2. Ký hiệu; giải tích tổ hợp.

Lịch sử và khảo cổ học làm chúng ta nhận thức được một số lượng lớn các "hệ ký hiệu"; mục tiêu ban đầu của chúng là gắn cho mỗi số nguyên dương riêng biệt (cho đến một giới hạn phụ thuộc vào các nhu cầu của ứng dụng) một tên gọi và một biểu diễn bằng chữ viết, được tạo thành bởi sự kết hợp của một số lượng hạn chế các ký hiệu, được thực hiện bằng cách tuân theo các quy luật ít nhiều chính quy. Cho đến nay, thủ tục thường gặp nhất bao gồm việc tách các số nguyên thành các tổng của những "đơn vị liên tiếp" $b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$, trong đó mỗi đơn vị là một bội bởi một số nguyên của đơn vị đứng trước nó; và nếu nói chung $b_n / b_{n-1}$ được lấy bằng cùng một số $b$ (là "cơ sở" của hệ, thường nhất là 10), người ta nhận thấy nhiều ngoại lệ đối với quy tắc này, như ở người Babylon, nơi $b_n / b_{n-1}$ đôi khi bằng 10, đôi khi bằng 6 [232], và trong hệ niên đại của người Maya, nơi $b_n / b_{n-1}$ bằng 20 ngoại trừ $n = 2$, và nơi $b_2 / b_1 = 18$ [228]. Đối với biểu diễn bằng chữ viết tương ứng, nó phải chỉ ra số lượng các "đơn vị" $b_i$ của mỗi cấp $i$; trong nhiều hệ (như ở người Ai Cập, người Hy Lạp và người La Mã), các bội liên tiếp $k.b_i$, (trong đó $k$ biến thiên từ 1 đến $(b_{i+1}/b_i) - 1$) được biểu diễn bởi các ký hiệu phụ thuộc đồng thời vào $k$ và $i$. Một cải tiến đầu tiên và quan trọng là biểu diễn tất cả các số $k.b_i$ (với cùng một giá trị của $k$) bằng cùng một ký hiệu: đó là nguyên lý của "ký hiệu vị trí", trong đó chỉ số $i$ được chỉ ra bởi sự kiện rằng ký hiệu biểu diễn $k.b_i$ xuất hiện ở vị trí thứ $i$ trong dãy các "lát" tạo thành số được biểu diễn. Hệ đầu tiên thuộc loại này được tìm thấy ở người Babylon, những người, không nghi ngờ gì, đã từ 2000 năm trước Công nguyên, dùng cùng một dấu hiệu để biểu diễn tất cả các bội $k.60^{\pm i}$ tương ứng với các giá trị tùy ý của số mũ $i$ ([232], pp. 93-109). Sự bất tiện của một hệ như vậy dĩ nhiên nằm ở tính mơ hồ của các ký hiệu được sử dụng, chừng nào không có gì chỉ ra rằng các đơn vị của một cấp nào đó có thể vắng mặt, nói cách khác, chừng nào hệ chưa được hoàn thiện bằng việc đưa vào một "không". Tuy nhiên người ta thấy người Babylon xoay xở không cần một ký hiệu như vậy trong phần lớn lịch sử của họ; trên thực tế họ chỉ sử dụng một "không" như vậy trong hai thế kỷ cuối trước Công nguyên, và vẫn chỉ ở bên trong một số; cho đến lúc đó, chỉ có ngữ cảnh phải xác định ý nghĩa của số đang xét. Chỉ có hai hệ khác sử dụng một "không" một cách có hệ thống: hệ của người Maya (dường như đã được sử dụng từ đầu Công nguyên [228]), và hệ thập phân hiện tại của chúng ta, hệ này (thông qua người Ả Rập) được dẫn xuất từ toán học Ấn Độ, nơi việc sử dụng nó đã được chứng thực từ những thế kỷ đầu của Công nguyên. Ngoài ra cần lưu ý rằng quan niệm về không như một số (chứ không phải như một ký hiệu phân cách đơn giản) và việc đưa nó vào các phép tính, cũng thuộc về những đóng góp ban đầu của người Ấn Độ ([78], v. I). Dĩ nhiên, một khi nguyên lý của ký hiệu vị trí đã được tiếp thu, việc mở rộng nó đến bất kỳ cơ sở nào cũng dễ dàng; cuộc thảo luận về ưu điểm của các "cơ sở" khác nhau được đề xuất từ thế kỷ XVII là vấn đề của các kỹ thuật Tính toán số và không nên được đề cập ở đây. Chúng ta chỉ giới hạn ở việc nhận xét rằng phép toán làm nền tảng cho các hệ này, phép chia được gọi là "Euclid", không xuất hiện trước người Hy Lạp, và chắc chắn bắt nguồn từ những người Pythagore đầu tiên, những người đã biến nó thành công cụ cốt yếu của Số học lý thuyết của họ (xem p. 85).

Các vấn đề tổng quát về phép đếm, được nhóm dưới tên "giải tích tổ hợp", dường như chưa được nghiên cứu trước những thế kỷ cuối của thời Cổ đại cổ điển: chỉ có công thức $\binom{n}{2} = n(n-1)/2$ được chứng thực vào thế kỷ III của Công nguyên. Nhà toán học Ấn Độ Bhaskara (thế kỷ XII) biết công thức tổng quát cho $\binom{n}{p}$. Một nghiên cứu có hệ thống hơn được tìm thấy trong một bản thảo của Levi ben Gerson, vào đầu thế kỷ XII-I: ông thu được công thức truy hồi cho phép tính số $V_n^p$ các sắp xếp của $n$ đối tượng lấy $p$ một lần, và đặc biệt là số các hoán vị của $n$ đối tượng; ông cũng phát biểu các quy tắc tương đương với các hệ thức $\binom{n}{p} = V_n^p / p!$ và $\binom{n}{n-p} = \binom{n}{p}$ ([311], v. VI, pp. 64-65). Nhưng bản thảo này dường như đã bị những người cùng thời với ông bỏ qua, và các kết quả của nó chỉ được các nhà toán học của những thế kỷ sau phát hiện lại từng bước. Trong số những tiến bộ về sau, hãy chọn ra việc Cardan chứng minh rằng số các tập con không rỗng của một tập hợp gồm $n$ phần tử là $2^n - 1$; Pascal và Fermat, khi thiết lập phép tính xác suất, đã phát hiện lại biểu thức của $\binom{n}{p}$, và Pascal là người đầu tiên nhận thấy mối quan hệ giữa các số này và công thức nhị thức: công thức sau dường như đã được người Ả Rập biết từ thế kỷ XIII, người Trung Quốc vào thế kỷ XIV, và nó đã được phát hiện lại ở phương Tây vào đầu thế kỷ XVI, cũng như phương pháp tính toán bằng truy hồi được gọi là "tam giác số học", phương pháp thường được quy cho Pascal ([311], v. VI, pp. 35-38). Cuối cùng Leibniz, vào khoảng năm 1676, thu được (mà không công bố nó) công thức tổng quát cho "các hệ số đa thức", được de Moivre phát hiện lại một cách độc lập và công bố 20 năm sau.