3. Sự phát triển của đại số.

Trong Toán học, có ít khái niệm nào nguyên thủy hơn khái niệm luật hợp thành: dường như nó không thể tách rời khỏi những sơ khởi đầu tiên của phép tính với các số nguyên và các đại lượng đo được. Những tư liệu cổ xưa nhất còn lại của Toán học Ai Cập và Babylon cho ta thấy rằng họ đã nắm được một hệ đầy đủ các quy tắc tính toán đối với các số nguyên $> 0$, các số hữu tỉ $> 0$, các độ dài và các diện tích; mặc dù các văn bản Babylon đã đến tay chúng ta chỉ bàn đến những bài toán trong đó các dữ kiện có các giá trị số minh nhiên,$^1$ chúng không để lại chút nghi ngờ nào về tính tổng quát được gán cho các quy tắc được dùng, và cho thấy một sự thành thạo kỹ thuật rất đáng chú ý trong việc xử lý các phương trình bậc nhất và bậc hai ([232], pp. 179 và tiếp theo). Trong mọi trường hợp, người ta không thấy một dấu hiệu nào của sự biện minh cho các quy tắc được dùng, cũng không thấy một định nghĩa chính xác của các phép toán xuất hiện: cũng như các phép toán ấy, sự biện minh đó vẫn còn ở trong phạm vi kinh nghiệm.

Ngược lại, một mối quan tâm tương tự đã biểu lộ rất rõ ở người Hy Lạp thời cổ điển; đúng là người ta chưa gặp ở đó một sự trình bày tiên đề hóa của lý thuyết số nguyên (một sự tiên đề hóa như thế chỉ xuất hiện vào cuối thế kỷ XIX; xem p. 24); nhưng ngay trong Elements của Euclid, có nhiều đoạn cho những chứng minh hình thức của các quy tắc tính toán cũng "hiển nhiên" theo trực giác như những quy tắc của phép tính với số nguyên (chẳng hạn, tính giao hoán của tích của hai số hữu tỉ). Những chứng minh đáng chú ý nhất thuộc loại này là những chứng minh gắn với lý thuyết các đại lượng, sáng tạo độc đáo nhất của Toán học Hy Lạp (như ta biết, tương đương với lý thuyết các số thực $> 0$ của chúng ta; xem pp. 148 tt.): ở đó Euclid xét, trong số những điều khác, tích của hai tỷ số của các đại lượng, chỉ ra rằng nó độc lập với dạng mà theo đó hai tỷ số được cho (ví dụ đầu tiên về một "thương" của một luật hợp thành

$^1$ Không được quên rằng chỉ đến Viète [319] người ta mới đưa vào thói quen ký hiệu bằng chữ cái tất cả các yếu tố (đã cho hoặc chưa biết) xuất hiện trong một bài toán Đại số. Trước đó, những phương trình duy nhất được giải trong các chuyên luận về Đại số đều có các hệ số bằng số; khi tác giả phát biểu một quy tắc tổng quát để xử lý các phương trình tương tự, ông làm điều đó (theo khả năng của mình) bằng ngôn ngữ thông thường; nếu không có một phát biểu minh nhiên như vậy, việc thực hiện các phép tính trong những trường hợp số được xét khiến cho việc có một quy tắc như thế ít nhiều trở nên có khả năng.

theo một quan hệ tương đương), và rằng nó là giao hoán ([107], Book V, prop. 22-23).$^2$

Tuy nhiên, không nên che giấu thực tế rằng bước tiến hướng tới tính chặt chẽ này, ở Euclid, lại đi kèm với một sự đình trệ, và thậm chí vài điểm thụt lùi, về mặt các kỹ thuật tính toán đại số. Sự áp đảo tuyệt đối của Hình học (mà trong khuôn khổ của nó lý thuyết các đại lượng hiển nhiên được quan niệm) làm tê liệt mọi sự phát triển tự trị của một ký hiệu đại số: các yếu tố xuất hiện trong các phép tính phải, ở mọi lúc, được “biểu diễn” về mặt hình học; hơn nữa, hai luật hợp thành xuất hiện lại không được xác định trên cùng một tập hợp (phép cộng các tỷ số không được xác định một cách tổng quát, và tích của hai độ dài không phải là một độ dài mà là một diện tích); kết quả là có một sự thiếu mềm dẻo khiến cho việc xử lý các quan hệ đại số bậc lớn hơn bậc hai hầu như không thực hành được.

Chỉ đến khi Toán học Hy Lạp cổ điển suy tàn thì người ta mới thấy Diophantus quay trở lại các truyền thống của những “logisticians”, hay những người tính toán chuyên nghiệp, những người đã tiếp tục áp dụng nguyên vẹn các quy tắc thừa hưởng từ người Ai Cập và Babylon: không còn bận tâm đến các biểu diễn hình học cho những “số” mà ông xét nữa, một cách tự nhiên ông đi tới việc phát triển các quy tắc tính toán đại số trừu tượng; chẳng hạn, ông cho những quy tắc mà (theo ngôn ngữ hiện đại) tương đương với công thức $x^{m+n} = x^m x^n$ đối với các giá trị nhỏ (dương hoặc âm) của $m$ và $n$ ([91 a], v. I, pp. 8-13); xa hơn một chút (pp.12-13) người ta thấy phát biểu của “quy tắc dấu”, dấu hiệu đầu tiên của các phép tính với số âm;$^3$ cuối cùng Diophantus dùng, lần đầu tiên, một ký hiệu chữ để biểu diễn một ẩn trong một phương trình. Mặt khác, dường như ông hầu như không bận tâm gắn các phương pháp mà ông áp dụng để giải các bài toán của mình với những ý tưởng tổng quát; còn về quan niệm tiên đề về các luật hợp thành, như đã bắt đầu le lói nơi Euclid, thì nó dường như xa lạ với tư duy của Diophantus cũng như của các môn đồ trực tiếp của ông; người ta sẽ không gặp lại nó trong Đại số trước đầu thế kỷ XIX.

Trước hết đã cần, trong các thế kỷ trung gian, một mặt phải phát triển được một hệ ký hiệu đại số thích hợp cho việc biểu đạt các luật trừu tượng, và mặt khác khái niệm “số” phải được mở rộng sao cho, bằng việc quan sát những trường hợp riêng đủ đa dạng, người ta có thể đi lên các khái niệm tổng quát. Về điểm này, lý thuyết tiên đề về các tỷ số của các đại lượng, do người Hy Lạp tạo ra, là không đủ, bởi vì nó chỉ làm chính xác khái niệm trực giác về một số thực $> 0$ và các phép toán trên các số ấy, vốn người Babylon đã biết theo một cách ít rõ ràng hơn

$^2$ Đúng là ở điểm này Euclid không đưa ra một định nghĩa hình thức của tích của hai tỷ số, và định nghĩa được thấy muộn hơn một chút trong Elements (Book VI, def. 5) bị coi là được nội suy: tuy vậy, dĩ nhiên ông vẫn có một quan niệm hoàn toàn rõ ràng về phép toán này và các tính chất của nó. $^3$ Diophantus không biết các số âm; vì thế quy tắc này chỉ có thể được giải thích như liên quan đến các phép tính với các đa thức, và cho phép “khai triển” các tích như $(a - b)(c - d)$.

dạng; trái lại, ở đây sẽ là trường hợp của những "số" mà người Hy Lạp chưa hề hình dung ra, và mà lúc đầu không có một "biểu diễn" cảm tính nào tự trình hiện: một mặt, số không và các số âm, xuất hiện từ thời Trung cổ cao trong Toán học Hindu; mặt khác, các số ảo, sáng tạo của các nhà đại số học Ý ở thế kỷ XVI.

Nếu gạt riêng số không, trước hết được đưa vào như một ký hiệu ghi số trước khi được coi là một số (xem p. 45), thì đặc trưng chung của các mở rộng ấy là mang tính, ít nhất lúc đầu, thuần túy "hình thức". Điều đó phải được hiểu là các "số" mới trước hết xuất hiện như kết quả của những phép toán được áp dụng trong các tình huống mà, theo định nghĩa ngặt của chúng, chúng không có nghĩa nào cả (chẳng hạn hiệu $a - b$ của hai số nguyên khi $a < b$): do đó có tên gọi các số "sai", "hư cấu", "phi lý", "bất khả", "ảo", v.v., đã được gán cho chúng. Đối với người Hy Lạp thời cổ điển, vốn trước hết bận tâm đến tư duy minh bạch, những mở rộng như thế là không thể quan niệm được; chúng chỉ có thể đến từ những nhà tính toán sẵn lòng hơn người Hy Lạp trong việc đặt niềm tin, tuy có phần thần bí, vào sức mạnh của các phương pháp của mình ("tính tổng quát của Giải tích", như thế kỷ XVIII sẽ nói), và chấp nhận để cho cơ học của các phép tính lôi cuốn mà không kiểm tra ở mỗi bước tính vững chắc của chúng; hơn nữa đó là một niềm tin thường được biện minh $a posteriori$, bởi những kết quả khớp mà việc mở rộng, sang các đối tượng toán học mới này, các luật tính toán vốn chỉ đúng, theo đúng nghĩa chặt chẽ, đối với các số đã biết trước đó, đã dẫn tới. Điều đó giải thích vì sao có một sự táo bạo tăng dần trong việc xét chúng tự thân (độc lập với mọi áp dụng vào các phép tính cụ thể), những khái quát hóa của khái niệm số này, vốn lúc đầu chỉ xuất hiện như những trung gian trong một dãy phép toán mà điểm xuất phát và đích đến là những "số" đích thực; một khi bước ấy đã được thực hiện, người ta bắt đầu tìm kiếm những cách giải thích ít nhiều hữu hình cho các thực thể mới này, nhờ đó chúng có được quyền được viện dẫn trong Toán học.$^4$

Về điểm này, người Hindu đã ý thức được cách giải thích mà trong một số trường hợp các số âm phải có (chẳng hạn một món nợ trong một bài toán thương mại). Trong các thế kỷ tiếp theo, khi các phương pháp và kết quả của toán học Hy Lạp và Hindu được truyền bá sang phương Tây (qua trung gian người Ả Rập), người ta ngày càng quen hơn với việc thao tác trên các số ấy, và người ta bắt đầu có những "biểu diễn" khác cho chúng, có tính hình học hoặc động học. Ở đó, cùng với sự cải thiện dần dần của ký hiệu đại số, là tiến bộ đáng kể duy nhất trong Đại số vào cuối thời Trung cổ.

$^4$ Hơn nữa, sự nghiên cứu này chỉ cấu thành một giai đoạn chuyển tiếp trong sự tiến hóa của các khái niệm đang được xét; từ giữa thế kỷ XIX, đã có sự quay trở lại, lần này theo một cách hoàn toàn tự giác, với một quan niệm hình thức về các mở rộng khác nhau của khái niệm số, một quan niệm rốt cuộc đã được tích hợp vào quan điểm "hình thức luận" và tiên đề hóa, vốn chi phối toàn bộ toán học hiện đại.

Vào đầu thế kỷ XVI, Đại số đã cất cánh trở lại, nhờ việc các nhà toán học thuộc trường phái Ý phát hiện ra nghiệm "bằng căn thức" của phương trình bậc 3, rồi của phương trình bậc 4 (xem pp. 72 ff.); chính nhân dịp này mà, bất chấp sự miễn cưỡng của mình, họ thấy mình, có thể nói, bị buộc phải đưa các số ảo vào trong các phép tính; tuy nhiên, từng chút một, niềm tin vào việc tính toán với các số "bất khả" ấy được hình thành, cũng như đối với các số âm, mặc dù trong hơn hai thế kỷ người ta chưa nghĩ ra được một "biểu diễn" nào cho chúng.

Mặt khác, ký hiệu đại số đã nhận được những cải tiến có tính quyết định từ Viète và từ Descartes; kể từ nhà toán học sau này, ký hiệu đại số, chỉ trừ vài ngoại lệ, đã là ký hiệu mà ngày nay chúng ta dùng.

Từ giữa thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XVIII, có vẻ như những chân trời rộng lớn do việc sáng tạo ra phép tính vô cùng bé mở ra đã phần nào dẫn tới sự xao lãng đối với Đại số nói chung, và đặc biệt đối với tư duy toán học về các luật hợp thành hoặc về bản chất của các số thực và số phức.$^5$ Vì thế mà sự hợp thành các lực và sự hợp thành các vận tốc, đã quen thuộc trong Cơ học ngay từ cuối thế kỷ XVII, lại không gây ra tiếng vang nào trong Đại số, mặc dù chúng đã chứa sẵn dưới dạng mầm mống phép tính vectơ. Quả vậy, phải đợi đến phong trào tư tưởng mà, vào khoảng năm 1800, dẫn tới biểu diễn hình học của các số phức (xem p. 161), mới thấy, trong Toán học thuần túy, việc dùng phép cộng vectơ.$^6$

Cũng vào khoảng thời gian đó, lần đầu tiên trong Đại số, khái niệm một luật hợp thành được mở rộng. theo hai hướng khác nhau, tới những phần tử không còn được liên kết với các "số" (theo nghĩa rộng nhất đã được gán cho từ này cho đến lúc ấy) ngoài bởi những sự tương tự xa xôi. Mở rộng thứ nhất trong số đó là do C. F. Gauss, vào thời kỳ các nghiên cứu số học của ông về các dạng toàn phương $ax^2 + bxy + cy^2$ với các hệ số nguyên. Lagrange đã định nghĩa, trong tập hợp các dạng có cùng biệt thức, một quan hệ tương đương,$^7$ và mặt khác đã chứng minh một đẳng thức cung cấp, trong tập hợp ấy, một luật hợp thành giao hoán (không được định nghĩa ở khắp nơi); xuất phát từ các kết quả đó, Gauss chỉ ra rằng luật này tương thích với một quan hệ tương đương hơi khác ([124 a], v. I, p. 272): "Qua đó người ta thấy", khi ấy ông nói,

$^5$ Một mặt, chúng ta phải gác sang một bên những nỗ lực của Leibniz nhằm đặt lập luận của logic hình thức dưới một dạng đại số (xem p. 7), mặt khác nhằm thiết lập một "phép tính hình học" tác động trên các phần tử hình học, không qua trung gian của các tọa độ ([198 a], v. V, p. 141). Nhưng những nỗ lực ấy vẫn chỉ ở mức phác thảo, và không gây được tiếng vang nơi những người cùng thời với ông; mãi đến trong thế kỷ XIX chúng mới lại được tiếp tục (xem dưới đây).

$^6$ Dù sao, phép toán này được đưa vào mà không có bất kỳ quy chiếu nào tới Cơ học; mối liên hệ giữa hai lý thuyết chỉ được những người sáng lập phép tính vectơ nhìn nhận một cách tường minh vào phần ba thứ hai của thế kỷ XIX (xem p. 61).

$^7$ Hai dạng là tương đương khi một trong hai có thể được suy ra từ dạng kia bằng một "phép đổi biến" $x' = \alpha x + \beta y, y' = \gamma x + \delta y$, trong đó $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ là các số nguyên sao cho $\alpha \delta - \beta \gamma = 1$.

"điều phải được hiểu bởi một lớp được hợp thành từ hai hay nhiều lớp". Sau đó ông chuyển sang nghiên cứu luật "thương" mà như vậy ông vừa mới định nghĩa, về thực chất thiết lập rằng đó là (theo ngôn ngữ hiện đại) một luật nhóm Abel, và điều này bằng những lập luận mà tính tổng quát vượt rất xa, trong đa số trường hợp, trường hợp riêng mà Gauss xét đến (chẳng hạn, lập luận qua đó ông chứng minh tính duy nhất của phần tử đối xứng có thể được áp dụng cho bất kỳ luật hợp thành nào (ibid., p. 273)). Nhưng ông không dừng lại ở đó: quay trở lại vấn đề ấy ít lâu sau, ông nhận ra phép loại suy giữa hợp thành các lớp và phép nhân các số nguyên modulo một số nguyên tố$^8$ (ibid. p. 371), nhưng cũng nhận thấy rằng nhóm các lớp của các dạng toàn phương có biệt thức cho trước không phải lúc nào cũng là một nhóm cyclic; những chỉ dẫn ông đưa ra về vấn đề này khiến ta nghĩ rằng có lẽ ông đã nhận ra, ít nhất trong trường hợp riêng này, cấu trúc tổng quát của các nhóm Abel hữu hạn ([124 a], v. I, p. 374 and v. II, p. 266).

Chuỗi nghiên cứu khác mà chúng tôi muốn nói tới cũng kết thúc ở khái niệm nhóm, do đó đưa nó một cách dứt khoát vào Toán học: đó là "lý thuyết các phép thế", một sự phát triển các ý tưởng của Lagrange, Vandermonde và Gauss về việc giải các phương trình đại số. Chúng tôi sẽ không trình bày ở đây một lịch sử chi tiết của vấn đề này (xem pp. 75 ff.); cần nhớ đến định nghĩa của Ruffini [265], rồi của Cauchy ([56 a], (2), v. I, p. 64), về "tích" của hai hoán vị của một tập hợp hữu hạn,$^9$ và những khái niệm đầu tiên về các nhóm hữu hạn các hoán vị: tính bắc cầu, tính nguyên thủy, phần tử trung lập, các phần tử giao hoán, v.v.. Nhưng những nghiên cứu đầu tiên ấy, xét toàn cục, vẫn còn khá nông, và Evariste Galois mới phải được xem là người khởi xướng thực sự của lý thuyết: trong công trình đáng ghi nhớ của mình [123], sau khi quy việc nghiên cứu các phương trình đại số về việc nghiên cứu các nhóm hoán vị mà ông gắn cho chúng, ông đã đào sâu đáng kể lý thuyết sau này, cả về phương diện khảo sát các tính chất tổng quát của các nhóm (chính Galois là người đầu tiên định nghĩa khái niệm nhóm con chuẩn tắc và nhận ra tầm quan trọng của nó), lẫn về phương diện xác định các nhóm có những tính chất riêng biệt (ở đó các kết quả ông thu được cho đến ngày nay vẫn được xếp vào hàng tinh tế nhất của lý thuyết). Cũng chính là cho

$^8$ Điều khá đáng chú ý là Gauss ký hiệu phép hợp thành các lớp của các dạng toàn phương theo lối cộng, bất chấp phép loại suy mà chính ông chỉ ra, và bất chấp việc đẳng thức của Lagrange, thứ định nghĩa hợp thành của hai dạng, gợi ý tự nhiên hơn nhiều cho ký hiệu nhân (mà dù sao mọi người kế tục Gauss đều quay trở lại). Phải thấy trong sự thờ ơ này đối với các vấn đề ký hiệu một bằng chứng bổ sung về tính tổng quát mà chắc chắn Gauss đã đạt tới trong các quan niệm của ông liên quan đến các luật hợp thành. Dù sao, ông cũng không giới hạn quan niệm của mình vào các luật giao hoán, như được cho thấy bởi một mảnh bản thảo không được công bố khi ông còn sống, nhưng có niên đại từ các năm 1819-1820, trong đó ông nêu ra, hơn hai mươi năm trước Hamilton, các công thức cho phép nhân quaternion ([124 a], v. VIII, p. 357).

$^9$ Khái niệm hàm hợp thành dĩ nhiên đã được biết đến từ rất lâu trước đó, ít nhất đối với các hàm của biến thực hoặc phức; nhưng phương diện đại số của luật hợp thành này, và mối liên hệ với tích của hai hoán vị, chỉ được làm sáng tỏ trong công trình của Abel ([1], v. I, p. 478) và của Galois.

Galois mà người ta phải quy ý tưởng đầu tiên về "biểu diễn tuyến tính của các nhóm",$^{10}$ và sự kiện này chứng tỏ rõ ràng rằng ông đã nắm được khái niệm đẳng cấu của hai cấu trúc nhóm, độc lập với các "sự hiện thực hóa" của chúng.

Tuy nhiên, nếu dường như không thể chối cãi rằng những phương pháp sáng chói của Gauss và Galois đã dẫn họ tới một quan niệm rất rộng về luật hợp thành, thì họ đã không có dịp phát triển riêng biệt các ý tưởng của mình về điểm này, và công trình của họ đã không có một tác động ngay lập tức nào lên sự tiến triển của Đại số trừu tượng.$^{11}$ Chính theo một hướng thứ ba mà những tiến bộ rõ rệt nhất hướng tới sự trừu tượng hóa đã được thực hiện: tiếp theo những suy tư về bản chất của các số ảo (mà biểu diễn hình học của chúng đã gây ra, vào đầu thế kỷ XIX, những công trình khá đáng kể), các nhà đại số của trường phái Anh trước hết đã làm nổi bật, từ 1830 đến 1850, khái niệm trừu tượng về một luật hợp thành, và ngay lập tức mở rộng phạm vi của Đại số bằng cách áp dụng khái niệm này vào hàng loạt đối tượng toán học mới: đại số của Logic với Boole (xem tr. 8), vectơ, quaternion và các hệ hypercomplex tổng quát với Hamilton [145 a], ma trận và các luật không kết hợp với Cayley ([58], t. I, tr. 127 và 301, và t. II, tr. 185 và 475). Một sự tiến triển song song diễn ra một cách độc lập trên lục địa, đáng kể là đối với phép tính vectơ (Möbius, Bellavitis), Đại số tuyến tính và các hệ hypercomplex (Grassmann) (xem tr. 61).$^{12}$

Từ toàn bộ sự dâng trào của những ý tưởng độc đáo và phong phú này, những ý tưởng đến làm sống lại Đại số trong nửa đầu thế kỷ XIX, chính ngành này xuất hiện được đổi mới ngay cả trong các khuynh hướng của nó. Trước đó, các phương pháp và kết quả xoay quanh bài toán trung tâm là nghiệm của các phương trình đại số (hoặc các phương trình điôphant trong Lý thuyết Số): "Đại số", Serret nói trong phần Dẫn nhập của Cours d'Algèbre supérieure của ông [284], "*xét theo đúng nghĩa, là Giải tích của các phương trình*". Sau 1850, mặc dù các chuyên luận về Đại số trong một thời gian dài vẫn còn dành vị trí ưu tiên cho lý thuyết phương trình, các nghiên cứu mới không còn bị chi phối bởi mối quan tâm đến những ứng dụng ngay lập tức vào việc giải các phương trình số, và ngày càng hướng nhiều hơn tới điều mà ngày nay ta sẽ xem là bài toán cốt yếu của Đại số, tức là việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như chính chúng.

Công trình này được phân chia khá rành mạch thành ba dòng, lần lượt mở rộng ba vận động tư tưởng mà chúng tôi đã phân tích ở trên, và được theo đuổi song song mà không có ảnh hưởng lẫn nhau nào đáng kể cho đến những năm cuối của thế kỷ XIX.$^{13}$

$^{10}$ Chính trong trường hợp này mà Galois, bằng một sự mở rộng táo bạo của "hình thức luận" đã dẫn tới các số phức, xét các "nghiệm ảo" của một đồng dư modulo một số nguyên tố, và do đó phát hiện ra các trường hữu hạn (xem p. 82).

$^{11}$ Trong mọi trường hợp, công trình của Galois vẫn bị bỏ qua cho đến năm 1846, còn công trình của Gauss thì chỉ gây ảnh hưởng trực tiếp lên Lý thuyết Số.

$^{12}$ Những lý thuyết chính được phát triển trong thời kỳ này được trình bày nổi bật trong công trình đương thời của H. Hankel [146], ở đó khái niệm trừu tượng về một luật hợp thành được hình thành và trình bày với sự sáng rõ hoàn hảo.

$^{13}$ Ở đây, chúng tôi cố ý để sang một bên tất cả những gì liên quan, trong thời kỳ này, đến sự tiến triển của hình học đại số, và lý thuyết bất biến, vốn gắn bó chặt chẽ

Trước hết là sự xây dựng, bởi trường phái Đức của thế kỷ XIX (Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind, Hilbert), lý thuyết số đại số, xuất phát từ công trình của Gauss, người có công thực hiện khảo cứu đầu tiên thuộc loại này, đó là khảo cứu các số $a + bi$ ($a$ và $b$ hữu tỉ). Chúng tôi sẽ không theo dõi ở đây sự tiến triển của lý thuyết ấy: đối với mục đích của chúng tôi, chỉ cần rút ra những khái niệm đại số trừu tượng xuất hiện ở đó. Ngay từ những người kế tục đầu tiên của Gauss, ý tưởng về một trường (các số đại số) đã là nền tảng của toàn bộ các công trình đang xét (cũng như của các nghiên cứu của Abel và Galois về các phương trình đại số); phạm vi áp dụng của nó được mở rộng khi Dedekind và Weber [80] sao chép lý thuyết các hàm đại số một biến sang lý thuyết số đại số. Cũng là do Dedekind ([79], v. III, p. 251) mà có việc đưa vào khái niệm iđêan, cung cấp một ví dụ mới về luật hợp thành giữa các tập hợp phần tử; cũng chính từ ông và Kronecker mà bắt nguồn vai trò ngày càng lớn của các nhóm Abel và các môđun trong lý thuyết các trường đại số; chúng tôi sẽ trở lại điều này về sau (xem pp. 63 ff. và 93 ff.).

Chúng tôi cũng để lại về sau lịch sử sự phát triển của Đại số tuyến tính (p. 57) và các hệ siêu phức (p. 117), những lĩnh vực diễn ra mà không đưa vào bất kỳ khái niệm đại số mới nào trong cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, ở Anh (Sylvester, W. Clifford) và ở Mỹ (B. và C. S. Peirce, Dickson, Wedderburn) theo con đường do Hamilton và Cayley vạch ra, ở Đức (Weierstrass, Dedekind, Frobenius, Molien) và ở Pháp (Laguerre, E. Cartan) một cách độc lập với giới Anglo-Saxon và theo những phương pháp khá khác biệt.

Còn đối với lý thuyết nhóm, trước hết nó chủ yếu được phát triển dưới dạng lý thuyết các nhóm hoán vị hữu hạn, tiếp theo sau việc công bố các công trình của Galois và sự truyền bá chúng qua các công trình của Serret [284], và trên hết là "Khảo luận về các thế" đồ sộ của C. Jordan [174 a]. Tác phẩm sau này ở đó đã tổng kết, đồng thời hoàn thiện chúng rất nhiều, công trình của các bậc tiền bối của ông về các tính chất riêng của các nhóm hoán vị (tính bắc cầu, tính nguyên thủy, v.v.), thu được những kết quả mà phần lớn hầu như chưa bị vượt qua kể từ đó; ông cũng nghiên cứu, một cách sâu sắc, những nhóm riêng rất quan trọng, các nhóm tuyến tính và các nhóm con của chúng (xem p. 138); hơn nữa, chính ông là người đưa vào khái niệm cơ bản về biểu diễn của một nhóm bởi một nhóm khác, cũng như (muộn hơn một chút) khái niệm nhóm thương, và là người chứng minh một phần của định lý được biết dưới tên "Định lý Jordan-Hölder".$^{14}$ Cuối cùng, cũng chính từ Jordan mà bắt nguồn khảo cứu đầu tiên về các nhóm vô hạn [174 b], mà S. Lie một mặt, F. Klein và H. Poincaré mặt khác, đã phát triển đáng kể theo hai hướng khác nhau, vài năm sau đó.

$^{14}$ Jordan mới chỉ thiết lập tính bất biến (không kể thứ tự) của các cấp của các nhóm thương của một "chuỗi Jordan-Hölder" đối với một nhóm hữu hạn; chính O. Hölder đã chỉ ra rằng bản thân các nhóm thương ấy cũng (không kể thứ tự) độc lập với chuỗi đang xét [165].

Trong khi đó, dần dần trở nên hiển nhiên rằng điều cốt yếu trong một nhóm là luật hợp thành của nó chứ không phải bản tính của các đối tượng tạo thành nhóm (xem chẳng hạn [58], t. II, tr. 123 và 131 và [79], t. III, tr. 439). Tuy nhiên, ngay cả các nghiên cứu về các nhóm trừu tượng hữu hạn cũng vẫn còn được quan niệm trong một thời gian dài như những nghiên cứu về các nhóm thế vị, và chỉ vào khoảng năm 1880 mới có một sự phát triển có ý thức của lý thuyết tự trị về các nhóm hữu hạn. Chúng tôi không thể đi xa hơn trong lịch sử của lý thuyết này; chúng tôi chỉ giới hạn ở việc nhắc đến hai công cụ mà cho đến ngày nay vẫn thuộc số những công cụ được dùng nhiều nhất trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn, và cả hai đều có nguồn gốc từ thế kỷ XIX: các định lý của Sylow$^{15}$ về các $p$-nhóm, có từ năm 1872 [303], và lý thuyết các đặc trưng, do Frobenius tạo ra trong những năm cuối của thế kỷ ấy ([119], t. III, tr.1-37). Chúng tôi dẫn người đọc nào muốn đào sâu hiểu biết của mình về lý thuyết các nhóm hữu hạn và về những bài toán nhiều và khó khăn mà nó làm nảy sinh đến các chuyên khảo [44 b], [131], [291] và [341].

Cũng vào khoảng năm 1880 mà các biểu diễn của nhóm bắt đầu được nghiên cứu một cách có hệ thống; trước đó, chỉ có các biểu diễn của những nhóm riêng biệt được nghiên cứu, chẳng hạn của nhóm phản xứng $A_5$ trong công trình của Hamilton [145 b], hoặc của các nhóm đơn điệu của các phương trình vi phân và các mặt Riemann (Schwarz, Klein, Schlafli). W. Dyck là người đầu tiên [97] định nghĩa (mà không đặt tên cho nó) nhóm tự do sinh bởi một số hữu hạn phần tử sinh, nhưng ông ít quan tâm đến nó tự thân hơn là như một đối tượng "phổ quát" cho phép định nghĩa một cách chính xác điều được hiểu là một nhóm cho "bởi các phần tử sinh và các quan hệ". Phát triển một ý tưởng do Cayley nêu ra trước tiên, và rõ ràng còn chịu ảnh hưởng ở nơi khác bởi công trình của trường phái Riemann được nhắc đến ở trên, Dyck mô tả một cách giải thích một nhóm có biểu diễn cho trước, trong đó mỗi phần tử sinh được biểu diễn bởi một tích của hai phép nghịch đảo đối với các đường tròn tiếp xúc hoặc cát tuyến (xem thêm [44 b], chap. XVIII). Ít lâu sau, sau sự phát triển của lý thuyết các hàm tự đẳng cấu bởi Poincaré và những người kế tục ông, rồi việc Poincaré đưa vào các công cụ của Tôpô đại số, những nghiên cứu đầu tiên về các nhóm cơ bản sẽ song hành với việc nghiên cứu các biểu diễn của nhóm (Dehn, Tietze), hai lý thuyết hỗ trợ lẫn nhau. Dù sao đi nữa, chính một nhà tôpô học, J. Nielsen, là người vào năm 1924 đã đưa vào thuật ngữ nhóm tự do trong nghiên cứu sâu sắc đầu tiên về các tính chất của nó [234]; gần như ngay lập tức sau đó E. Artin (vẫn còn liên hệ với các vấn đề tôpô) đưa vào khái niệm tích tự do của các nhóm, và O. Schreier định nghĩa một cách tổng quát hơn tích tự do với nhóm con amalgam hóa. Ở đây nữa, chúng tôi không thể đề cập đến lịch sử của những phát triển tiếp theo theo hướng này, và xin dẫn tới công trình [216] để biết thêm chi tiết.

Đây cũng không phải là chỗ để nói về sự phồn thịnh phi thường mà ý niệm nhóm (và ý niệm bất biến, gắn bó mật thiết với nó) đã được hưởng, từ cuối thế kỷ XIX, trong Giải tích, trong Hình học, trong Cơ học và trong Vật lý lý thuyết. Chính bằng một sự xâm nhập tương tự của

$^{15}$ Sự tồn tại của một nhóm con cấp $p^n$ trong một nhóm hữu hạn mà cấp của nó chia hết cho $p^n$ được nhắc đến mà không có chứng minh trong các bài báo của Galois ([123], p. 72).

khái niệm này, và của những khái niệm đại số liên quan đến nó (nhóm có toán tử, vành, iđêan, môđun) vào những phần của Đại số mà cho đến lúc ấy dường như còn khá xa lĩnh vực thực sự của chúng, mà giai đoạn cuối cùng của sự tiến hóa chúng tôi đang thuật lại ở đây được đánh dấu, và giai đoạn ấy kết thúc bằng sự tổng hợp của ba xu hướng mà chúng tôi đã theo dõi ở trên. Sự thống nhất này trước hết là công trình của trường phái Đức hiện đại: bắt đầu với Dedekind và Hilbert trong những năm cuối của thế kỷ XIX, công trình tiên đề hóa Đại số đã được E. Steinitz [294 a] tiếp tục một cách mạnh mẽ, rồi từ năm 1920, dưới sự thúc đẩy của E. Artin, E. Noether và các nhà đại số thuộc các trường phái của họ (Hasse, Krull, O. Schreier, van der Waerden). Bộ chuyên luận của van der Waerden [317 a], được xuất bản năm 1930, lần đầu tiên tập hợp các công trình này trong một trình bày đầy đủ, mở đường và làm người dẫn dắt cho nhiều nghiên cứu tiếp theo về Đại số trừu tượng.