4. Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire

L’algèbre linéaire est à la fois l’une des plus anciennes branches des mathématiques, et l’une des plus nouvelles. D’une part, on trouve à l’origine des mathématiques les problèmes qui se résolvent par une seule multiplication ou division, c’est-à-dire par le calcul d’une valeur d’une fonction $f(x) = ax$, ou par la résolution d’une équation $ax = b$ : ce sont là des problèmes typiques d’algèbre linéaire, et il n’est pas possible de les traiter, ni même de les poser correctement, sans « penser linéairement ».

D’autre part, non seulement ces questions, mais presque tout ce qui touche aux équations du premier degré, avait depuis longtemps été relégué dans l’enseignement élémentaire, lorsque le développement moderne des notions de corps, d’anneau, d’espace vectoriel topologique, etc..., est venu dégager et mettre en valeur des notions essentielles d’algèbre linéaire (par exemple la dualité) ; c’est alors qu’on s’est aperçu du caractère essentiellement linéaire de presque toute l’algèbre moderne, dont cette « linéarisation » est même l’un des traits marquants, et qu’on a rendu à l’algèbre linéaire la place qui lui revient. En faire l’histoire, du point de vue où nous nous plaçons, serait donc une tâche aussi importante que difficile ; et nous devrons nous contenter ici d’indications assez sommaires.

De ce qui précède, il résulte que l’algèbre linéaire a sans doute pris naissance pour répondre aux besoins de praticiens calculateurs ; c’est ainsi que nous voyons la règle de trois ([311], t. I, p. 150-155) et la règle de fausse position, plus ou moins clairement énoncées, jouer un rôle important dans tous les manuels d’arithmétique pratique, depuis le papyrus Rhind des Égyptiens jusqu’à ceux qui sont en honneur dans nos écoles primaires, en passant par Aryabhata, les Arabes, Léonard de Pise et les innombrables « livres de calcul » du

Moyen âge et de la Renaissance ; mais elles n’ont peut-être jamais constitué autre chose qu’un extrait, à l’usage des praticiens, de théories scientifiques plus avancées.

Quant aux mathématiciens proprement dits, la nature de leurs recherches sur l’algèbre linéaire est fonction de la structure générale de leur science. La mathématique grecque ancienne, telle qu’elle est exposée dans les Eléments d’Euclide, a développé deux théories abstraites de caractère linéaire, d’une part celle des grandeurs ([107], livre V ; cf. p. 191), d’autre part celle des entiers ([107], livre VII). Chez les Babyloniens, nous trouvons des méthodes beaucoup plus voisines de notre algèbre élémentaire ; ils savent résoudre, et d’une manière fort élégante ([232], p. 181-183) des systèmes d’équations du premier degré. Pendant fort longtemps, néanmoins, les progrès de l’algèbre linéaire tiennent surtout à ceux du calcul algébrique, et c’est sous cet aspect, étranger à la présente Note, qu’il convient de les considérer; pour ramener, en effet, un système linéaire à une équation du type $ax = b$, il suffit, s’il s’agit d’une seule inconnue, de connaître les règles (déjà, en substance, énoncées par Diophante) par lesquelles on peut faire passer des termes d’un membre dans l’autre, et combiner les termes semblables ; et, s’il s’agit de plusieurs inconnues, il suffit de savoir de plus les éliminer successivement jusqu’à n’en avoir plus qu’une. Aussi les Traités d’algèbre, jusqu’au xviiie siècle, pensent-ils avoir tout fait, en ce qui concerne le premier degré, dès qu’ils ont exposé ces règles ; quant à un système à autant d’équations que d’inconnues (ils n’en considèrent pas d’autres) où les premiers membres ne seraient pas des formes linéairement indépendantes, ils se contentent invariablement d’observer en passant que cela indique un problème mal posé. Dans les traités du xixe siècle, et même certains ouvrages plus récents, ce point de vue ne s’est modifié que par les progrès de la notation, qui permettent d’écrire des systèmes de $n$ équations à $n$ inconnues, et par l’introduction des déterminants, qui permettent d’en donner des formules de résolution explicite dans le « cas général » ; ces progrès, dont le mérite appartiendrait à Leibniz ([198 a], t. I, p. 239) s’il avait développé et publié ses idées à ce sujet, sont dus principalement aux mathématiciens du xviiie et du début du xixe siècle.

Mais il nous faut d’abord examiner divers courants d’idées qui, beaucoup plus que l’étude des systèmes d’équations linéaires, ont contribué au développement de l’algèbre linéaire au sens où nous l’entendons. Inspiré par l’étude d’Apollonius, Fermat ([109], t. I, p. 91-110 ; trad. française, t. III, p. 85-101), conçoit, avant même Descartes ([85 a], t. VI), le principe de la géométrie analytique, à l’idée de la classification des courbes planes suivant leur degré (qui, devenue peu à peu familière à tous les mathématiciens, peut être considérée comme définitivement acquise vers la fin du xviiie siècle), et pose le principe fondamental qu’une équation du premier degré, dans le plan, représente une droite, et une équation du second degré une conique : principe dont il déduit aussitôt de « très belles » conséquences relatives à des lieux géométriques. En même temps, il énonce ([109], t. I, p. 184-188 ; trad. française, t. III, p. 159-163) la classification des problèmes en problèmes déterminés, problèmes qui se ramènent à une équation à deux inconnues, à une équation à trois inconnues, etc. ; et il ajoute : les premiers consistent en la détermination d’un point, les seconds d’une ligne ou lieu plan, les suivants d’une surface; etc. (« ...un tel problème ne recherche pas un point seulement, ou une ligne, mais toute une surface propre à la question ; c’est de là que naissent les lieux superficiels, et de même pour les suivants », loc. cit., p. 186 ; là déjà se trouve le germe de la géométrie à n dimensions). Cet écrit, posant le principe de la dimension en algèbre et en géométrie algébrique, indique une fusion de l’algèbre et de la géométrie, absolument conforme aux idées modernes, mais qui, on l’a déjà vu, mit plus de deux siècles à pénétrer dans les esprits.

Du moins ces idées aboutissent-elles bientôt à l’épanouissement de la géométrie analytique, qui prend toute son ampleur au xviiiie siècle avec Clairaut, Euler, Cramer, Lagrange et bien d’autres. Le caractère linéaire des formules de transformation de coordonnées dans le plan et dans l’espace, qui n’a pu manquer d’être aperçu déjà par Fermat, est mis en relief par exemple par Euler ([108a], (1), t. IX, chap. II-III, et Append. chap. IV), qui fonde là-dessus la classification des lignes planes, et celle des surfaces, suivant leur degré (invariant justement en raison de la linéarité de ces formules) ; c’est lui aussi (loc. cit., chap. XVIII) qui introduit le mot d’« affinité », pour désigner la relation entre courbes qui peuvent se déduire l’une de l’autre par une transformation $x' = ax, y' = by$ (mais sans apercevoir rien de géométriquement invariant dans cette définition qui reste attachée à un choix d’axes particulier). Un peu plus tard, nous voyons Lagrange ([191], t. III, p. 661-692) consacrer tout un mémoire, qui longtemps resta justement célèbre, à des problèmes typiquement linéaires et multilinéaires de géométrie analytique à trois dimensions. C’est vers la même époque, à propos du problème linéaire constitué par la recherche d'une courbe plane passant par des points donnés, que prend corps, d'abord d'une manière en quelque sorte empirique, la notion de déterminant, avec Cramer [72] et Bézout [21]; développée ensuite par plusieurs auteurs, cette notion et ses propriétés essentielles sont définitivement mises au point par Cauchy ([56 a], (2), t. I, p. 91-169) et Jacobi ([171], t. III, p. 355-392).

D'autre part, tandis que les mathématiciens avaient quelque peu tendance à dédaigner les équations du premier degré, la résolution des équations différentielles constituait au contraire un problème capital; il était naturel que, parmi ces équations, on distinguât de bonne heure les équations linéaires, à coefficients constants ou non, et que leur étude contribuât à mettre en valeur la linéarité et ce qui s'y rattache. C'est bien ce qu'on aperçoit chez d'Alembert [75 c], Lagrange ([191], t. I, p. 471-668) et Euler ([108 a], (1), t. XII); mais seul le premier juge utile de dire que la solution générale de l'équation non homogène est somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène correspondante; en outre, lorsque ces auteurs énoncent que la solution générale de l'équation linéaire homogène d'ordre $n$ est combinaison linéaire de $n$ solutions particulières, ils n'ajoutent pas que celles-ci doivent être linéairement indépendantes, et ne font aucun effort pour expliciter cette dernière notion; sur ce point comme sur tant d'autres, c'est seulement, semble-t-il, l'enseignement de Cauchy à l'École Polytechnique qui jettera de la clarté ([56 b], pp. 573-574). Mais déjà Lagrange (loc. cit.) introduit aussi (purement par le calcul, il est vrai, et sans lui donner de nom) l'équation adjointe $L^*(y) = 0$ d'une équation différentielle linéaire $L(y) = 0$, exemple typique de dualité en vertu de la relation

valable pour $y$ et $z$ s'annulant aux extrémités de l'intervalle d'intégration; plus précisément, et 30 ans avant que Gauss ne définît explicitement la transposée d'une substitution linéaire à 3 variables, nous voyons là le premier exemple sans doute d'un « opérateur fonctionnel » $L^*$ transposé ou « adjoint » d'un opérateur $L$ donné au moyen d'une fonction bilinéaire (ici l'intégrale $\int yzdx$).

En même temps, et avec Lagrange aussi ([191], t. III, p. 695-795), les substitutions linéaires, à 2 et 3 variables tout d'abord, étaient en passe de conquérir l'arithmétique. Il est clair que l'ensemble des valeurs d'une fonction F(x,y), lorsqu'on donne à x et y toutes les valeurs entières, ne change pas lorsqu'on fait sur x, y une substitution linéaire quelconque, à coefficients entiers, de déterminant 1 ; c'est sur cette observation fondamentale que Lagrange fonde la théorie de la représentation des nombres par les formes, et celle de la réduction des formes ; et Gauss, par un pas dont il nous est devenu difficile d'apprécier toute la hardiesse, en dégage la notion d'équivalence et celle de classe de formes (cf. p. 72) ; à ce propos, il reconnaît la nécessité de quelques principes élémentaires relatifs aux substitutions linéaires, et introduit en particulier la notion de transposée ou d'adjointe ([124 a], t. I, p. 304). A partir de ce moment, l'étude arithmétique et l'étude algébrique des formes quadratiques, à 2, 3 et plus tard n variables, celle des formes bilinéaires qui leur sont étroitement liées, et plus récemment la généralisation de ces notions à une infinité de variables, devaient, jusqu'à notre époque, constituer l'une des plus fécondes sources de progrès pour l'algèbre linéaire (cf. p. 172-174).

Mais, progrès encore plus décisif peut-être, Gauss, dans ces mêmes Disquisitiones, créait (cf. p. 72) la théorie des groupes abéliens finis, qui y interviennent de quatre manières différentes, par le groupe additif des entiers modulo m (pour m entier), par le groupe multiplicatif des nombres premiers à m modulo m, par le groupe des classes de formes quadratiques binaires, enfin par le groupe multiplicatif des racines m-èmes de l'unité ; et, comme nous l'avons déjà marqué, c'est clairement comme groupes abéliens, ou pour mieux dire comme modules sur $\mathbf{Z}$, que Gauss traite de tous ces groupes, étudie leur structure, leurs relations d'isomorphisme, etc. Dans le module des « entiers complexes » $a + b i$, on le voit plus tard étudier un module infini sur $\mathbf{Z}$, dont il n'a pas manqué sans doute d'apercevoir l'isomorphisme avec le module des périodes (découvertes par lui dans le domaine complexe) des fonctions elliptiques ; en tout cas cette idée apparaît déjà nettement chez Jacobi, par exemple dans sa célèbre démonstration de l'impossibilité d'une fonction à 3 périodes et dans ses vues sur le problème d'inversion des intégrales abéliennes ([171], t. II, p. 25-50), pour aboutir bientôt aux théorèmes de Kronecker ([186 a], t. III_1, p. 49-109).

Ici, aux courants dont nous avons cherché à suivre le tracé et parfois les méandres, vient s'en mêler un autre, qui était longtemps demeuré souterrain. Comme il sera ailleurs exposé plus en détail (voir p. 165), la géométrie « pure » au sens où on l'a comprise durant, le siècle dernier, c’est-à-dire essentiellement la géométrie projective du plan et de l’espace sans usage de coordonnées, avait été créée au xviie siècle par Desargues [84], dont les idées, appréciées à leur juste valeur par un Fermat, mises en œuvre par un Pascal, étaient ensuite tombées dans l’oubli, éclipsées par les brillants progrès de la géométrie analytique ; elle est remise en honneur vers la fin du xviiie siècle, par Monge, puis Poncelet et ses émules, Brianchon, Chasles, parfois séparée complètement et volontairement des méthodes analytiques, parfois (surtout en Allemagne) s’y mêlant intimement. Or les transformations projectives, de quelque point de vue qu’on les considère (synthétique ou analytique), ne sont pas autre chose bien entendu que des substitutions linéaires sur les coordonnées projectives ou « barycentriques » ; les coniques (au xviie siècle), et plus tard les quadriques, dont la théorie projective a longtemps fait le sujet d’étude principal de cette école, ne sont autres que les formes quadratiques, dont nous avons déjà signalé plus haut l’étroite connexion avec l’algèbre linéaire. À ces notions se joint celle de polarité : créée, elle aussi, par Desargues, la théorie des pôles et polaires devient, entre les mains de Monge et de ses successeurs, et bientôt sous le nom de principe de dualité, un puissant instrument de transformation des théorèmes géométriques ; si l’on n’ose affirmer que ses rapports avec les équations différentielles adjointes aient été aperçus sinon tardivement (ils sont indiqués par Pincherle à la fin du siècle), on n’a pas manqué du moins, Chasles en porte le témoignage ([60 b], p. 55), d’apercevoir sa parenté avec la notion de triangles sphériques réciproques, introduite en trigonométrie sphérique par Viète ([319], p. 418) et Snellius dès le xvie siècle. Mais la dualité en géométrie projective n’est qu’un aspect de la dualité des espaces vectoriels, compte tenu des modifications qu’impose le passage de l’espace affine à l’espace projectif (qui en est un espace quotient, par la relation « multiplication scalaire »).

Le xixe siècle, plus qu’aucune époque de notre histoire, a été riche en mathématiciens de premier ordre ; et il est difficile en quelques pages, même en se bornant aux traits les plus saillants, de décrire tout ce que la fusion de ces mouvements d’idées vient produire entre leurs mains. Entre les méthodes purement synthétiques d’une part, espèce de lit de Procuste où se mettent eux-mêmes à la torture leurs adeptes orthodoxes, et les méthodes analytiques liées à un système de coordonnées arbitrairement infligé à l’espace, on sent bientôt le besoin d’une espèce de calcul géométrique, rêvé mais non créé par

Leibniz, imparfaitement ébauché par Carnot [51] : c’est d’abord l’addition des vecteurs qui apparaît, implicite chez Gauss dans sa représentation géométrique des imaginaires et l’application qu’il en fait à la géométrie élémentaire (cf. p. 201), développée par Bellavitis sous le nom de « méthode des équipollences », et qui prend sa forme définitive chez Grassmann, Möbius, Hamilton ; en même temps, sous le nom de « calcul barycentrique », Möbius en donne une version adaptée aux besoins de la géométrie projective ([223], t. I).

A la même époque, et parmi les mêmes hommes, s’effectue le passage, si naturel (dès qu’on est engagé dans cette voie) que nous l’avons vu annoncé déjà par Fermat, du plan et de l’espace « ordinaire » à l’espace à $n$ dimensions ; passage inévitable même, puisque les phénomènes algébriques, qui pour deux ou trois variables s’interprètent comme d’eux-mêmes en termes géométriques, subsistent

is changement pour des variables en nombre quelconque ; s’imposer donc, dans l’emploi du langage géométrique, la limitation à 2 ou 3 dimensions, serait pour le mathématicien moderne un joug aussi incommode que celui qui empêcha toujours les Grecs d’étendre la notion de nombre aux rapports de grandeurs incommensurables. Aussi le langage et les idées relatifs à l’espace à $n$ dimensions apparaissent-ils à peu près simultanément de tous côtés, obscurément chez Gauss, clairement chez les mathématiciens de la génération suivante ; et leur plus ou moins grande hardiesse à s’en servir a moins tenu peut-être à leurs penchants mathématiques qu’à des vues philosophiques ou même purement pratiques. En tout cas, Cayley et Grassmann, vers 1846, manient ces concepts avec la plus grande aisance (et cela, dit Cayley à la différence de Grassmann ([58], t. I, p. 321), « sans recourir à aucune notion métaphysiques ») ; chez Cayley, on reste constamment très près de l’interprétation analytique et des coordonnées, tandis que chez Grassmann c’est dès l’abord, avec l’addition des vecteurs dans l’espace à $n$ dimensions, l’aspect géométrique qui prend le dessus, pour aboutir aux développements dont nous allons parler dans un moment.

Cependant, l’impulsion venue de Gauss poussait, de deux manières différentes, les mathématiciens vers l’étude des algèbres ou systèmes hypercomplexes. D’une part, on ne pouvait manquer de chercher à étendre le domaine des nombres réels autrement que par l’introduction de l’« unité imaginaire » $i = \sqrt{-1}$, et à s’ouvrir peut-être ainsi des domaines plus vastes et aussi féconds que celui des nombres complexes. Gauss lui-même s’était convaincu ([/24 a], t. II, p. 178) de l’impossibilité d’une telle extension, tant du moins qu’on cherche à conserver les principales propriétés des nombres complexes, c’est-à-dire, en langage moderne, celles qui en font un corps commutatif ; et, soit sous son influence, soit indépendamment, ses contemporains semblent avoir partagé cette conviction, qui ne sera justifiée que bien plus tard par Weierstrass ([329 a], t. II, p. 311-332) dans un théorème précis. Mais, dès qu’on interprète la multiplication des nombres complexes par des rotations dans le plan, on est amené, si on se propose d’étendre cette idée à l’espace, à envisager (puisque les rotations dans l’espace forment un groupe non abélien) des multiplications non commutatives ; c’est là une des idées qui guident Hamilton* dans sa découverte des quaternions [145 a], premier exemple d’un corps non commutatif. La singularité de cet exemple (le seul, comme Frobenius devait le démontrer plus tard, qu’on puisse construire sur le corps des réels) en restreint quelque peu la portée, en dépit ou peut-être à cause même de la formation d’une école de « quaternionistes » fanatiques : phénomène étrange, qui se reproduit plus tard autour de l’œuvre de Grassmann, puis des vulgarisateurs qui tirent de Hamilton et Grassmann ce qu’on a appelé le « calcul vectoriel ». L’abandon un peu plus tard de l’associativité, par Graves et Cayley qui construisent les « nombres de Cayley », n’ouvre pas de voie intéressante. Mais, après que Sylvester eut introduit les matrices, et (sans lui donner de nom) en eut clairement défini le rang ([304], t. I, p. 145-151), c’est encore Cayley ([58], t. II, p. 475-496) qui en crée le calcul, non sans observer (fait essentiel, souvent perdu de vue par la suite) qu’une matrice n’est qu’une notation abrégée pour une substitution linéaire, de même en somme que Gauss notait $(a, b, c)$ la forme $aX^2 + 2bXY + cY^2$. Il n’y a là d’ailleurs que l’un des aspects, le plus intéressant pour nous sans doute, de l’abondante production de Sylvester et Cayley sur les déterminants et tout ce qui s’y rattache, production hérissee d’ingénieuses identités et d’impressionnants calculs.

C’est aussi (entre autres choses) une algèbre sur les réels que découvre Grassmann, l’algèbre extérieure à laquelle son nom reste attaché. Son œuvre, antérieure même à celle de Hamilton ([134], t. I₁), créée dans une solitude morale presque complète, resta long-

\* Cf. l’intéressante préface de ses Lectures on quaternions [145 a] où il retrace tout l’historique de sa découverte.

temps mal connue, à cause sans doute de son originalité, à cause aussi des brumes philosophiques dont elle commence par s’envelopper, et qui par exemple en détournent d’abord Möbius. Mû par des préoccupations analogues à celles de Hamilton mais de plus ample portée (et qui, comme il s’en aperçoit bientôt, avaient été celles mêmes de Leibniz), Grassmann construit un vaste édifice algébrico-géométrique, reposant sur une conception géométrique ou « intrinsèque » (déjà à peu près axiomatisée) de l’espace vectoriel à $n$ dimensions ; parmi les plus élémentaires des résultats auxquels il aboutit, citons par exemple la définition de l’indépendance linéaire des vecteurs, celle de la dimension, et la relation fondamentale $\dim V + \dim W = \dim(V + W) + \dim(V \cap W)$ (loc. cit., p. 209 ; cf. [134], t. I₂, p. 21). Mais ce sont surtout la multiplication extérieure, puis la multiplication intérieure, des multivecteurs, qui lui fournissent les outils au moyen desquels il traite aisément, d’abord les problèmes de l’algèbre linéaire proprement dite, ensuite ceux qui se rapportent à la structure euclidienne, c’est-à-dire à l’orthogonalité des vecteurs (où il trouve l’équivalent de la dualité qui lui manque).

L’autre voie ouverte par Gauss, dans l’étude des systèmes hypercomplexes, est celle qui part des entiers complexes $a + bi$; de ceux-ci, on passe tout naturellement aux algèbres ou systèmes hypercomplexes plus généraux, sur l’anneau $\mathbf{Z}$ des entiers et sur le corps $\mathbf{Q}$ des rationnels, et tout d’abord à ceux déjà envisagés par Gauss qui sont engendrés par des racines de l’unité, puis aux corps de nombres algébriques et aux modules d’entiers algébriques : ceux-là font l’objet principal de l’œuvre de Kummer, l’étude de ceux-ci est abordée par Dirichlet, Hermite, Kronecker, Dedekind. Ici, contrairement à ce qui se passe pour les algèbres sur les réels, il n’est nécessaire de renoncer à aucune des propriétés caractéristiques des corps commutatifs, et c’est à ceux-ci qu’on se borne pendant tout le XIXe siècle. Mais les propriétés linéaires, et par exemple la recherche de la base pour les entiers du corps (indispensable à une définition générale du discriminant) jouent sur bien des points un rôle essentiel ; et, chez Dedekind en tout cas, les méthodes sont destinées à devenir typiquement « hypercomplexes » ; Dedekind lui-même d’ailleurs, sans se poser de manière générale le problème des algèbres, a conscience de ce caractère de ses travaux, et de ce qui les apparaît par exemple aux résultats de Weierstrass sur les systèmes hypercomplexes sur les réels ([79], en particulier vol. II, p. 1-19). En même temps la détermination de la structure du groupe multiplicatif des unités dans un corps de nombres algébriques, effectuée par Dirichlet dans des notes célèbres ([92], t. I, p. 619-644) et presque en même temps par Hermite ([159], t. I, p. 159-160), était éminemment propre à éclaircir les idées sur les modules sur $\mathbf{Z}$, leurs systèmes de générateurs, et, quand ils en ont, leurs bases. Puis la notion d’idéal, que Dedekind définit dans les corps de nombres algébriques (comme module sur l’anneau des entiers du corps) ([79], t. III, p. 251), tandis que Kronecker introduit dans les anneaux de polynômes (sous le nom de « systèmes de modules ») une notion équivalente ([186 a], t. II, p. 334-342), donne les premiers exemples de modules sur des anneaux plus généraux que $\mathbf{Z}$; et avec les mêmes auteurs, puis avec Hilbert, se dégage peu à peu dans des cas particuliers la notion de groupe à opérateurs, et la possibilité de construire toujours à partir d’un tel groupe un module sur un anneau convenablement défini.

En même temps, l’étude arithmético-algébrique des formes quadratiques et bilinéaires, et de leur « réduction » (ou, ce qui revient au même, des matrices et de leurs « invariants ») amène à la découverte des principes généraux sur la résolution des systèmes d’équations linéaires, principes qui, faute de la notion de rang, avaient échappé à Jacobi *. Le problème de la résolution en nombres entiers des systèmes d’équations linéaires à coefficients entiers est abordé et résolu, d’abord dans un cas particulier par Hermite, puis dans toute sa généralité par H. J. Smith ([287], t. I, p. 367-409); les résultats de ce dernier sont retrouvés, en 1878 seulement, par Frobenius, dans le cadre du vaste programme de recherches institué par Kronecker, et auquel participe aussi Weierstrass; c’est incidemment que Kronecker, au cours de ces travaux, donne leur forme définitive aux théorèmes sur les systèmes linéaires à coefficients réels (ou complexes), qu’élucide aussi, dans un obscur manuel, avec le soin minutieux qui le caractérise, le célèbre auteur d’Alice in Wonderland; quant à Kronecker, il dédaigne de publier ces résultats, et les abandonne à ses collègues et disciples; le mot même de rang n’est introduit que par Frobenius. C’est aussi dans leur enseignement à l’université de Berlin que Kronecker [186 b] et Weierstrass introduisent la définition « axiomatique » des déterminants (comme fonction multilinéaire alternée de $n$ vecteurs dans l’espace à $n$ dimensions, normée

\* De la classification des systèmes de $n$ équation à $n$ inconnues quand le déterminant s’annule, il dit ([171], t. III, p. 370): « paullo prolixum videtur negotium » (elle ne saurait s’élucider brièvement).

de manière à prendre la valeur 1 pour la matrice unité), définition équivalente à celle qui se déduit du calcul de Grassmann ; c’est dans ses cours encore que Kronecker, sans éprouver le besoin de lui donner un nom, et sous forme encore non intrinsèque, introduit le produit tensoriel d’espaces et le produit « kroneckérien » des matrices (substitution linéaire induite, sur un produit tensoriel, par des substitutions linéaires données appliquées aux facteurs).

Ces recherches ne sauraient être séparées non plus de la théorie des invariants, créée par Cayley, Hermite et Sylvester (la « trinité invariantive » dont parle plus tard Hermite dans ses lettres) et qui, d’un point de vue moderne, est avant tout une théorie des représentations du groupe linéaire. Là se dégage, comme équivalent algébrique de la dualité en géométrie projective, la distinction entre séries de variables cogrédientes et contragrédientes, c’est-à-dire vecteurs dans un espace et vecteurs dans l’espace dual ; et, après que l’attention se fut portée d’abord sur les formes de bas degré, puis de degré quelconque, à 2 et 3 variables, on ne tarde guère à examiner les formes bilinéaires, puis multilinéaires, à plusieurs séries de variables « cogrédientes » ou « contragrédientes », ce qui équivaut à l’introduction des tenseurs ; celle-ci devient consciente et se popularise lorsque, sous l’inspiration de la théorie des invariants, Ricci et Levi-Civita, en 1900, introduisent en géométrie différentielle le « calcul tensoriel » [257], qui connut plus tard une grande vogue à la suite de son emploi par les physiciens « relativistes ». C’est encore l’interpénétration progressive de la théorie des invariants, de la géométrie différentielle, et de la théorie des équations aux dérivées partielles (surtout le problème dit de Pfaff, et ses généralisations) qui amènent peu à peu les géomètres à considérer, d’abord les formes bilinéaires alternées de différentielles, en particulier le « covariant bilinéaire » d’une forme de degré 1 (introduit en 1870 par Lipschitz, puis étudié par Frobenius), pour aboutir à la création, par E. Cartan ([52 a], t. II₁, p. 303-396) et Poincaré ([251 b], t. III, chap. XXII) du calcul des formes différentielles extérieures. Poincaré introduit celles-ci, en vue de la formation de ses invariants intégraux, comme étant les expressions qui figurent dans les intégrales multiples, tandis que Cartan, guidé sans doute par ses recherches sur les algèbres, les introduit d’une manière plus formelle, mais non sans observer aussi que la partie algébrique de leur calcul est identique à la multiplication extérieure de Grassmann (d’où le nom qu’il adopte), remettant par là définitivement à sa vraie place l’œuvre de celui-ci. La traduction, dans les notations du calcul tensoriel, des formes différentielles extérieures, montre d'ailleurs immédiatement leur liaison avec les tenseurs antisymétriques, ce qui, dès qu'on revient au point de vue purement algébrique, fait voir qu'elles sont aux formes multilinéaires alternées ce que les tenseurs covariants sont aux formes multilinéaires quelconques ; cet aspect s'éclaircit encore avec la théorie moderne des représentations du groupe linéaire ; et on reconnaît par là, par exemple, l'identité substantielle entre la définition des déterminants donnée par Weierstrass et Kronecker, et celle qui résulte du calcul de Grassmann.

Nous arrivons ainsi à l'époque moderne, où la méthode axiomatique et la notion de structure (sentie d'abord, définie à date récente seulement), permettent de séparer des concepts qui jusque-là avaient été inextricablement mêlés, de formuler ce qui était vague ou inconscient, de démontrer avec la généralité qui leur est propre les théorèmes qui n'étaient connus que dans des cas particuliers. Peano, l'un des créateurs de la méthode axiomatique, et l'un des premiers mathématiciens aussi à apprécier à sa valeur l'œuvre de Grassmann, donne dès 1888 ([246 b], chap. IX) la définition axiomatique des espaces vectoriels (de dimension finie ou non) sur le corps des réels, et, avec une notation toute moderne, des applications linéaires d'un tel espace dans un autre ; un peu plus tard, Pincherle cherche à développer des applications de l'algèbre linéaire, ainsi conçue, à la théorie des fonctions, dans une direction il est vrai qui s'est montrée peu féconde ; du moins son point de vue lui permet-il de reconnaître dans l' « adjointe de Lagrange » un cas particulier de la transposition des applications linéaires : ce qui apparaît bien-tôt, plus clairement encore, et pour les équations aux dérivées partielles aussi bien que pour les équations différentielles, au cours des mémorables travaux de Hilbert et de son école sur l'espace de Hilbert et ses applications à l'analyse. C'est à l'occasion de ces dernières recherches que Toeplitz [309 a], introduisant aussi (mais au moyen de coordonnées) l'espace vectoriel le plus général sur les réels, fait l'observation fondamentale que la théorie des déterminants est inutile à la démonstration des principaux théorèmes de l'algèbre linéaire, ce qui permet d'étendre ceux-ci sans difficulté aux espaces de dimension infinie ; et il indique aussi que l'algèbre linéaire ainsi comprise s'applique bien entendu à un corps de base commutatif quelconque.

D'autre part, avec l'introduction par Banach, en 1922, des espaces qui portent son nom *, on rencontre, il est vrai dans un problème topologique autant qu’algébrique, des espaces non isomorphes à leur dual (voir p. 269-272). Déjà entre un espace vectoriel de dimension finie et son dual, il n’est pas d’isomorphisme « canonique », c’est-à-dire déterminé par la structure, ce qui s’était reflété depuis longtemps dans la distinction entre cogrédient et contragrédient. Il semble néanmoins hors de doute que la distinction entre un espace et son dual ne s’est définitivement établie qu’à la suite des travaux de Banach et de son école ; ce sont ces travaux aussi qui ont fait apparaître l’intérêt de la notion de codimension. Quant à la dualité ou « orthogonalité » entre les sous-espaces vectoriels d’un espace et ceux de son dual, la manière dont on la formule aujourd’hui présente une analogie qui n’est pas seulement extérieure avec la formulation moderne du théorème principal de la théorie de Galois, et avec la dualité dite de Pontrjagin dans les groupes abéliens localement compacts ; celle-ci remonte à Weber, qui, à l’occasion de recherches arithmétiques, en pose les bases en 1886 pour les groupes finis [327 d]; en théorie de Galois, la « dualité » entre sous-groupes et sous-corps prend forme chez Dedekind et Hilbert ; et l’orthogonalité entre sous-espaces vectoriels dérive visiblement, d’abord de la dualité entre variétés linéaires en géométrie projective, et aussi de la notion et des propriétés des variétés complètement orthogonales dans un espace euclidien ou un espace de Hilbert (d’où son nom). Tous ces faisceaux se rassemblent à l’époque contemporaine, entre les mains d’algébristes tels que E. Noether, Artin et Hasse, de topologistes tels que Pontrjagin et Whitney, non sans influences mutuelles s’exerçant entre les uns et les autres.

En même temps se fait un examen critique, destiné à éliminer, sur chaque point, les hypothèses non vraiment indispensables, et surtout celles par lesquelles on se fermerait certaines applications. On s’aperçoit ainsi de la possibilité de substituer les anneaux aux corps dans la notion d’espace vectoriel, et, créant la notion générale de module, de traiter du même coup ces espaces, les groupes abéliens, les modules particuliers déjà étudiés par Kronecker, Weierstrass, Dedekind, Steinitz, et même les groupes à opérateurs, et par exemple de leur appliquer le théorème de Jordan-Hölder ; en même temps se fait, au moyen de la distinction entre module à droite et module

• Ce sont les espaces vectoriels normés complets, sur le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes.

à gauche, le passage au non commutatif, à quoi conduisait le développement moderne de la théorie des algèbres par l’école américaine (Wedderburn, Dickson) et surtout par l’école allemande (E. Noether, Artin).

Enfin se fait jour, à date récente, la dernière des tendances dont nous avons à parler ici : contenue en germe dans le théorème de Dedekind ([79], vol. III, p. 29) d’après lequel des automorphismes quelconques d’un corps commutatif sont toujours linéairement indépendants, la linéarisation de la théorie de Galois s’accomplit avec Artin [7 a], puis se généralise bientôt aux extensions quelconques des corps commutatifs, et même aux extensions des corps non commutatifs ([172 d], chap. VII).