ $K(X)$ ([186 a], v. II, p. 253). Ngoài ra, ông lấy phép nối các bất định vào một trường làm viên đá tảng trong trình bày của mình về lý thuyết số đại số ([186 a], v. II, pp. 245-387). Mặt khác, Dedekind và Weber chỉ ra trong cùng năm [80] cách các phương pháp số học có thể giúp xây dựng lý thuyết các đường cong đại số. Như vậy người ta thấy xuất hiện theo nhiều hướng những phép tương tự giữa Số học

$^{29}$ Từ "trường" là của chính Dedekind; còn từ "vành" được Hilbert đưa vào (Dedekind gọi các vành là "orders"). $^{30}$ "...Tập hợp các hoán vị này tạo thành theo một nghĩa nào đó một bội liên tục, điều mà ở đây chúng tôi sẽ không đi sâu hơn" ([79], v. II, p. 288). $^{31}$ Có thể tìm thấy các chứng minh đơn giản của các định lý này chẳng hạn trong [163 a], v. I, p. 1.

và Hình học Đại số, những phép tương tự này về sau sẽ tỏ ra cực kỳ phong phú cho cả hai bên.

Trong toàn bộ nghiên cứu này, các trường xuất hiện gồm những phần tử “cụ thể” theo nghĩa của toán học cổ điển — các số (phức) hoặc các hàm của các biến phức.$^{32}$ Nhưng ngay từ năm 1882, Kronecker đã hoàn toàn tính đến sự kiện (được Gauss và Galois cảm nhận một cách mơ hồ) rằng các “bất định” trong lý thuyết của ông chỉ đóng vai trò các phần tử cơ sở của một đại số, chứ không phải vai trò của các biến theo nghĩa của Giải tích ([186 a], v. II, pp. 339-340); và, vào năm 1887, ông phát triển ý tưởng này, gắn với một chương trình rộng lớn nhằm không gì khác hơn là xây dựng lại toàn bộ toán học bằng cách bác bỏ mọi thứ không thể quy về các phép toán đại số trên các số nguyên. Chính nhân dịp này mà, tiếp nhận một ý tưởng của Cauchy ([56 a], (1), v. X, pp. 312 and 351), người đã định nghĩa trường $\mathbf{C}$ các số phức như trường các lớp dư $\mathbf{R}[X]/(X^2 + 1)$, Kronecker chỉ ra cách mà lý thuyết số đại số hoàn toàn độc lập với “định lý cơ bản của đại số”, và thậm chí với cả lý thuyết số thực, mọi trường số đại số (bậc hữu hạn) đều đẳng cấu với một trường các lớp dư $\mathbf{Q}[X]/(f)$ ($f$ là một đa thức bất khả quy trên $\mathbf{Q}$)([186 a], v. III$_1$, pp. 211-240). Như H. Weber nhận xét vài năm sau [327 a], khi phát triển một phác thảo đầu tiên của lý thuyết tiên đề về các trường, phương pháp này của Kronecker trên thực tế áp dụng được cho mọi trường cơ sở $K$. Weber đặc biệt chỉ ra rằng có thể lấy $K$ là một trường $\mathbf{Z}/(p)$ ($p$ là một số nguyên tố), do đó đưa phép tính các đồng dư “modulo $p$” trở lại lý thuyết trường; lý thuyết sau này đã ra đời vào nửa sau thế kỷ XVIII, với Euler, Lagrange, Legendre và Gauss, và phép tương tự mà nó làm lộ ra với lý thuyết các phương trình đại số đã không thoát khỏi mắt những người quan sát; phát triển phép tương tự ấy, Galois (với nghiên cứu của mình về lý thuyết nhóm trong đầu) đã không ngần ngại đưa vào các “nghiệm iđêan” của một đồng dư bất khả quy modulo $p$,$^{33}$ và đã chỉ ra các tính chất nguyên lý của chúng ([123], pp. 113-127).$^{34}$ Tuy nhiên, khi phương pháp của Kronecker được áp dụng cho $\mathbf{Z}/(p)$, điều người ta tìm lại được (trừ thuật ngữ) chính là cách trình bày

$^{32}$ Cũng như các bậc tiền bối của mình, cả Kronecker lẫn Dedekind và Weber đều không thực sự định nghĩa khái niệm “hàm đại số” của một hay nhiều biến phức. Thật vậy, người ta không thể định nghĩa đúng một “hàm đại số” của một biến phức (theo nghĩa của Giải tích) chừng nào mặt Riemann tương ứng chưa được định nghĩa, và chính việc định nghĩa mặt Riemann ấy (bằng những phương tiện thuần túy đại số) là mục tiêu mà Dedekind và Weber theo đuổi. Vòng luẩn quẩn bề ngoài này dĩ nhiên biến mất khi người ta định nghĩa một trường các “hàm đại số” như một mở rộng đại số trừu tượng của một trường hàm hữu tỉ: quả thật chỉ có định nghĩa này được Dedekind và Weber sử dụng, điều đó làm cho các kết quả của họ hoàn toàn chính đáng.

$^{33}$ Trong một bản thảo rất có thể có niên đại từ năm 1799, nhưng chỉ được công bố sau khi ông mất, Gauss, tuy vẫn chưa đưa vào các “nghiệm iđêan”, đã thu được, dưới một dạng tương đương, một phần đáng kể các kết quả của Galois ([124 a], v. II, pp. 212-240, đặc biệt p. 217).

$^{34}$ Galois hoàn toàn ý thức được tính cách hình thức của các phép tính đại số, chẳng hạn không ngần ngại lấy đạo hàm vế thứ nhất của một đồng dư để chỉ ra rằng đồng dư sau không có nghiệm “ảo” bội ([123], p. 117). Ông đặc biệt nhấn mạnh rằng định lý phần tử nguyên thủy đúng cho trường hữu hạn cũng như cho trường số ([123], p. 117), tuy nhiên không đưa ra một chứng minh.

đã được Serret và Dedekind cho trước đó ([79], v. I, p. 40) về lý thuyết các "ảo tưởng Galois" này.

Vào bước ngoặt của thế kỷ, vào tất cả những ví dụ về "trường trừu tượng" này còn được thêm vào một số trường thuộc một kiểu mới rất khác, các trường chuỗi lũy thừa hình thức do Veronese đưa vào [318], và trên hết là các trường $p$-adic của Hensel [157 f]. Chính việc phát hiện ra các trường sau này đã dẫn Steinitz (như ông nói tường minh) đến chỗ làm nổi bật các khái niệm trừu tượng chung cho mọi lý thuyết ấy, trong một công trình cơ bản [294 a] có thể được coi là đã khai sinh ra khái niệm thực sự về Đại số. Khi phát triển một cách hệ thống các hệ quả của các tiên đề về các trường giao hoán, ông đưa vào như vậy khái niệm trường nguyên tố, của các phần tử (đại số) tách được, của các trường hoàn hảo, định nghĩa bậc siêu việt của một mở rộng, và cuối cùng chứng minh sự tồn tại của các mở rộng đóng đại số của các trường tùy ý.

Trong thời gian gần đây, lý thuyết của Steinitz đã được hoàn chỉnh trong nhiều phương diện quan trọng. Một mặt, công trình của Artin đã làm nổi bật đặc trưng tuyến tính của lý thuyết Galois [7 a]. Mặt khác, khái niệm tổng quát về đạo hàm (rút ra từ các tính chất hình thức của phép tính vi phân cổ điển) đã được Dedekind cảm nhận ([79], v. II, p. 412), được Steinitz đưa vào trong trường hợp riêng của một trường phân thức hữu tỉ ([294 a], pp. 209-212), và đã được sử dụng thành công trong việc nghiên cứu các mở rộng siêu việt [330 d], việc nghiên cứu này là cốt yếu đối với Hình học Đại số hiện đại, đặc biệt là trong sự tổng quát hóa cho các mở rộng ấy của khái niệm tính khả phân.