2. Numération ; analyse combinatoire

L’histoire et l’archéologie nous font connaître un grand nombre de « systèmes de numération » ; leur but initial est d’attacher à chaque entier individuel (jusqu’à une limite qui dépend des besoins de la pratique) un nom et une représentation écrite, formés de combinaisons d’un nombre restreint de signes, s’effectuant suivant des lois plus ou moins régulières. Le procédé de beaucoup le plus fréquent consiste à décomposer les entiers en sommes d’« unités successives » $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, dont chacune est un multiple entier de la précédente ; et si en général $b_n / b_{n-1}$ est pris égal à un même nombre $b$ (la « base » du système, le plus souvent 10), on observe mainte exception à cette règle, comme chez les Babyloniens, où $b_n / b_{n-1}$ est tantôt égal à 10, tantôt à 6 [232], et dans le système chronologique des Mayas, où $b_n / b_{n-1}$ est égal à 20 sauf pour $n = 2$, et où $b_2 / b_1 = 18$ [228]. Quant à l’écriture correspondante, elle doit indiquer le nombre d’« unités » $b_i$ de chaque ordre $i$ ; dans beaucoup de systèmes (comme chez les Égyptiens, les Grecs et les Romains), les multiples successifs $k.b_i$ (où $k$ varie de 1 à $(b_{i+1}/b_i)-1$) sont désignés par des symboles qui dépendent à la fois de $k$ et de $i$. Un premier et important progrès consiste à désigner tous les nombres $k.b_i$ (pour la même valeur de $k$) par le même signe : c’est le principe de la « numération de position », où l’indice $i$ est indiqué par le fait que le symbole représentant $k.b_i$ apparaît à la $i$-ème place dans la succession des « tranches » constituant le nombre représenté. Le premier système de cette nature se rencontre chez les Babyloniens, qui, sans doute dès 2 000 avant J.-C., notent par un même signe tous les multiples $k.60^{\pm i}$ correspondant à des valeurs quelconques de l’exposant $i$ ([232], p. 93-109). L’inconvénient d’un tel système réside bien entendu dans l’ambiguïté des symboles employés, tant que rien n’indique que les unités d’un certain ordre peuvent être absentes, en d’autres termes, tant que le système n’est pas complété par l’introduction d’un « zéro ». On voit pourtant les Babyloniens se passer d’un tel signe pendant la plus grande partie de leur histoire ; ils n’emploient en effet un « zéro » que dans les deux derniers siècles avant J.-C., et encore seulement à l’intérieur d’un nombre ; jusque-là, le contexte devait seul préciser la signification du nombre considéré. Deux autres systèmes seulement utilisent systématiquement un « zéro » : celui des Mayas (en usage, semble-t-il, dès le début de l’ère chrétienne [228]), et notre système décimal actuel, qui (par l’intermédiaire des Arabes) dérive de la mathématique hindoue, où son usage est attesté dès les premiers siècles de notre ère. Il faut noter en outre que la conception du zéro comme un nombre (et non comme un simple signe de séparation) et son introduction dans les calculs, comptent aussi parmi les contributions originales des Hindous ([78], t. I). Bien entendu, une fois acquis le principe de la numération de position, il était facile de l’étendre à une base quelconque ; la discussion des mérites des différentes « bases » proposées depuis le xviiie siècle relève des techniques du Calcul numérique et ne saurait être abordée ici. Bornons-nous à remarquer que l’opération qui sert de fondement à ces systèmes, la division dite « euclidienne », n’apparaît pas avant les Grecs, et remonte sans doute aux premiers Pythagoriciens, qui en firent l’outil essentiel de leur Arithmétique théorique (voir p. 110).

Les problèmes généraux d’énumération, groupés sous le nom d’ « Analyse combinatoire », ne paraissent pas avoir été abordés avant les derniers siècles de l’Antiquité classique : seule la formule