3. L’évolution de l’algèbre
Il est peu de notions, en Mathématique, qui soient plus primitives que celle de loi de composition : elle semble inséparable des premiers rudiments de calcul sur les entiers naturels et les grandeurs mesurables. Les documents les plus anciens qui nous restent sur la Mathématique des Égyptiens et des Babyloniens nous les montrent déjà en possession d’un système complet de règles de calcul sur les entiers naturels , les nombres rationnels , les longueurs et les aires ; encore que les textes babyloniens qui nous sont parvenus ne traitent que de problèmes dans lesquels les données ont des valeurs numériques explicitées *, ils ne laissent aucun doute sur la généralité attribuée aux règles employées, et dénotent une habileté technique tout à fait remarquable dans le maniement des équations du premier et du second degré ([232], p. 179 et suiv.). On n’y trouve d’ailleurs aucune trace d’un souci de justification des règles utilisées, ni même de définition précise des opérations qui interviennent : celles-ci comme celles-là restent du domaine de l’empirisme.
Pareil souci, par contre, se manifeste déjà très nettement chez les Grecs de l’époque classique ; on n’y rencontre pas encore, il est vrai, de traitement axiomatique de la théorie des entiers naturels (une telle axiomatisation n’apparaîtra qu’à la fin du xixe siècle ; voir p. 38) ; mais, dans les Eléments d’Euclide, nombreux sont les passages donnant des démonstrations formelles de règles de calcul
\* Il ne faut pas oublier que ce n’est qu’avec Viète [319] que s’introduit l’usage de désigner par des lettres tous les éléments (donnés ou inconnus) qui interviennent dans un problème d’Algèbre. Jusque là, les seules équations qui soient résolues dans les traités d’Algèbre sont à coefficients numériques ; lorsque l’auteur énonce une règle générale pour traiter les équations analogues, il le fait (du mieux qu’il peut) en langage ordinaire ; en l’absence d’un énoncé explicite de ce genre, la conduite des calculs dans les cas numériques traités rend plus ou moins vraisemblable la possession d’une telle règle.
tout aussi intuitivement « évidentes » que celles du calcul des entiers (par exemple, la commutativité du produit de deux nombres rationnels). Les plus remarquables des démonstrations de cette nature sont celles qui se rapportent à la théorie des grandeurs, la création la plus originale de la Mathématique grecque (équivalente, comme on sait, à notre théorie des nombres réels ; voir p. 186-187) : Euclide y considère, entre autres, le produit de deux rapports de grandeurs, montre qu’il est indépendant de la forme sous laquelle se présentent ces rapports (premier exemple de « quotient » d’une loi de composition par une relation d’équivalence), et qu’il est commutatif ([107], Livre V, prop. 22-23) *.
Il ne faut pas dissimuler, cependant, que ce progrès vers la rigueur s’accompagne, chez Euclide, d’une stagnation, et même sur certains points d’un recul, en ce qui concerne la technique du calcul algébrique. La prépondérance écrasante de la Géométrie (en vue de laquelle est manifestement conçue la théorie des grandeurs) paralyse tout développement autonome de la notation algébrique : les éléments entrant dans les calculs doivent, à chaque moment, être « représentés » géométriquement ; en outre, les deux lois de composition qui interviennent ne sont pas définies sur le même ensemble (l’addition des rapports n’est pas définie de façon générale, et le produit de deux longueurs n’est pas une longueur, mais une aire) : il en résulte un manque de souplesse qui rend à peu près impraticable le maniement des relations algébriques de degré supérieur au second.
Ce n’est qu’au déclin de la Mathématique grecque classique qu’on voit Diophante revenir à la tradition des « logisticiens » ou calculateurs professionnels, qui avaient continué à appliquer telles quelles les règles héritées des Égyptiens et des Babyloniens : ne s’embarrassant plus de représentations géométriques pour les « nombres » qu’il considère, il est naturellement amené à développer les règles du calcul algébrique abstrait ; par exemple, il donne des règles qui (en langage moderne) équivalent à la formule pour les petites valeurs (positives ou négatives) de et ([91 a], t. I, p. 8-13) ; un peu plus loin (p. 12-13) se trouve énoncée la « règle
\* Euclide ne donne pas à cet endroit, il est vrai, de définition formelle du produit de deux rapports, et celle qui se trouve un peu plus loin dans les Éléments (Livre VI, déf. 5) est considérée comme interpolée : il n’en a pas moins, bien entendu, une conception parfaitement claire de cette opération et de ses propriétés.
des signes », premier germe du calcul sur les nombres négatifs \* ; enfin Diophante utilise, pour la première fois, un symbole littéral pour représenter une inconnue dans une équation. Par contre, il ne semble guère préoccupé de rattacher à des idées générales les méthodes qu’il applique à la résolution de ses problèmes ; quant à la conception axiomatique des lois de composition, telle qu’elle commençait à se faire jour chez Euclide, elle paraît étrangère à la pensée de Diophante comme à celle de ses continuateurs immédiats ; on ne la retrouvera en Algèbre qu’au début du xixe siècle.
Il fallait d’abord, durant les siècles intermédiaires, que d’une part se développât un système de notation algébrique adéquat à l’expression de lois abstraites, et que, d’autre part, la notion de « nombre » reçût un élargissement tel qu’il permit, par l’observation de cas particuliers assez diversifiés, de s’élever à des conceptions générales. À cet égard, la théorie axiomatique des rapports de grandeurs, créée par les Grecs, était insuffisante, car elle ne faisait que préciser la notion intuitive de nombre réel et les opérations sur ces nombres, déjà connues des Babyloniens sous forme plus confuse ; il va s’agir au contraire maintenant de « nombres » dont les Grecs n’avaient pas eu l’idée, et dont, au début, aucune « représentation » sensible ne s’imposait : d’une part, le zéro et les nombres négatifs, qui apparaissent dès le haut Moyen âge dans la Mathématique hindoue ; de l’autre, les nombres imaginaires, création des algébristes italiens du xvie siècle.
Si on met à part le zéro, introduit d’abord comme symbole de numération avant d’être considéré comme un nombre (voir p. 66), le caractère commun de ces extensions est d’être (au début tout au moins) purement « formelles ». Il faut entendre par là que les nouveaux « nombres » apparaissent tout d’abord comme résultats d’opérations appliquées dans des conditions où elles n’ont, en s’en tenant à leur définition stricte, aucun sens (par exemple, la différence de deux entiers naturels lorsque ) : d’où les noms de nombres « faux », « fictifs », « absurdes », « impossibles », « imaginaires », etc., qui leur sont attribués. Pour les Grecs de l’époque classique, épris avant tout de pensée claire, de pareilles extensions étaient inconcevables ; elles ne pouvaient provenir que de calculateurs plus disposés que ne l’étaient les Grecs à accorder une con-
\* Diophante ne connaît pas les nombres négatifs ; cette règle ne peut donc s’interpréter que comme se rapportant au calcul des polynômes, et permettant de « développer » des produits tels que .
fiance quelque peu mystique à la puissance de leurs méthodes (« la généralité de l’Analyse », comme dira le xviiie siècle), et à se laisser entraîner par le mécanisme de leurs calculs sans en vérifier à chaque pas le bien-fondé ; confiance d’ailleurs justifiée le plus souvent , par les résultats exacts auxquels conduisait l’extension, à ces nouveaux êtres mathématiques, de règles de calcul valables uniquement, en toute rigueur, pour les nombres antérieurement connus. C’est ce qui explique comment on s’enhardit peu à peu à considérer pour elles-mêmes (indépendamment de toute application à des calculs concrets), ces généralisations de la notion de nombre, qui, au début, n’intervenaient qu’à titre d’intermédiaires dans une suite d’opérations dont le point de départ et l’aboutissement étaient de véritables « nombres » ; une fois ce pas franchi, on commence à rechercher des interprétations, plus ou moins tangibles, des entités nouvelles qui acquièrent ainsi droit de cité dans la Mathématique *.
A cet égard, les Hindous sont déjà conscients de l’interprétation que doivent recevoir les nombres négatifs dans certains cas (une dette dans un problème commercial, par exemple). Aux siècles suivants, à mesure que se diffusent en Occident (par l’intermédiaire des Arabes) les méthodes et les résultats des mathématiques grecque et hindoue, on se familiarise davantage avec le maniement de ces nombres, et on commence à en avoir d’autres « représentations » de caractère géométrique ou cinématique. C’est d’ailleurs là, avec une amélioration progressive de la notation algébrique, le seul progrès notable en Algèbre pendant la fin du Moyen âge.
Au début du xvie siècle, l’Algèbre connaît un nouvel essor, grâce à la découverte, par les mathématiciens de l’école italienne, de la résolution « par radicaux » de l’équation du 3e, puis celle du 4e degré (voir p. 96-97) ; c’est à cette occasion que, malgré leurs répugnances, ils se trouvent pour ainsi dire contraints d’introduire dans leurs calculs les imaginaires ; peu à peu, d’ailleurs, la confiance naît dans le calcul de ces nombres « impossibles », comme dans celui des nombres négatifs, et bien qu’ici aucune « représentation » n’en ait été imaginée pendant plus de deux siècles.
\* Cette recherche n’a d’ailleurs constitué qu’un stade transitoire dans l’évolution des notions dont il s’agit ; dès le milieu du xixe siècle, on est revenu, de façon pleinement consciente cette fois, à une conception formelle des diverses extensions de la notion de nombre, conception qui a fini par s’intégrer dans le point de vue « formaliste » et axiomatique, qui domine l’ensemble des mathématiques modernes.
D’autre part, la notation algébrique reçoit ses perfectionnements décisifs de Viète et de Descartes ; à partir de ce dernier, l’écriture algébrique est déjà, à peu de choses près, celle que nous utilisons aujourd’hui.
Du milieu du XVIIe à la fin du XVIIIe siècle, il semble que les vastes horizons ouverts par la création du Calcul infinitésimal fassent quelque peu négliger l’Algèbre en général, et singulièrement la réflexion mathématique sur les lois de composition, ou sur la nature des nombres réels et complexes *. C’est ainsi que la composition des forces et la composition des vitesses, bien connues en Mécanique dès la fin du XVIIe siècle, n’exercèrent aucune répercussion sur l’Algèbre, bien qu’elles renfermassent déjà en germe le calcul vectoriel. Il faut attendre en effet le mouvement d’idées qui, aux environs de 1800, conduit à la représentation géométrique des nombres complexes (voir p. 200), pour voir utiliser, en Mathématiques pures, l’addition des vecteurs **.
C’est vers cette même époque que, pour la première fois en Algèbre, la notion de loi de composition s’étend, dans deux directions différentes, à des éléments qui ne présentent plus avec les « nombres » (au sens le plus large donné jusque-là à ce mot) que des analogies lointaines. La première de ces extensions est due à C. F. Gauss, à l’occasion de ses recherches arithmétiques sur les formes quadratiques à coefficients entiers. Lagrange avait défini, dans l’ensemble des formes de même discriminant, une relation d’équivalence ***, et avait, d’autre part, démontré une identité qui fournissait, dans cet ensemble, une loi de composition commutative (non partout définie) ; partant de ces résultats, Gauss montre que cette loi est compatible avec une relation d’équivalence un peu différente ([124a], t. I, p. 272) : « On voit par là », dit-il alors, « ce qu’on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes ».
Il procède ensuite à l’étude de la loi « quotient » qu’il vient ainsi de définir, établit en substance que c’est (en langage moderne) une loi de groupe abélien, et ce par des raisonnements dont la généralité dépasse de loin, le plus souvent, le cas spécial que Gauss envisage (par exemple, le raisonnement par lequel il prouve l’unicité de l’élément symétrique s’applique à une loi de composition quelconque (ibid., p. 273)). Mais il ne s’arrête pas là : revenant un peu plus loin sur la question, il reconnaît l’analogie entre la composition des classes et la multiplication des entiers modulo un nombre premier \* (ibid., p. 371), mais constate aussi que le groupe des classes de formes quadratiques de discriminant donné n’est pas toujours un groupe cyclique : les indications qu’il donne à ce sujet donnent à penser qu’il avait peut-être reconnu, au moins sur ce cas particulier, la structure générale des groupes abéliens finis ([124 a], t. I, p. 374 et t. II, p. 266).
L’autre série de recherches dont nous voulons parler aboutit, elle aussi, à la notion de groupe. pour l’introduire de façon définitive en Mathématique : c’est la « théorie des substitutions », développement des idées de Lagrange, Vandermonde et Gauss sur la résolution des équations algébriques. Nous n’avons pas à faire ici l’historique détaillé de cette question (voir p. 99-103) ; il nous faut en retenir la définition par Ruffini [265], puis Cauchy ([56 a], (2), t. I, p. 64), du « produit » de deux permutations d’un ensemble fini **, et des premières notions concernant les groupes finis de permutations : transivité, primitivité, élément neutre, éléments permutables, etc. Mais ces premières recherches restent, dans l’ensemble, assez superficielles, et c’est Evariste Galois qui doit être considéré comme
\* Il est tout à fait remarquable que Gauss note additivement la composition des classes de formes quadratiques, malgré l’analogie qu’il signale lui-même, et malgré le fait que l’identité de Lagrange, qui définit la composée de deux formes, suggère beaucoup plus naturellement la notation multiplicative (à laquelle sont d’ailleurs revenus tous les successeurs de Gauss). Il faut voir dans cette indifférence en matière de notation un témoignage de plus de la généralité à laquelle Gauss était certainement parvenu dans ses conceptions relatives aux lois de composition. Il ne bornait d’ailleurs pas ses vues aux lois commutatives, comme le montre un fragment non publié de son vivant, mais datant des années 1819-1820, où il donne, plus de vingt ans avant Hamilton, les formules de multiplication des quaternions ([124 a], t. VIII, p. 357). ** La notion de fonction composée était naturellement connue bien antérieurement, tout au moins pour les fonctions de variables réelles ou complexes; mais l’aspect algébrique de cette loi de composition, et le lien avec le produit de deux permutations, ne sont mis en lumière que par les travaux d’Abel ([1], t. I, p. 478) et de Galois.
le véritable initiateur de la théorie : ayant, dans ses mémorables travaux [123], ramené l’étude des équations algébriques à celle des groupes de permutations qu’il leur associe, il approfondit considérablement cette dernière, tant en ce qui concerne les propriétés générales des groupes (c’est Galois qui définit le premier la notion de sous-groupe distingué et en reconnaît l’importance), que la détermination de groupes possédant des propriétés particulières (où les résultats qu’il obtient comptent encore aujourd’hui parmi les plus subtils de la théorie). C’est aussi à Galois que revient la première idée de la « représentation linéaire des groupes » *, et ce fait prouve clairement qu’il était en possession de la notion d’isomorphie de deux structures de groupe, indépendamment de leurs « réalisations ».
Toutefois, s’il paraît incontestable que les méthodes géniales de Gauss et de Galois les avaient amenés à une conception très large de la notion de loi de composition, ils n’eurent pas l’occasion de développer particulièrement leurs idées sur ce point, et leurs travaux n’eurent pas d’action immédiate sur l’évolution de l’Algèbre abstraite . C’est dans une troisième direction que se font les progrès les plus nets vers l’abstraction : à la suite de réflexions sur la nature des imaginaires (dont la représentation géométrique avait suscité, au début du xixe siècle, d’assez nombreux travaux), les algébristes de l’école anglaise dégagent les premiers, de 1830 à 1850, la notion abstraite de loi de composition, et élargissent immédiatement le champ de l’Algèbre en appliquant cette notion à une foule d’êtres mathématiques nouveaux : algèbre de la Logique avec Boole (voir p. 18), vecteurs, quaternions et systèmes hypercomplexes généraux avec Hamilton [145 a], matrices et lois non associatives avec Cayley ([58], t. I, p. 127 et 301, et t. II, p. 185 et 475). Une évolution parallèle se poursuit indépendamment sur le Continent, notamment en ce qui concerne le Calcul vectoriel (Möbius, Bellavitis), l’Algèbre linéaire et les systèmes hypercomplexes (Grassmann) (voir p. 84-86) *.
\* C’est à cette occasion que Galois, par une extension hardie du « formalisme » qui avait conduit aux nombres complexes, considère des « racines imaginaires » d’une congruence modulo un nombre premier, et découvre ainsi les corps finis (voir p. 108). Ceux de Galois restèrent d’ailleurs ignorés jusqu’en 1846, et ceux de Gauss n’exercèrent une influence directe qu’en Théorie des Nombres. * Les principales théories développées au cours de cette période se trouvent remarquablement exposées dans l’ouvrage contemporain de H. Hankel [146], où la notion abstraite de loi de composition est conçue et présentée avec une parfaite netteté.
De tout ce bouillonnement d’idées originales et fécondes qui vient revivifier l’Algèbre dans la première moitié du XIXe siècle, celle-ci sort renouvelée jusque dans ses tendances. Auparavant, méthodes et résultats gravitaient autour du problème central de la résolution des équations algébriques (ou des équations diophantiennes en Théorie des Nombres) : « l’Algèbre », dit Serret dans l’Introduction de son Cours d’Algèbre supérieure [284], « est, à proprement parler, l’Analyse des équations ». Après 1850, si les traités d’Algèbre laissent encore pendant longtemps la prééminence à la théorie des équations, les recherches nouvelles ne sont plus dominées par le souci d’applications immédiates à la résolution des équations numériques, et s’orientent de plus en plus vers ce que nous considérons aujourd’hui comme le problème essentiel de l’Algèbre, l’étude des structures algébriques pour elles-mêmes.
Ces travaux se répartissent assez nettement en trois courants, qui prolongent respectivement les trois mouvements d’idées que nous avons analysés ci-dessus, et se poursuivent parallèlement sans influences réciproques sensibles jusqu’à dans les dernières années du XIXe siècle *.
C’est d’abord l’édification, par l’école allemande du XIXe siècle (Dirichlet, Kummer, Kronecker, Dedekind, Hilbert) de la théorie des nombres algébriques, issue de l’œuvre de Gauss, à qui est due la première étude de ce genre, celle des nombres ( et rationnels). Nous n’avons pas à suivre ici l’évolution de cette théorie : il nous faut seulement relever, pour notre objet, les notions algébriques abstraites qui s’y font jour. Dès les premiers successeurs de Gauss, l’idée de corps (de nombres algébriques) est à la base de tous les travaux sur la question (comme aussi des recherches d’Abel et de Galois sur les équations algébriques) ; son champ d’application s’agrandit lorsque Dedekind et Weber [80] calquent la théorie des fonctions algébriques d’une variable sur celle des nombres algébriques. C’est à Dedekind aussi ([79], t. III, p. 251) qu’est due l’introduction de la notion d’idéal, qui fournit un nouvel exemple de loi de composition entre ensembles d’éléments ; à lui et à Kronecker remonte le rôle de
\* Nous laissons ici volontairement de côté tout ce qui concerne, pendant cette période, l’évolution de la géométrie algébrique, et de la théorie des invariants, qui lui est étroitement liée ; ces deux théories se développent suivant leurs méthodes propres, orientées vers l’Analyse autant que vers l’Algèbre, et ce n’est qu’à une époque récente qu’elles ont trouvé leur place dans le vaste édifice de l’Algèbre moderne.
plus en plus grand joué par les groupes abéliens et les modules dans la théorie des corps algébriques ; nous y reviendrons plus loin (voir p. 86-87 et 120-130).
Nous renvoyons aussi à plus tard l’historique du développement de l’Algèbre linéaire (p. 78) et des systèmes hypercomplexes (p. 149), qui se poursuit sans introduire de notion algébrique nouvelle pendant la fin du xixe et le début du xxe siècle, en Angleterre (Sylvester, W. Clifford) et en Amérique (B. et C. S. Peirce, Dickson, Wedderburn) suivant la voie tracée par Hamilton et Cayley, en Allemagne (Weierstrass, Dedekind, Frobenius, Molien) et en France (Laguerre, E. Cartan) d’une manière indépendante des Anglo-Saxons, et en suivant des méthodes assez différentes.
Quant à la théorie des groupes, c’est surtout sous l’aspect de la théorie des groupes finis de permutations qu’elle se développe d’abord, à la suite de la publication des œuvres de Galois et de leur diffusion par les ouvrages de Serret [284], et surtout le grand « Traité des Substitutions » de C. Jordan [174 a]. Ce dernier y résume, en les perfectionnant beaucoup, les travaux de ses prédécesseurs sur les propriétés particulières aux groupes de permutations (transitivité, primitivité, etc), obtenant des résultats dont la plupart n’ont guère été dépassés depuis ; il étudie également, de façon approfondie, des groupes particuliers fort importants, les groupes linéaires et leurs sous-groupes (voir p. 174) ; en outre, c’est lui qui introduit la notion fondamentale de représentation d’un groupe sur un autre, ainsi que (un peu plus tard) celle de groupe quotient, et qui démontre une partie du théorème connu sous le nom de « théorème de Jordan-Hölder » *. C’est enfin à Jordan que remonte la première étude des groupes infinis [174 b], que S. Lie d’une part, F. Klein et H. Poincaré de l’autre, devaient considérablement développer, dans deux directions différentes, quelques années plus tard.
Entre temps, on s’était peu à peu rendu compte que ce qui est essentiel dans un groupe, c’est sa loi de composition et non la nature des objets constituant le groupe (voir par exemple [58], t. II, p. 123 et 131 et [79], t. III, p. 439). Toutefois, même les recherches sur les groupes abstraits finis sont encore pendant longtemps conçues comme études de groupes de permutations, et ce n’est que vers 1880 que commence
\* Jordan n’avait établi que l’invariance (à l’ordre près) des ordres des groupes quotients d’une « suite de Jordan-Hölder » pour un groupe fini ; c’est O. Hölder qui montra que les groupes quotients eux-mêmes étaient (à l’ordre près) indépendants de la suite considérée [165].
à se développer consciemment la théorie autonome des groupes finis. Nous ne pouvons poursuivre plus loin l’historique de cette théorie; bornons-nous à mentionner deux des outils qui aujourd’hui encore sont parmi les plus utilisés dans l’étude des groupes finis, et qui tous deux remontent au xixe siècle : les théorèmes de Sylow \* sur les -groupes, qui datent de 1872 [303] et la théorie des caractères, créée dans les dernières années du siècle par Frobenius ([119], t. III, p. 1-37). Nous renvoyons le lecteur désireux d’approfondir la théorie des groupes finis et les nombreux et difficiles problèmes qu’elle soulève, aux monographies [44 b], [131], [291] et [341].
C’est vers 1880 aussi qu’on commence à étudier systématiquement les présentations des groupes ; auparavant, on n’avait rencontré que des présentations de groupes particuliers, par exemple pour le groupe alterné dans un travail de Hamilton [145 b], ou pour les groupes de monodromie des équations différentielles et des surfaces de Riemann (Schwarz, Klein, Schlafli). W. Dyck le premier [97] définit (sans lui donner encore de nom) le groupe libre engendré par un nombre fini de générateurs, mais s’y intéresse moins pour lui-même qu’en tant qu’objet « universel » permettant de définir de façon précise ce qu’est un groupe donné « par générateurs et relations ». Développant une idée d’abord émise par Cayley, et visiblement influencé par ailleurs par les travaux de l’école de Riemann mentionnés ci-dessus, Dyck décrit une interprétation d’un groupe de présentation donnée, où chaque générateur est représenté par un produit de deux inversions par rapport à des cercles tangents ou sécants (voir aussi [44 b], chap. XVIII). Un peu plus tard, après le développement de la théorie des fonctions automorphes par Poincaré et ses successeurs, puis l’introduction par Poincaré des outils de la Topologie algébrique, les premières études du groupe fondamental iront de pair avec celles des présentations de groupes (Dehn, Tietze), les deux théories se prêtant un mutuel appui. C’est d’ailleurs un topologue, J. Nielsen, qui en 1924 introduit la terminologie de groupe libre dans la première étude approfondie de ses propriétés [234]; presque aussitôt après E. Artin (toujours à propos de questions de topologie) introduit la notion de produit libre de groupes, et
\* L’existence d’un sous-groupe d’ordre dans un groupe fini dont l’ordre est divisible par est mentionnée sans démonstration dans les papiers de Galois ([123], p. 72).
O. Schreier définit plus généralement le produit libre avec sous-groupes amalgamés. Ici encore, nous ne pouvons aborder l’histoire des développements ultérieurs dans cette direction, renvoyant à l’ouvrage [216] pour plus de détails.
Ce n’est pas davantage le lieu de parler de l’extraordinaire fortune que connaît, depuis la fin du xixe siècle, l’idée de groupe (et celle d’invariant, qui lui est intimement liée) en Analyse, en Géométric, en Mécanique et en Physique théorique. C’est par un envahissement analogue de cette notion, et des notions algébriques qui lui sont apparentées (groupes à opérateurs, anneaux, idéaux, modules) dans les parties de l’Algèbre qui paraissaient jusqu’alors assez éloignées de leur domaine propre, que se marque la dernière période de l’évolution que nous retraçons ici, et qui aboutit à la synthèse des trois tendances que nous avons suivies ci-dessus. Cette unification est surtout l’œuvre de l’école allemande moderne : commencé avec Dedekind et Hilbert dans les dernières années du xixe siècle, le travail d’axiomatisation de l’Algèbre a été vigoureusement poursuivi par E. Steinitz [294 a], puis, à partir de 1920, sous l’impulsion d’E. Artin, E. Noether et des algébristes de leurs écoles (Hasse, Krull, O. Schreier, van der Waerden). Le traité de van der Waerden [317 a], publié en 1930, a réuni pour la première fois ces travaux en un exposé d’ensemble, ouvrant la voie et servant de guide aux multiples recherches d’Algèbre abstraite ultérieures.