4. Đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính.

Đại số tuyến tính đồng thời là một trong những ngành toán học cổ xưa nhất và một trong những ngành mới nhất. Một mặt, trong những nguồn gốc của toán học, người ta gặp những bài toán được giải bằng một phép nhân hoặc phép chia đơn, nghĩa là bằng việc tính toán một giá trị của một hàm $f(x) = ax$, hoặc bằng nghiệm của một phương trình $ax = b$: đó là những bài toán điển hình của đại số tuyến tính, và không thể xử lý chúng, thậm chí không thể phát biểu chúng một cách đúng đắn, nếu không "tư duy tuyến tính".

Mặt khác, không chỉ những câu hỏi này, mà hầu như mọi thứ liên quan đến các phương trình bậc nhất, trong một thời gian dài đã bị xếp vào việc giảng dạy sơ cấp, khi sự phát triển hiện đại của các khái niệm trường, vành, không gian vectơ tôpô, v.v. ..., đã đến để giải phóng và làm nổi bật các khái niệm cốt yếu của đại số tuyến tính (chẳng hạn tính đối ngẫu); chính khi đó người ta nhận ra đặc trưng tuyến tính cốt yếu của hầu như toàn bộ đại số hiện đại, mà sự "tuyến tính hóa" này thậm chí còn là một trong những nét phân biệt của nó, và người ta đã trả lại cho đại số tuyến tính vị trí vốn có của nó. Việc trình bày lịch sử của nó, từ quan điểm mà chúng ta đặt mình vào, do đó sẽ là một nhiệm vụ vừa quan trọng vừa khó khăn; và ở đây chúng ta sẽ phải bằng lòng với những chỉ dẫn khá sơ lược.

Từ những điều đã nói trước đây, suy ra rằng đại số tuyến tính chắc chắn đã ra đời nhằm đáp ứng các nhu cầu của những người tính toán thực hành; chính vì vậy mà ta thấy quy tắc tam suất ([311], t. I, tr. 150-155) và quy tắc giả thiết sai, được phát biểu ít nhiều rõ ràng, đóng một vai trò quan trọng trong tất cả các sách hướng dẫn về số học thực hành, từ giấy cói Rhind của người Ai Cập cho đến những sách đang được sử dụng trong các trường tiểu học của chúng ta, đi qua Aryabhata, người Ả Rập, Leonardo ở Pisa và vô số "sách tính toán" của thời Trung cổ và thời Phục hưng; nhưng có lẽ chúng chưa bao giờ là gì khác ngoài một trích đoạn, dành cho việc sử dụng của những người thực hành, từ những lý thuyết khoa học tiên tiến hơn.

Đối với các nhà toán học thực sự, bản chất nghiên cứu của họ về đại số tuyến tính là một hàm của cấu trúc chung của khoa học của họ. Toán học Hy Lạp cổ đại, như được trình bày trong Các Nguyên lý của Euclid, đã phát triển hai lý thuyết trừu tượng có đặc trưng tuyến tính, một mặt là lý thuyết về các đại lượng ([107], quyển V, xem p. 152), mặt khác là lý thuyết về các số nguyên ([107], quyển VII). Với người Babylon, ta tìm thấy những phương pháp gần với đại số sơ cấp của chúng ta hơn nhiều; họ biết cách giải, và theo một cách rất tao nhã ([232], tr. 181-183), các hệ phương trình bậc nhất. Tuy nhiên, trong một thời gian rất dài, sự tiến bộ trong đại số tuyến tính chủ yếu gắn liền với sự tiến bộ của phép tính đại số, và chính dưới khía cạnh này, xa lạ với Chú ý hiện tại, mà xem xét nó là hợp lý; thật vậy, để rút gọn một hệ tuyến tính về một phương trình kiểu $ax = b$, chỉ cần, nếu chỉ có một ẩn, biết các quy tắc (đã được Diophantus phát biểu về cơ bản) cho phép chuyển các số hạng từ một vế sang vế khác, và kết hợp các số hạng đồng dạng; và, nếu có nhiều ẩn, thì cũng chỉ cần biết cách khử chúng lần lượt cho đến khi chỉ còn lại một ẩn. Vì vậy các chuyên luận về đại số, cho đến thế kỷ XVIII, được cho là đã làm xong mọi việc liên quan đến bậc nhất, một khi chúng đã trình bày các quy tắc này; còn đối với một hệ có số ẩn bằng số phương trình (họ không xét các trường hợp khác) trong đó các vế đầu không phải là các dạng độc lập tuyến tính, họ luôn bằng lòng với việc chú ý khi chuyển qua rằng điều đó chỉ ra một bài toán đặt không đúng. Trong các chuyên luận của thế kỷ XIX, và thậm chí trong một số công trình gần đây hơn, quan điểm này chỉ được thay đổi bởi sự tiến bộ của ký hiệu, cho phép viết các hệ $n$ phương trình với $n$ ẩn, và bởi việc đưa vào các định thức, cho phép phát biểu các công thức về nghiệm tường minh trong "trường hợp tổng quát"; sự tiến bộ này, mà công lao đáng lẽ thuộc về Leibniz ([198 a], t. I, p. 239) nếu ông đã công bố những ý tưởng của mình về chủ đề này, chủ yếu thuộc về các nhà toán học của thế kỷ XVIII và đầu thế kỷ XIX.

Nhưng trước hết chúng ta phải xét đến một số dòng ý tưởng mà, nhiều hơn hẳn việc nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính, đã góp phần vào sự phát triển của đại số tuyến tính theo nghĩa mà chúng ta hiểu ngày nay. Được gợi cảm hứng từ việc nghiên cứu Apollonius, Fermat ([109], v. I, pp. 91-110; bản dịch tiếng Pháp, v. III, pp. 85-101), đã hình thành, ngay cả trước Descartes ([85 a], v. VI), các nguyên lý của hình học giải tích, có ý tưởng về việc phân loại các đường cong phẳng bằng bậc của chúng (điều mà, đã ngày càng trở nên quen thuộc hơn đối với mọi nhà toán học, có thể được xem là đã thu nhận một cách dứt khoát vào cuối thế kỷ XVII), và phát biểu nguyên lý cơ bản rằng một phương trình bậc nhất, trong mặt phẳng, biểu diễn một đường thẳng, còn một phương trình bậc hai biểu diễn một đường conic: một nguyên lý từ đó ông suy ra ngay một số hệ quả "rất đẹp" liên quan đến các quỹ tích hình học. Đồng thời, ông công bố ([109], v. I, pp. 184-188; bản dịch tiếng Pháp, v. III, pp. 159-163) việc phân loại các bài toán thành các bài toán đã giải, các bài toán rút gọn được về một phương trình với hai ẩn, về một phương trình với ba ẩn, v.v.; và ông thêm rằng: loại thứ nhất gồm việc xác định một điểm, loại thứ hai một quỹ tích đường thẳng hoặc mặt phẳng, những loại tiếp theo một mặt; v.v. ("...một bài toán như vậy không chỉ tìm kiếm một điểm hay một đường thẳng, mà là cả một mặt thực sự thích hợp với câu hỏi; từ đó sinh ra các quỹ tích mặt, và tương tự đối với những loại tiếp theo", loc. cit. p. 186; ở đây đã có thể tìm thấy phôi thai của hình học trong $n$ chiều). Đoạn viết này, phát biểu nguyên lý chiều trong đại số và trong đại số hình học, chỉ ra một sự hợp nhất giữa đại số và hình học, hoàn toàn phù hợp với các ý tưởng hiện đại, nhưng điều đó, như đã thấy, đã cần hơn hai thế kỷ để thâm nhập vào tư tưởng.

Ít nhất thì những ý tưởng này cuối cùng đã sớm dẫn đến sự nở rộ của hình học giải tích, vốn đạt được toàn bộ phạm vi của nó vào thế kỷ XVIII với Clairault, Euler, Cramer, Lagrange và nhiều người khác. Tính chất tuyến tính của các công thức về phép biến đổi tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian, điều mà Fermat hẳn đã nhận thấy từ trước, được nêu bật chẳng hạn bởi Euler ([108 a], (1), v. IX, chap. II-III, và Append. chap. IV), người dựa trên điều này để xây dựng sự phân loại các đường phẳng, và sự phân loại các mặt, theo bậc của chúng (bất biến chính xác vì tính tuyến tính của các công thức này); cũng chính ông (loc. cit., chap. XVIII) là người đưa vào từ "affinity" để chỉ quan hệ giữa các đường cong có thể suy ra từ nhau bởi một phép biến đổi $x' = ax, y' = by$ (nhưng không nhận thấy bất kỳ bất biến hình học nào trong định nghĩa này, vốn vẫn gắn với một lựa chọn trục cụ thể). Một thời gian sau, ta thấy Lagrange ([191], v. III, pp. 661-692) dành trọn một hồi ký, sẽ còn nổi tiếng một cách xứng đáng trong một thời gian dài, cho các bài toán tuyến tính và đa tuyến tính điển hình của hình học giải tích trong ba chiều. Cũng vào khoảng thời gian đó, liên quan đến bài toán tuyến tính gồm việc tìm một đường cong phẳng đi qua các điểm cho trước, khái niệm định thức bắt đầu hình thành, trước hết theo một cách phần nào thực nghiệm, với Cramer [72] và Bézout [21]; được phát triển sau đó bởi nhiều tác giả, khái niệm này và các tính chất cốt yếu của nó được Cauchy ([56 a], (2), v. I, pp. 91-169) và Jacobi ([171], v. III, pp. 355-392) đưa ra một cách dứt khoát.

Mặt khác, trong khi các nhà toán học có một khuynh hướng nhỏ nào đó là xem thường các phương trình bậc nhất, thì việc giải các phương trình vi phân, trái lại, tạo thành một bài toán chủ yếu; thật tự nhiên rằng, trong số các phương trình này, người ta đã sớm lựa chọn các phương trình tuyến tính, với các hệ số hằng hoặc không, và rằng việc nghiên cứu chúng đã góp phần làm tăng giá trị của tính tuyến tính và những gì đi cùng với nó. Đó chính là điều được thấy ở d'Alembert [75 c], Lagrange ([191], v. I, pp. 471-668) và Euler ([108 a], (1), v. XII); nhưng chỉ người đầu tiên trong số này cho rằng cần phải nói rằng nghiệm tổng quát của một phương trình không thuần nhất là tổng của một nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng; hơn nữa, khi các tác giả này phát biểu rằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp $n$ là một tổ hợp tuyến tính của $n$ nghiệm riêng, họ không nói thêm rằng các nghiệm này phải độc lập tuyến tính, và không cố gắng làm tường minh khái niệm sau; về điểm này cũng như nhiều điểm khác, chỉ có vẻ như việc giảng dạy của Cauchy tại École Polytechnique mới làm sáng tỏ được điều đó ([56 b], pp. 573-574). Nhưng Lagrange (loc. cit.) đã đưa vào từ trước (quả thực chỉ để tính toán, và không đặt tên cho nó) phương trình phụ hợp $L^*(y) = 0$ của một phương trình vi phân tuyến tính $L(y) = 0$, một ví dụ điển hình của tính đối ngẫu nhờ vào quan hệ

đúng khi $y$ và $z$ bằng không tại các đầu mút của khoảng lấy tích phân; chính xác hơn, và 30 năm trước khi Gauss định nghĩa một cách tường minh phép chuyển vị của một phép thế tuyến tính trong 3 biến, ta thấy ở đây không còn nghi ngờ gì nữa ví dụ đầu tiên của một "phiếm hàm toán tử" $L^*$ là chuyển vị hay "phụ hợp" của một toán tử $L$ được cho bởi một hàm song tuyến tính (ở đây là tích phân $\int yz dx$).

Đồng thời, và với Lagrange cũng vậy ([191], v. III, pp. 695-795), các phép thế tuyến tính, thoạt đầu trong 2 hoặc 3 biến, đã trên đường chinh phục số học. Rõ ràng là tập hợp các giá trị của một hàm $F(x, y)$, khi $x$ và $y$ nhận mọi giá trị nguyên, không thay đổi khi thực hiện trên $x, y$ một phép thế tuyến tính tùy ý, với các hệ số nguyên, có định thức 1; chính trên nhận xét cơ bản này mà Lagrange dựa vào lý thuyết biểu diễn các số bằng các dạng, và lý thuyết rút gọn các dạng; và Gauss, bằng một bước tiến mà ngày nay chúng ta khó đánh giá hết tính táo bạo của nó, rút ra từ đó khái niệm tương đương và khái niệm một lớp các dạng (xem p. 50); về điểm này, ông nhận thấy sự cần thiết của một số nguyên lý sơ cấp liên quan đến các phép thế tuyến tính, và đưa vào đặc biệt khái niệm chuyển vị hoặc liên hợp ([124 a], v. I, p. 304). Kể từ thời điểm đó, việc nghiên cứu số học và việc nghiên cứu đại số của các dạng toàn phương trong 2, 3 và sau đó $n$ biến, việc nghiên cứu các dạng song tuyến tính liên kết chặt chẽ với chúng, và gần đây hơn là sự tổng quát hóa các khái niệm này cho một vô hạn biến, đã, cho đến thời đại chúng ta, tạo thành một trong những nguồn tiến bộ phong phú nhất của đại số tuyến tính (xem pp. 136 ff.).

Nhưng, có lẽ còn là một tiến bộ quyết định hơn nữa, Gauss, trong chính các Disquisitiones này, đã tạo ra (xem p. 51) lý thuyết về các nhóm Abel hữu hạn, lý thuyết này phát sinh theo bốn cách khác nhau, bằng nhóm cộng của các số nguyên modulo $m$ (với $m$ là một số nguyên ), bằng nhóm nhân của các số nguyên tố cùng nhau với $m$ modulo $m$, bằng nhóm các lớp của các dạng toàn phương nhị phân, và cuối cùng bằng nhóm nhân của các căn đơn vị bậc $m$; và, như chúng ta đã nhận xét, rõ ràng là dưới tư cách các nhóm Abel, hay nói đúng hơn là các môđun trên $\mathbf{Z}$, mà Gauss xử lý tất cả các nhóm này, nghiên cứu cấu trúc của chúng, các quan hệ đẳng cấu của chúng, v.v.. Trong môđun các "số nguyên phức" $a + bi$, về sau người ta thấy ông nghiên cứu một môđun vô hạn trên $\mathbf{Z}$, mà chắc chắn ông đã không bỏ qua việc nhận ra sự đẳng cấu với môđun các chu kỳ (do ông phát hiện trong miền phức) của các hàm elliptic; trong mọi trường hợp, ý tưởng này đã xuất hiện rõ ràng ở Jacobi, chẳng hạn trong chứng minh nổi tiếng về tính bất khả của một hàm có 3 chu kỳ và trong những quan điểm của ông về bài toán đảo các tích phân Abel ([171], v. II, pp. 25-50), để sớm kết thúc với các định lý của Kronecker ([186 a], v. III_1, pp. 49-109).

Ở đây, trong những dòng chảy mà chúng ta đã tìm cách lần theo mạch và đôi khi cả những khúc quanh của chúng, một dòng khác đến hòa vào, dòng này trong một thời gian dài đã nằm dưới bề mặt. Như sẽ được trình bày chi tiết hơn ở nơi khác (xem p. 130), hình học "thuần túy" theo nghĩa mà nó đã được hiểu trong thế kỷ trước, tức là về bản chất hình học xạ ảnh của mặt phẳng và của không gian không sử dụng tọa độ, đã được tạo ra vào thế kỷ XVII bởi Desargues [84], người mà các ý tưởng của ông, được Fermat đánh giá đúng giá trị, được Pascal đưa vào sử dụng, sau đó đã bị bỏ quên, bị che khuất bởi sự tiến bộ rực rỡ của hình học giải tích; nó được đưa trở lại vị trí hàng đầu vào cuối thế kỷ XVIII, bởi Monge, rồi Poncelet và các nhà tiếp nối của ông, Brianchon, Chasles, đôi khi hoàn toàn và có chủ ý tách biệt khỏi các phương pháp giải tích, đôi khi (đặc biệt ở Đức) hòa trộn chặt chẽ với chúng. Tuy nhiên, các phép biến đổi xạ ảnh, xét từ bất kỳ quan điểm nào (tổng hợp hay giải tích), tất nhiên không gì khác hơn là các phép thế tuyến tính trên các tọa độ xạ ảnh hoặc "trọng tâm"; các đường conic (trong thế kỷ XVII), và về sau các mặt bậc hai, mà lý thuyết xạ ảnh của chúng từ lâu đã là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của trường phái này, không gì khác hơn là các dạng toàn phương, mà sự liên hệ chặt chẽ của chúng với đại số tuyến tính chúng ta đã nêu ra ở trên. Gắn liền với các khái niệm này là khái niệm đối cực: cũng do Desargues tạo ra, lý thuyết về các cực và các đường cực trở thành trong tay Monge và những người kế tục ông, và chẳng bao lâu dưới tên nguyên lý đối ngẫu, một công cụ mạnh mẽ để biến đổi các định lý hình học; nếu người ta không dám khẳng định rằng các liên hệ của nó với các phương trình vi phân liên hợp chỉ được nhận thấy muộn màng (chúng được Pincherle chỉ ra vào cuối thế kỷ), thì điều không thể phủ nhận là điều mà Chasles làm chứng ([60 b], p. 55), đó là nhận thấy mối quan hệ họ hàng của nó với khái niệm tam giác cầu đối ứng, được Viète ([319], p. 418) và Snellius đưa vào lượng giác cầu ngay từ thế kỷ XVI. Nhưng đối ngẫu trong hình học xạ ảnh chỉ là một khía cạnh của đối ngẫu của các không gian vectơ, có tính đến những thay đổi bị áp đặt bởi việc chuyển từ một không gian afin sang một không gian xạ ảnh (là một không gian thương của nó, theo quan hệ "phép nhân vô hướng").

Thế kỷ XIX, hơn bất kỳ thời kỳ nào trong lịch sử của chúng ta, đã phong phú về các nhà toán học thuộc hạng đầu tiên; và thật khó khăn trong vài trang, ngay cả khi chỉ giới hạn vào những khía cạnh nổi bật nhất, để mô tả tất cả những gì sự hợp nhất của các trào lưu tư tưởng này đã tạo ra trong tay họ. Giữa một bên là các phương pháp tổng hợp thuần túy, một loại giường Procruste nơi các tín đồ chính thống của chúng tự hành hạ mình, và các phương pháp giải tích gắn với một hệ tọa độ tùy ý áp đặt lên không gian, người ta nhanh chóng cảm thấy cần đến một loại phép tính hình học, được Leibniz mơ tưởng nhưng không tạo ra, được Carnot [51] phác thảo một cách không hoàn hảo: trước hết xuất hiện phép cộng các vectơ, ẩn trong Gauss qua biểu diễn hình học của các số ảo và ứng dụng mà ông thực hiện vào hình học sơ cấp (xem p. 162), được Bellavitis phát triển dưới tên "phương pháp đẳng lực", và đạt hình dạng cuối cùng trong Grassmann, Möbius, Hamilton; đồng thời, dưới tên "phép tính barycentric", Möbius đưa ra một phiên bản của nó thích nghi với các nhu cầu của hình học xạ ảnh ([223], q. I).

Đồng thời, và giữa chính những con người đó, diễn ra sự chuyển tiếp, tự nhiên đến mức (một khi đã đi vào con đường này) chúng ta đã thấy nó được Fermat báo trước, từ mặt phẳng và không gian "thông thường" sang không gian $n$ chiều; một sự chuyển tiếp thậm chí là tất yếu, vì các hiện tượng đại số, vốn được giải thích đối với 2 hoặc 3 biến như chính chúng trong các thuật ngữ hình học, vẫn tồn tại không thay đổi đối với bất kỳ số biến nào; do đó, việc áp đặt, trong cách sử dụng ngôn ngữ hình học, một sự hạn chế vào 2 hoặc 3 chiều, đối với nhà toán học hiện đại sẽ là một cái ách bất tiện chẳng khác gì cái đã liên tục ngăn cản người Hy Lạp mở rộng khái niệm số đến các tỉ số của những đại lượng không đo được. Vì vậy ngôn ngữ và các ý tưởng liên quan đến không gian $n$ chiều xuất hiện gần như đồng thời ở mọi nơi, một cách mơ hồ trong Gauss, một cách rõ ràng giữa các nhà toán học của thế hệ kế tiếp; và mức độ táo bạo lớn hay nhỏ của họ trong việc sử dụng nó ít phụ thuộc vào khuynh hướng toán học của họ hơn là vào các quan điểm triết học của họ hoặc thậm chí chỉ vào những cân nhắc thực tiễn. Trong mọi trường hợp, Cayley và Grassmann, vào khoảng năm 1846, thao tác các khái niệm này một cách hết sức dễ dàng (và điều đó, theo Cayley khác với Grassmann ([58], q. I, p. 321), "không viện đến bất kỳ khái niệm siêu hình nào"); ở Cayley, người ta luôn luôn ở rất gần với cách giải thích giải tích và tọa độ, trong khi ở Grassmann thì ngay từ đầu, cùng với phép cộng các vectơ trong không gian $n$ chiều, chính khía cạnh hình học giữ vai trò chủ đạo, để dẫn đến những phát triển mà chúng ta sẽ nói đến trong chốc lát.

Tuy nhiên, động lực đến từ Gauss đã thúc đẩy các nhà toán học, theo hai hướng khác nhau, hướng tới việc nghiên cứu các đại số hoặc các hệ siêu phức. Một mặt, người ta không thể tránh khỏi việc cố gắng mở rộng miền các số thực bằng một cách nào khác ngoài việc đưa vào "đơn vị ảo" $i = \sqrt{-1}$, và nhờ đó mở ra có lẽ những miền rộng lớn hơn và phong phú hơn miền các số phức. Gauss tự thuyết phục mình ([124 a], q. II, p. 178) về tính bất khả thi của một sự mở rộng như vậy, ít nhất nếu người ta tìm cách giữ lại các tính chất chính của các số phức, nghĩa là theo ngôn ngữ hiện đại, những tính chất làm cho nó là một trường giao hoán; và, hoặc do ảnh hưởng của ông, hoặc một cách độc lập, những người cùng thời với ông dường như đã chia sẻ niềm tin này, niềm tin mà chỉ rất lâu sau đó mới được Weierstrass ([329 a], q. II, tr. 311-332) chứng minh bằng một định lý chính xác. Nhưng, ngay khi người ta giải thích phép nhân các số phức như các phép quay trong mặt phẳng, người ta được dẫn tới, nếu có ý định mở rộng ý tưởng này sang không gian, việc xét đến (vì các phép quay trong không gian tạo thành một nhóm không Abel) các phép nhân không giao hoán; đó là một trong những ý tưởng dẫn dắt Hamilton$^1$ trong phát hiện về các quaternion [145 a] của ông, ví dụ đầu tiên về một trường không giao hoán. Tính đặc biệt của ví dụ này (ví dụ duy nhất, như Frobenius sau này sẽ chứng minh, có thể được xây dựng trên trường các số thực) đã phần nào hạn chế phạm vi của nó, mặc dù hoặc có lẽ chính vì sự hình thành một trường phái các "quaternionist" cuồng tín: một hiện tượng kỳ lạ

$^1$ Xem lời tựa thú vị cho Lectures on quaternions [145 a] của ông, trong đó ông thuật lại lịch sử phát hiện của mình.

hiện tượng này, lặp lại sau đó xung quanh công trình của Grassmann, rồi những người phổ biến đã rút ra từ Hamilton và Grassmann cái được gọi là "phép tính vectơ". Việc từ bỏ tính kết hợp một ít lâu sau đó, bởi Graves và Cayley khi họ xây dựng các "số Cayley", không mở ra một hướng phát triển thú vị. Nhưng, sau khi Sylvester đã đưa vào các ma trận, và (mà không đặt tên cho nó) đã xác định rõ hạng ([304], q. I, tr. 145-151), lại chính Cayley ([58], q. II, tr. 475-496) là người tạo ra phép tính của nó, không quên ghi nhận (một sự kiện cốt yếu, thường bị bỏ qua về sau) rằng một ma trận chỉ là một ký hiệu viết tắt cho một phép thế tuyến tính, cũng như trên thực tế Gauss đã ký hiệu dạng $aX^2 + 2bXY + cY^2$ bằng $(a, b, c)$. Điều này ngoài ra chỉ là một trong những khía cạnh, chắc chắn là khía cạnh thú vị nhất đối với chúng ta, của sự sản xuất dồi dào của Sylvester và Cayley về các định thức và tất cả những gì gắn liền với chúng, một sự sản xuất đầy rẫy những đồng nhất thức tài tình và những phép tính gây ấn tượng.

Nó cũng là (trong số những thứ khác) một đại số trên trường thực mà Grassmann khám phá ra, đại số ngoài mà tên tuổi của ông vẫn gắn liền với. Công trình của ông, thậm chí có trước công trình của Hamilton ([134], v I_1), được tạo ra trong một sự cô độc về mặt tinh thần gần như hoàn toàn, đã trong một thời gian dài không được biết đến đúng mức, không chỉ vì tính độc đáo của nó, mà còn vì màn sương triết học mà nó bắt đầu bị bao phủ, và chẳng hạn đã khiến Möbius ban đầu quay lưng lại. Được trang bị những mối quan tâm tương tự như Hamilton nhưng với phạm vi rộng hơn (và như ông sớm nhận ra, đó chính là những mối quan tâm của Leibniz), Grassmann xây dựng một công trình đại số-hình học đồ sộ, dựa trên một quan niệm hình học hay “nội tại” (đã gần như được tiên đề hóa) về không gian vectơ $n$ chiều; trong số những kết quả sơ cấp nhất mà ông thu được, hãy trích dẫn chẳng hạn định nghĩa về sự độc lập tuyến tính của các vectơ, định nghĩa về chiều và quan hệ cơ bản $dim\ V + dim\ W = dim\ (V + W) + dim\ (V \cap W)$ (loc. cit., p. 209; cf. [134], v. I_2, p. 21). Nhưng trên hết chính phép nhân ngoài, rồi phép nhân trong, của các đa vectơ, đã cung cấp cho ông những công cụ nhờ đó ông xử lý một cách dễ dàng, trước hết là các bài toán của đại số tuyến tính thực sự, sau đó là những bài toán liên quan đến cấu trúc Euclid, nghĩa là đến tính trực giao của các vectơ (nơi ông tìm thấy cái tương đương của tính đối ngẫu mà ông còn thiếu).

Con đường khác do Gauss mở ra, trong việc nghiên cứu các hệ phức mở rộng, là con đường bắt đầu với các số nguyên phức $a + bi$; từ đó, người ta chuyển một cách tự nhiên đến các đại số tổng quát hơn hoặc các hệ phức mở rộng, trên vành $\mathbf{Z}$ các số nguyên hoặc trên trường $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ, và trước hết đến những hệ đã được Gauss dự kiến, được sinh bởi các căn đơn vị, rồi đến các trường số đại số và các môđun của các số nguyên đại số: đó là những đối tượng chính trong công trình của Kummer, việc nghiên cứu những đối tượng đầu tiên được Dirichlet, Hermite, Kronecker, Dedekind tiến hành. Ở đây, trái với điều xảy ra với các đại số trên trường thực, không cần phải từ bỏ bất kỳ tính chất đặc trưng nào của các trường giao hoán, và chính vào các trường này mà trong suốt thế kỷ XIX công việc bị giới hạn. Nhưng các tính chất tuyến tính, và chẳng hạn việc tìm kiếm một cơ sở cho các số nguyên của trường (điều cốt yếu cho một định nghĩa tổng quát của biệt thức) đóng một vai trò cốt yếu trên nhiều phương diện; và, trong trường hợp của Dedekind, các phương pháp được định sẵn để trở thành một cách điển hình là “phức mở rộng”; ngoài Dedekind, dù không giải quyết một cách tổng quát bài toán về các đại số, cũng nhận thức được khía cạnh này trong công trình của mình, và mối liên hệ của nó chẳng hạn với các kết quả của Weierstrass về các hệ phức mở rộng trên trường thực ([79], đặc biệt vol. II, pp. 1-19). Đồng thời việc xác định cấu trúc của nhóm nhân các phần tử đơn vị trong một trường số đại số, được Dirichlet thực hiện trong các ghi chú nổi tiếng của ông ([92], v. I, pp. 619-644) và gần như đồng thời bởi Hermite ([159], v. I, pp. 159-160), đặc biệt thích hợp để làm sáng tỏ các ý tưởng về các môđun trên $\mathbf{Z}$, các hệ sinh của chúng, và, khi chúng có, các cơ sở của chúng. Sau đó khái niệm iđêan, mà Dedekind định nghĩa trong các trường số đại số (như một môđun trên vành các số nguyên của trường) ([79], v. III, p. 251), trong khi Kronecker đưa vào trong các vành đa thức (dưới tên “hệ các môđun”) một khái niệm tương đương ([186 a], v. II, pp. 334-342), cho những ví dụ đầu tiên về các môđun trên các vành tổng quát hơn $\mathbf{Z}$; và ở chính các tác giả đó, rồi ở Hilbert, dần dần được giải phóng trong những trường hợp riêng khái niệm một nhóm với toán tử, và khả năng luôn luôn xây dựng, bắt đầu từ một nhóm như vậy, một môđun trên một vành được xác định thích hợp.

Đồng thời, việc nghiên cứu số học-đại số các dạng bậc hai và song tuyến tính, cùng sự “thu gọn” của chúng (hay, điều tương đương, việc nghiên cứu các ma trận và các “bất biến” của chúng) dẫn đến việc phát hiện những nguyên lý tổng quát liên quan đến nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính, những nguyên lý mà do thiếu khái niệm hạng đã thoát khỏi Jacobi.$^2$ Bài toán nghiệm nguyên của các hệ phương trình tuyến tính với các hệ số nguyên được giải quyết, trước hết trong một trường hợp đặc biệt bởi Hermite, rồi trong toàn bộ tính tổng quát bởi H. J. Smith ([287], v. I, pp. 367-409); các kết quả của người sau này chỉ được Frobenius tìm lại vào năm 1878, trong khuôn khổ một chương trình nghiên cứu rộng lớn do Kronecker thiết lập, và trong đó Weierstrass cũng tham gia; tình cờ chính Kronecker, trong quá trình công trình của mình, đã cho dạng thức cuối cùng cho các định lý về các hệ tuyến tính với các hệ số thực (hoặc phức), điều này cũng được làm sáng tỏ trong một cuốn sách giáo khoa tối tăm, với sự cẩn trọng tỉ mỉ đặc trưng cho ông, bởi tác giả nổi tiếng của Alice in Wonderland; còn về Kronecker, ông khinh thường việc công bố các kết quả của mình, và để việc đó cho các đồng nghiệp và môn sinh; ngay cả từ hạng cũng chỉ được Frobenius đưa vào. Cũng chính trong các bài giảng của họ tại đại học Berlin mà Kronecker [186 b] và Weierstrass đưa vào định nghĩa “tiên đề” của các định thức (như một hàm phản xứng đa tuyến tính của $n$ vectơ trong không gian $n$ chiều, được chuẩn hóa sao cho nhận giá trị 1 đối với ma trận đơn vị), một định nghĩa tương đương với định nghĩa mà

$^2$ Về sự phân loại các hệ gồm $n$ phương trình với $n$ ẩn khi định thức bằng không, ông nói ([171], v. III, p. 370): “paullo prolixum videtur negotium” (sẽ không thể làm sáng tỏ nó một cách ngắn gọn).

có thể được suy ra từ các phép tính của Grassmann; chính trong các bài giảng của ông mà Kronecker vẫn, không cảm thấy cần phải đặt cho nó một tên gọi, và dưới một dạng vẫn chưa nội tại, đưa vào tích tenxơ của các không gian và tích "Kroneckerien" của các ma trận (một phép thế tuyến tính cảm sinh, trên một tích tenxơ, bởi các phép thế tuyến tính đã cho áp dụng vào các thừa số).

Các nghiên cứu này cũng không nên được tách rời khỏi lý thuyết bất biến, do Cayley, Hermite và Sylvester sáng tạo ra (bộ ba bất biến mà về sau Hermite nói đến trong các thư từ của mình) và lý thuyết này, dưới quan điểm hiện đại, trước hết là một lý thuyết biểu diễn của các nhóm tuyến tính. Xuất hiện ở đây, như một tương đương đại số của tính đối ngẫu của hình học xạ ảnh, sự phân biệt giữa các chuỗi biến cogredient và contragredient, nghĩa là các vectơ trong một không gian và các vectơ trong không gian đối ngẫu; và sau khi sự chú ý trước hết đã được hướng đến các dạng bậc thấp, rồi các dạng bậc tùy ý, theo 2 hoặc 3 biến, người ta nhanh chóng khảo sát các dạng song tuyến tính, rồi các dạng đa tuyến tính, trong nhiều chuỗi biến "cogredient" hoặc "contragredient", điều này tương đương với việc đưa vào các tenxơ; điều này trở nên có ý thức và được phổ biến khi, dưới sự cảm hứng của lý thuyết bất biến, Ricci và Levi-Civitá, vào năm 1900, đưa "phép tính tenxơ" vào hình học vi phân [257], về sau đã trở nên rất thịnh hành sau khi được các nhà vật lý "tương đối luận" sử dụng. Vẫn chính sự thâm nhập lẫn nhau dần dần của lý thuyết bất biến, hình học vi phân và lý thuyết các phương trình vi phân riêng phần (đặc biệt là bài toán Pfaff được gọi như vậy, và các mở rộng của nó) đã đưa các nhà hình học từng bước xem xét, trước hết là các dạng song tuyến tính thay phiên của các vi phân, đặc biệt là "hiệp biến song tuyến tính" của một dạng bậc 1 (được đưa vào năm 1870 bởi Lipschitz, sau đó được Frobenius nghiên cứu), để kết thúc bằng sự sáng tạo, bởi E. Cartan ([52 a], v. II₁, pp. 303-396) và Poincaré ([251 b], v. III, chap. XXII), của phép tính các dạng vi phân ngoài. Poincaré đưa các dạng này vào, trong bối cảnh hình thành các bất biến nguyên của ông, như là các biểu thức xuất hiện trong các tích phân bội, trong khi Cartan, chắc chắn được dẫn dắt bởi các nghiên cứu của mình về các đại số, đưa chúng vào theo một cách ít hình thức hơn, nhưng cũng không quên nhận thấy rằng phần đại số của phép tính của chúng đồng nhất với phép nhân ngoài của Grassmann (do đó là tên gọi mà ông chọn), qua đó đặt công trình của người sau này một cách dứt khoát vào vị trí đúng của nó. Việc chuyển sang ký hiệu của phép tính tenxơ, các dạng vi phân ngoài, còn cho thấy ngay lập tức mối liên hệ của chúng với các tenxơ không đối xứng, điều này, ngay khi quay trở lại một quan điểm đại số thuần túy, sẽ làm cho người ta thấy rằng chúng đối với các dạng đa tuyến tính thay phiên cũng giống như các tenxơ hiệp biến đối với các dạng đa tuyến tính tùy ý; khía cạnh này còn trở nên rõ ràng hơn với lý thuyết biểu diễn hiện đại của các nhóm tuyến tính; và nhờ đó người ta nhận ra, chẳng hạn, sự đồng nhất cơ bản giữa định nghĩa của các định thức do Weierstrass và Kronecker đưa ra, với định nghĩa thu được từ phép tính của Grassmann.

Như vậy chúng ta đạt tới thời kỳ hiện đại, nơi phương pháp tiên đề và khái niệm cấu trúc (được cảm nhận trước tiên, chỉ mới được định nghĩa gần đây), cho phép chúng ta tách biệt các khái niệm mà cho đến khi đó đã bị trộn lẫn không thể tách rời, phát biểu những điều vốn mơ hồ hoặc tiềm thức, chứng minh trong tính tổng quát thích hợp các định lý trước đây chỉ được biết trong những trường hợp riêng biệt. Peano, một trong những người sáng tạo ra phương pháp tiên đề, và cũng là một trong những nhà toán học đầu tiên đánh giá đúng giá trị công trình của Grassmann, đã đưa ra ngay từ năm 1888 ([246 b], chap. IX) định nghĩa tiên đề của các không gian vectơ (dù có số chiều hữu hạn hay không) trên trường các số thực, và, với một ký hiệu hoàn toàn hiện đại, các ánh xạ tuyến tính từ một không gian như vậy sang một không gian khác; một thời gian ngắn sau, Pincherle tìm cách phát triển các ứng dụng của đại số tuyến tính, được quan niệm như vậy, vào lý thuyết hàm, theo một hướng mà quả thật đã hầu như không chứng tỏ được là có hiệu quả; ít nhất quan điểm của ông cho phép ông nhận ra trong "đối ngẫu Lagrange" một trường hợp riêng của phép chuyển vị các ánh xạ tuyến tính: điều này sớm xuất hiện, còn rõ ràng hơn nữa, và đối với các phương trình vi phân riêng phần cũng như các phương trình vi phân, trong quá trình công trình đáng ghi nhớ của Hilbert và trường phái của ông về không gian Hilbert và các ứng dụng của nó vào giải tích. Chính liên quan đến các nghiên cứu sau này mà Toeplitz [309 a], cũng đưa vào (nhưng bằng các tọa độ) không gian vectơ tổng quát nhất trên các số thực, đã đưa ra nhận xét cơ bản rằng lý thuyết các định thức là vô ích cho việc chứng minh các định lý chính của đại số tuyến tính, điều này cho phép mở rộng chúng không khó khăn đến các không gian vô hạn chiều; và ông cũng chỉ ra rằng đại số tuyến tính được hiểu như vậy dĩ nhiên áp dụng được cho mọi trường cơ sở giao hoán.

Mặt khác, với việc đưa vào, bởi Banach, năm 1922, các không gian mang tên ông,$^3$ người ta gặp, đúng là trong một bài toán vừa có tính tôpô vừa có tính đại số, những không gian không đẳng cấu với không gian đối ngẫu của chúng (xem các trang 214 và tiếp theo). Ngay giữa một không gian vectơ và không gian đối ngẫu của nó, không có một đẳng cấu "chính tắc", nghĩa là được xác định bởi cấu trúc, điều đã được phản ánh trong một thời gian dài bởi sự phân biệt giữa biến đổi đồng biến và biến đổi phản biến. Tuy vậy, dường như không còn nghi ngờ gì rằng sự phân biệt giữa một không gian và không gian đối ngẫu của nó chỉ được xác lập dứt khoát sau công trình của Banach và trường phái của ông; chính công trình này cũng đã làm nảy sinh sự quan tâm đến khái niệm đối chiều. Còn về tính đối ngẫu hay "tính trực giao" giữa các không gian vectơ con của một không gian và các không gian vectơ con của không gian đối ngẫu của nó, cách thức mà nó được phát biểu ngày nay cho thấy một sự tương tự không chỉ là ngẫu nhiên với cách phát biểu hiện đại của định lý chính của lý thuyết Galois, và với tính đối ngẫu của Pontrjagin được gọi như vậy trong các nhóm Abel compact địa phương; điều này bắt nguồn từ Weber, người, trong quá trình các nghiên cứu số học, đã phát biểu những cơ sở của nó vào năm 1866 cho các nhóm hữu hạn [327 d]; trong lý thuyết Galois, "tính đối ngẫu" giữa các nhóm con và các trường con được hình thành cùng với Dedekind và Hilbert; và tính trực giao giữa các không gian vectơ con hiển nhiên được dẫn xuất, trước hết từ tính đối ngẫu giữa các đa tạp tuyến tính trong hình học xạ ảnh, và cũng từ khái niệm và các tính chất của các đa tạp hoàn toàn trực giao trong một không gian Euclid hoặc một không gian Hilbert (do đó có tên gọi của nó). Tất cả các mối liên hệ này tập hợp lại trong

$^3$ Chúng là các không gian vectơ đầy đủ chuẩn, trên trường các số thực hoặc trường các số phức.

thời đại đương đại, trong tay các nhà đại số như E. Noether, Artin và Hasse, các nhà tôpô như Pontrjagin và Whitney, không phải không có ảnh hưởng lẫn nhau được tác động giữa nhóm này và nhóm kia.

Đồng thời, một sự xem xét có tính phê phán đang được tiến hành, nhằm loại bỏ, tại mỗi điểm, các giả thiết không thực sự cần thiết, và đặc biệt là các giả thiết sẽ ngăn cản một số ứng dụng. Như vậy khả năng thay thế các vành cho các trường trong khái niệm không gian vectơ được thực hiện, và, bằng cách tạo ra khái niệm tổng quát về môđun, xử lý đồng thời các không gian này, các nhóm Abel, các môđun riêng biệt đã được Kronecker, Weierstrass, Dedekind, Steinitz nghiên cứu, và thậm chí cả các nhóm với toán tử, và chẳng hạn áp dụng cho chúng định lý Jordan-Hölder; đồng thời sự chuyển sang tính không giao hoán được thực hiện, thông qua sự phân biệt giữa các môđun phải và các môđun trái, mà sự phát triển hiện đại của lý thuyết đại số bởi trường phái Mỹ (Wedderburn, Dickson) và đặc biệt là trường phái Đức (E. Noether, Artin) đã dẫn đến.

Cuối cùng, rất gần đây, đã xuất hiện xu hướng cuối cùng mà chúng ta phải nói đến ở đây: được chứa đựng ở dạng mầm mống trong định lý của Dedekind ([79], tập III, p. 29), theo đó các tự đẳng cấu tùy ý của một trường giao hoán luôn độc lập tuyến tính, sự tuyến tính hóa của lý thuyết Galois được thực hiện cùng với Artin [7 a], sau đó nó nhanh chóng được tổng quát hóa cho các mở rộng tùy ý của các trường giao hoán, và thậm chí cho các mở rộng của các trường không giao hoán ([172 d], chương VII).